Натуральные числа и ноль. Системы счисления

Департамент общего и  профессионального образования  Брянской области

Государственное бюджетное  образовательное учреждение  
среднего профессионального образования 
«Клинцовский педагогический колледж»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине математика

Натуральные числа и ноль. Системы счисления.

1 вариант

Кокушиной Елены Николаевны

Специальность: 050050704

(дошкольное образование)

Отделение дошкольной и  специальной подготовки

Форма обучения заочная

Курс 3, группа 3ДО

Преподаватель: Т.Д. Вахнюх

Клинцы

2012

Содержание:

История возникновения понятия числа

История возникновения  чисел уходит корнями в далекое прошлое.

Если же рассмотреть  русские поговорки, то очень часто  встречается число 7.  Например – «семеро одного не ждут», или «семь раз отмерь, один отрежь» и т.д.  Можно предположить, что в древности на Руси число «семь» имело значение «много».

В результате очень долгого  периода развития человек пришел к этапу создания натуральных чисел – для сравнения множеств стали применять множества-посредники, так, например, если человек хотел показать,  например, сколько у него животных, он брал мешок, и складывал в него столько камешков, сколько животных он имел.  Эти множества-посредники уже представляли собой зачатки понятия натурального числа, хотя на этом этапе число не отделялось от сосчитываемых предметов: речь шла о камешках, пяти пальцах, а не о числе «пять» вообще.

 Изначально на земле существовало большое количество племен, которые для счета использовали всего лишь два числа. А именно – «один» и «два». У некоторых племен численность множества, состоящего из пяти элементов, обозначалась словом «рука», а численность множества из 20 предметов – словами «весь человек»

Существуют данные, которые  позволяют говорить о том, что  именно шумеры первыми начали записывать числа. Однако во времена шумерии, числа  записывались при помощи всего лишь двух цифр. Это были, по сути, не цифры, а черточки. Вертикальная черточка – значит число «1», а угол из лежачих двух черточек означал число «10».

После того, как человек  научился оперировать множествами-посредниками, он установил то общее, что существует, например, между пяти пальцами и пятью яблоками, т.е. когда произошло отвлечение от природы элементов множеств-посредников, возникло представление о натуральном числе. На этом этапе при счете, например яблок, не перечислялись уже «одно яблоко», «два яблока», а проговаривались слова «один», «два». Это был важный этап в развитии понятия числа. Историки предполагают, что это произошло в каменном веке в эпоху первобытнообщинного строя, причем в 10-5 тысячелетии до н.э.

То есть система счета, а значит и история возникновения чисел ведут свой отсчет еще с древних времен, когда люди, по сути, жили в пещерах.

Со временем люди научились не только называть числа. Но и обозначать их, и выполнять над ними действия. Натуральный ряд чисел возник не сразу, история его формирования длительная. Запас чисел, которые употребляли, ведя счет, увеличивался постепенно. Постепенно сложилось и представление о бесконечности множества натуральных чисел.  Древнегреческий математик Архимед доказал, что ряд чисел может быть продолжен бесконечно.

Возникновение понятия натурального числа – это важнейший момент в развитии математики. Наука, которая стала изучать числа и действия над ними, получила название «арифметика» ( от греческого arithmos – число). Следовательно, арифметика – наука о числе, она возникла в странах Дальнего Востока: Китае, Вавилоне, Египте, Индии. Накопленные в этих странах математические знания продолжили развивать ученые Древней Греции. Большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии. Та система счета, которой люди пользуются сегодня, уходит корнями в Индию, где она и была изобретена одну тысячу лет назад. То есть в 900 годах. Именно тогда и именно в Индии была изобретена десятичная система исчисления, которая включала в себя цифры 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0. Числа возникли в связи с потребностью счета и измерения и прошли долгий путь исторического развития, далее арифметику изучали европейские математики. В V веке термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А.Боэцкий, переводчик работ известных математиков прошлого на латинский язык. Его книга «О введении в арифметику» до XVI века была образцом для всей европейской математики.

Во второй половине XIX века натуральные числа стали основой всей математической науки, в связи с чем, появилась необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа. Так, в XIX веке была разработана аксиоматическая теория натурального числа. Большое влияние на изучение натурального числа оказала и созданная в XIX веке теория множеств.

