Неравенства с одной переменной и способы их решения
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра математики
Контрольная работа
по дисциплине математика
на тему: «Неравенства с одной переменной и способы их решения».
Курган 2009г.
Содержание
Историческая справка…………………………
Определение неравенства ……………………………………………………….4
Метод интервалов ………………………………………………………………..5
Дробно-рациональные неравенства……………………………………………5,
Иррациональные неравенства ………………………………………………6,7,8
Неравенства содержащие знак абсолютной величины ………..8,9,10
Показательные неравенства ……………………………………...10,11
Логарифмические неравенства ……………………………………...11
Применение неравенств ……………………………………………..12
Список используемой литературы ……………………………………………13
Историческая справка
Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием равенства возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались уже древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа ∏:
Ряд неравенств приводит в своем знаменитом трактате «Начала» Евклид. Он, например, доказывает, что среднее геометрическое двух положительных чисел не больше их среднего арифметического.
Однако все эти рассуждения проводили словесно, опираясь в большинстве случаев на геометрическую терминологию. Современные знаки неравенств появились лишь в XVII— XVIII вв. Знаки < и > ввел английский математик Т. Гарриот (1560—1621), знаки ≥ и ≤ французский математик П. Буге (1698—1758).
Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Определение неравенства
Пусть f(x) и g(x) – некоторые функции
Неравенства с одной переменной имеют вид
f(x) > g(x); f(x) < g(x); f(x) ≥ g(x); f(x) < g(x)
Определение. Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.
Основная
идея решения неравенства
При решении неравенств используются следующие правила преобразования неравенства в равносильное:
1) f(x) > g(x) g(x) < f(x).
2) f(x) > g(x) f(x) – g(x)>0.
3) f(x) > g(x) f(x) + a > g(x) + a для любого числа а.
4) Какой – либо член неравенства можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства.
5) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства.
6) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный:
f(x) > g(x)
6) Если для одних и тех же значений x справедливы неравенства
f(x) > 0, g(x) > 0 и f(x) > g(x), то для тех же значений x верно неравенство (f(x))ⁿ > (g(x))ⁿ , n Є N.
Определение. Неравенства вида P(x) > 0, (P(x) < 0), где P(x) – многочлен, называются рациональными.
Определение. Неравенства вида a0x + a1 > 0 , a0x + a1 < 0, a ≠ 0 , называются линейными неравенствами.
Множество решений неравенства а0х + а1 > 0 определяется знаком числа а:
а) если а0 > 0 , то решениями являются все х Є( a0 , + ∞)
б) если а0 < 0 , то решениями являются любые х Є ( – ∞, а0 )
Аналогично для неравенства a0x + a < 0
Метод интервалов
При решении неравенств используется метод интервалов, заключающийся в следующем.
Рассмотрим многочлен P(x) = (x – a1)(x – a2)…(x – an), где а1, а2, … , аn – фиксированные числа, удовлетворяющие условию а1 < a2 < … < an. Для любого числа х0 > an значение каждого сомножителя в P(x) положительно, поэтому P(x0) > 0 ; для любого x1 Є (an – a , an) соответствующее числовое значение последнего сомножителя отрицательно, а числовые значения всех остальных сомножителей положительны, P(x1) < 0 и т.д.
Решение неравенств P(x) > 0 и P(x) < 0 состоит в следующем. На числовую ось наносят числа a1 , a2 , … , an. В промежутке справа от наибольшего из них Pn (x) > 0 , в следующем за ним (считая справа налево) промежутке Pn (x) < 0.
Удобно в соответствующем
+ +
– – x
a1 < … < an – 1 < an
в соответствии со знаком Pn(x). Тогда множество всех решений неравенства Pn(x) > 0 , будет объединением промежутков с плюсами, а Pn (x) < 0 – с минусами. Отметим, что при разложении многочлена на линейные множители числа а1, а2, … , аn являются корнями многочлена, и процедура разложения на множители предваряет применение метода интервалов.
Решение квадратных неравенств.
ПРИМЕР: решить неравенство х² – х – 6 < 0
Поскольку квадратный трехчлен P(x) = x²– x – 6 имеет корни x1 = 3, и х2 = –2, то P(x) = (x – 3)(x + 2). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству (x – 3)(x + 2) < 0. Применяя метод интервалов, получим множество решений неравенства в виде
х Є(–2, 3).
+ +
Дробно – рациональные неравенства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства вида , , ,
, где P(x) и Q(x) – многочлены, Q(x) ≠ 0, называются дробно – рациональными.
При решении таких неравенств пользуются следующими утверждениями:
1. 3.