 Позиционные и непозиционные системы счисления

Система счисления — это запись чисел и выполнение действий над ними.

Еще до появления письменности люди называли числа и вели счет при помощи пальцев рук и ног, деревянных палочек с зарубками, шнуров и веревок с узлами. Способ «записи» чисел при помощи зарубок и веревок с узлами не являлся удобным, т.к. для записи больших чисел приходилось делать много зарубок и узлов, поэтому счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов. Наряду с группами по 10 элементов встречались группы по 5, 12, 20 элементов. Так, счет двадцатками использовали люди племени майя, а также применялся счет пятками и группами по 12 элементов. В Древнем Вавилоне считали группами по 60 единиц. Так число 185 представлялось как 3 раза по 60 и еще пять, а записывалось такое число двумя знаками, один из которых обозначал, сколько раз взято по 60, а другой – сколько взято единиц. Древневавилонская система используется до сих пор при измерении времени и углов в минутах и секундах.

Общепринятой позиционной  системой счисления является десятичная система счисления. Причина, по которой она оказалась общепринятой, совсем не математического характера. Десять пальцев рук — вот тот первоначальный аппарат для счета, которым человек пользовался с доисторических времен. По пальцам удобно считать от одного до десяти. Сосчитав до десяти, т.е. использовав до конца возможности нашего природного «счетного аппарата», естественно возникает вопрос: «А как дальше?». Поэтому логично принять само число 10 за новую, более крупную единицу (единицу следующего разряда).

Исторически десятичная система счисления  сложилась и развивалась в  Индии в VI веке. В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока не приняли современную форму. Первыми заимствовали у индейцев цифры и десятичную систему счисления арабы в  IX веке, европейцы познакомились с достижениями индо-арабской математики в XI веке. В связи с ростом торговли значительно умножился счет. В связи с этим появилась потребность в совершенствовании методов счета. Европейские математики перевели на латинский язык труды греческих и арабских ученых. С десятичной системой счисления они познакомились через перевод книги аль-Хорезми.в 1202 г. Вышла «Книга абака» Л.Фибоначчи, где вводятся индийские цифры и нуль. С XVI началось внедрение десятичной системы, а к  XVI в. она стала использоваться в странах Западной Европы.

В России десятичная система счисления  стала известной благодаря книге  первого выдающегося педагога-математика Л.Ф.Магницкого «Арифметика, сиречь наука числительная», которая вышла в 1703 г. на славянском языке. В ней выделено особое действие «нумерация, или счисление»: «Нумерация есть счисление (называние) словами всех чисел, которые изображаемы быть могут десятью такими знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащих; последняя же 0 (которая цифрой или ничем именуется), если стоит одна, то сама по себе значение не имеет. Когда же она присоединяется к какой-нибудь значащейся, то увеличивает в десять раз.

Кроме десятичной системы счисления возможны позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием.

В древнем Вавилоне, например, применялась  шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до наших дней делении часа или градуса на   минут, а минуты на   секунд. Эта система возникла около двух тысячелетий до нашей эры при слиянии в одно государство двух древних народов — сумерийцев и аккадян. Во вновь образованном едином государстве остались в ходу единицы веса, используемые ранее тем и другим народами. Одна из этих единиц была приблизительно в шестьдесят раз больше другой. Установившееся соотношение единиц во взвешивании было перенесено и в другие области, требовавшие счета.

Существуют позиционные  и непозиционные системы счисления.                                              Рассмотрим три числа  ,  ,  . Эти числа различны, но, если посмотреть на них внимательно, то можно заметить, что в их записи участвуют одни и те же цифры. Различаются же записи расположением цифр, иными словами, тем, какую позицию занимает та или иная цифра. Отсюда и пошло название такой нумерации — позиционная.

Так, шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления являются позиционными.

Непозиционная система счисления характеризуется тем, что каждый знак всегда обозначает одно и то же число, независимо от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. Хорошо известным примером непозиционной системы счисления является римская система, возникшая в средние века. В этой системе счисления роль цифр играют буквы латинского алфавита.

Все остальные числа  получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа. Например, IV – четыре, XC – девяносто.

Запишем несколько чисел  в римской системе счисления: 128 – это сто (C) плюс десять (X) плюс десять (X) плюс восемь (VIII), значит 128=CXXVIII

193 – это сто (C) плюс девяносто, т.е. сто без десяти (XC) плюс три (III)? Pyfxbn 193=CXCIII

564 – ‘это пятьсот(D) плюс пятьдесят (L) плюс десять(X) плюс четыре, т.е без одного пять (IV),  значит 564=DLXIV

2708 – это две тысячи (MM) плюс пятьсот (D) плюс сто (C) плюс сто (C) плюс пять (V) плюс тря (III), значит 2708=ММDCCVIII

Если число содержит несколько  тысяч, то для его записи в римской  нумерации пользуются повторением  знака M. Вообще же числа четырех-, пяти-, и шестизначные записывались с помощью буквы m (от лат. слова mille – тысяча). Слева от которой записывали тысячи, а справа – сотни, десятки. Единицы. Так, запись CXXXIIImDCCCXLII является записью числа 133842.

В России до XVIII в.  в основном употреблялась славянская нумерация, более стройная и удобная, чем римская, но тоже непозиционная. В ней числа изображались буквами славянского алфавита, над которыми для отличия ставили особый знак – титло.

Римкая и славянская системы записи чисел были более удобны, чем зарубки на бирках, т.к. позволяли записывать большие числа, но выполнение действий над ними в таких системах было весьма сложным делом. Следует отметить, что очень неудобны и сложны в непозиционной системе арифметические действия, невозможно записывать дробные и отрицательные числа, а также для записи больших чисел приходится вводить новые цифры и всегда находятся числа, которые трудно изобразить даже вновь введенными цифрами.

Поэтому нет ничего удивительного в том, что римская система была быстро вытеснена позиционной системой счисления. На смену пришла десятичная система счисления.

Запись чисел римскими цифрами применяется теперь очень редко и только в тех случаях, когда не требуется выполнять над числами арифметические действия, например, для обозначения исторических дат (   век), для нумерации глав в книгах, в декоративных целях — циферблат часов и т. п.

Аксиомы Пеано, понятие множества натуральных  чисел, натурального ряда, счета.

  Математическая формулировка аксиомы Пиано:

Введём функцию  , которая сопоставляет числу   следующее за ним число.

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Или так:

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

Понятие множества  натуральных чисел:

Формальное определение  натуральных чисел  также сформулировал итальянский математик  Пеано XIX веке. Аксиомы Пеано основывались на более ранних построениях  немецкого математика Грассмана. Непротиворечивость арифметики  Пеано доказана  в 1936 году  Генценом с помощью трансфинитной индукции до ординала    Как следует из второй теоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведено средствами самой арифметики Пеано.

Натуральные числа - числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления), т.е. натуральные числа - это естественные числа.

Всего существуют два  подхода к пониманию натуральных  чисел - это числа, используемые при:

1) перечислении (нумерации) предметов, например: первый, второй, третий и т.д. Этот подход общепринятый во многих странах мира (в том числе и в России);

2) обозначении количества предметов (например: нет предметов, один предмет, два предмета…и т.д.). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Натуральными числами не являются: отрицательные и нецелые числа. Число 0 также натуральным числом не является, так как означает полное отсутствие чего бы то ни было. Значит, счет предметов тоже отсутствует.

Множество всех натуральных  чисел принято обозначать знаком  N. 
Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдётся другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа, расположенные в порядке возрастания, образуют натуральный ряд  чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Наименьшим числом в натуральном ряду является число 1 (один, единица), наибольшего числа в натуральном ряду нет. Натуральный ряд чисел является бесконечным. Натуральный ряд построен так, что каждое следующее число на 1 (единицу) больше предыдущего. Какое число надо прибавить к натуральному числу, чтобы назвать следующее натуральное число? Нужно прибавить число 1 (один), тогда получится следующее натуральное число. Натуральный ряд чисел можно легко представить визуально (см. таблицу ниже)

В таблице наглядно представлена последовательность натуральных чисел, образующих натуральный ряд чисел.

Любое множество, все элементы которого можно поставить во взаимно однозначное соответствие с элементами некоторого начального сегмента нашей бесконечной последовательности символов, называется конечным множеством. При этом на число элементов множества указывает последний символ сегмента. Например, множество предметов, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с начальным сегментом 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, является конечным множеством, содержащим 8 («восемь») элементов. Символ 8 указывает на «число» предметов в исходном множестве.

Потребность в счёте предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством (совокупностью, группой) предметов и нам нужно решить такие задачи:

1) Установить количество предметов в этом множестве, т.е. найти количественную оценку этого множества;

2) Установить определённый порядок между предметами этого множества.

2.  Записать  в римской системе счисления  числа: 37, 1110, 39547; записать в десятичной  системе счисления числа: XXVII, XLIV, LVII_mCXXIV

37 = XXXVII, 1110 = MCX, 39547 = XXXIX_mDXLVII

XXVII = 27, XLIV = 44, LVII_mCXXIV = 57124

3. Для записи числа в десятичной системе счисления используется 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная запись числа  позволяет просто решать вопрос о  том, какое из них меньше.

 Запишем число 362 в десятичной системе счисления:

362 = 3•100  +6 •10 + 2 или 362 = 3 •10²  + 6 •10¹ + 2 •10⁰

Запись числа  в системе, отличной от десятичной

Основанием позиционной  системы счисления может быть не только число 10, но и вообще любое  натуральное число p ≥ 2. Система счисления с основанием p называется p-ичной, если p = 8 – восьмеричной, если p = 10 – десятичной.

4. Записать  числа в виде суммы степеней  основания с соответствующими  коэффициентами и назвать эти числа в десятичной системе счисления: 4134₅ =     ; 2466₇ =     ; 1200212₃ =                

• 4134₅ = 4 • 5³ + 1• 5² + 3• 5 + 4 = 500 + 25 + 15 + 4 = 544

4134₅ = 544₁₀

• 2466₇ = 2 • 7³ + 4• 7² + 6•7 + 6 = 686 + 196 + 42 + 6 = 930

2466₇ = 930₁₀

• 1200212₃ = 1 • 3⁶ + 2• 3⁵ + 0 • 3⁴ + + 0 • 3³ + 2• 3² + 1• 3 + 2 = 729 + 486 + 0 +

+ 0 +18 + 3 + 2 = 1238

1200212₃ = 1238₁₀

5.  Верно ли записаны числа в восьмеричной системе счисления: 547₈, 2085₈, 795₈?

547₈ – верно, т.к. все коэффициенты меньше основания.

2085₈ – неверно, т.к. один из коэффициентов равно основанию.

795₈ – неверно, т.к. один из коэффициентов больше основания.

6. Какие числа представлены следующими суммами: 6•10³ + 5•10 + 8; 10⁵ + 10²; 2•7³ + 6•7¹?

6•10³ + 5•10 + 8 = 6000 + 50 + 8 = 6058

10⁵ + 10² = 100000 + 100 = 100100

2•7³ + 6•7¹ + 1 = 2061₇ = 729₁₀

7. Как перевести числа из десятичной системы счисления в р-ичную систему счисления? Перевести из десятичной в 3-ричную систему счисления следующие числа: 564, 126, 306.

Запись числа х в р-ичной системе находят так: число х делят (в десятичной системе) на р; остаток, полученный при делении, даст последнюю цифру а₀ в р-ичной записи числа х; неполное частное снова делим на р, новый остаток даст предпоследнюю цифру р-ичной записи числа х; продолжая деление, найдем все цифры р-ичной записи числа х.

Пример:

а) Выполнить перевод  числа 19 в двоичную систему счисления.

Решение

p = 2

Таким образом, 19 = 10011_2.

Переведем число 564 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления:

564₁₀ = 202220₃

Переведем число 126 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления:

126₁₀ = 11200₃

Переведем число 306 из десятичной системы счисления в троичную систему счисления:

306₁₀ = 102100₃

8.  Назвать  наибольшее и наименьшее  трехзначное  число в системе счисления  с основаниями: 5, 7, 3.

Наибольшее  трехзначное  число в системе счисления  с основанием 5 – 444₅

Наименьшее трехзначное  число в системе счисления  с основанием 5 – 100₅

Наибольшее  трехзначное  число в системе счисления  с основанием 7 – 666₆

Наименьшее трехзначное  число в системе счисления с основанием 7 – 100₆

Наибольшее  трехзначное  число в системе счисления  с основанием 3 – 222₂

Наименьшее трехзначное  число в системе счисления  с основанием 3 – 100₂

9. Назвать предшествующее  и следующее числа для числа х: х=67₈,  х=66₇, х=101₂