2. 4.
К простейшим дробно-рациональным неравенствам относятся дробно-линейные
неравенства вида 0
ПРИМЕР. Решите неравенство
решением этого неравенства, а следовательно, исходного являются х Є (– ∞,– 5)U(5, + ∞)
ПРИМЕР. Решите неравенство
Это неравенство равносильно
_ 1
трехчлена являются значения х1 = х2 = 3 следовательно, 9х² + 6х + 1 > 0 для любого х.
+
– 5 – 1/3 5
Решим неравенство методом интервалов:
ОТВЕТ:
Иррациональные неравенства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Иррациональные неравенства решаются методом сведения к равносильной системе рациональных неравенств или совокупности рациональных систем.
При этом рассматриваются только те значения переменной, которые входят в ОДЗ данного неравенства и в ОДЗ обосновывается равносильность перехода от неравенства к его следствию. При решении иррационального неравенства следует следить за знаками обеих его частей. Могут иметь место следующие комбинации знаков:
1) если обе
части неравенства
2) если обе части неравенства
отрицательны, то возведение обеих частей
неравенства в целую нечетную степень
приводит к неравенству, равносильному
данному
возведение обеих частей неравенства в четную степень требует изменения знака неравенства на противоположный для сохранения его равносильности с < d > ;
с, d < 0, k Є Z;
3) неравенство ах > bx при а > 0, b < 0 выполняется при любых значениях х и не имеет решений при а < 0, b > 0.
Равносильные преобразования иррациональных неравенств с четными степенями:
ПРИМЕР. Решите неравенство > ²
8 – х² ≥ 0,
Данное неравенство
x + 2 > 8 – x².
Решением первого неравенства этой системы являются все х, для которых ≤ 2 , т.е.
все числа отрезка – 2 ≤ 2 . Второе неравенство приводится к виду х² + х – 6 > 0 и имеет решение х < – 3, x > 2. Таким образом, решением системы, а следовательно, и исходного неравенства, являются х Є (2, 2 ]
ПРИМЕР. Решите неравенство < 1 – x.
Это неравенство равносильно системе
Из первых двух неравенств этой системы найдем – 5 ≤ х < 1. Решая квадратное неравенство х + 5 < (1 – x²) x² – 3x – 4 > 0, получаем х < – 1, х > 4. Таким образом, решениями исходного неравенства являются все х Є
ПРИМЕР. Решите неравенство > 8 – 2x.
Квадратный трехчлен – х² + 6х – 5 имеет корни х1 = 1 и х2 = 5.
ОДЗ определяется условием 1 ≤ х ≤ 5. При условии, что правая часть неравенства положительна, возведением в квадрат его обеих частей мы получим следствие данного неравенства. Если правая часть отрицательна, то неравенство выполняется всегда в области допустимых значений, поэтому данное неравенство выполняется всегда в области допустимых значений, поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств: и
Из второй системы этой совокупности
находим 4 < x ≤ 5. Решая неравенство
Неравенства содержащие знак абсолютной величины
При решении неравенств, содержащих знак абсолютной величины, следует разбить ОДЗ неравенства на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве нужно решать неравенство и полученные решения объединить в множество решений исходного неравенства.
Рассмотрим некоторые из них:
1. Неравенство вида равносильно совокупности двух систем и
ПРИМЕР. Решите неравенство .
Данное неравенство
Поскольку x² – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3), то множеством всех решений неравенства x² – 2x – 3 < 0 является интервал –1 < x < 3, следовательно, решением первой системы совокупности является интервал 0 ≤ x < 3.
Множеством решений неравенства x² + 2x – 3 = (x+3)(x – 1) являются значения – 3 < x < 1, а второй системы – интервал – 3 < x < 0. В результате множеством решений данного неравенства является интервал – 3 < x < 3
ОТВЕТ. x Є (– 3, 3)
ПРИМЕР. Решите неравенство .
Выражения под знаком модуля обращаются в ноль при х1 = 2, х2 = 2 и х3 = . Для определения знаков подмодульных выражений решим неравенства 5 – х ≥ 0 х ≤ 5;
x – 2 ≥ 0 x ≥ 2; 7 – 2x ≥ 0 x ≤ .
Составим схему
I II III
+ + + –
– + + +
+ + – –
////////////////º º\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
2 3,5 5
Решим неравенство, раскрывая модуль на каждом из полученных интервалов.
I. ; II. ;
III. . Неравенству удовлетворяют значения 3,5< x ≤ 5;
IV. Неравенству удовлетворяют значения х > 5.
ОТВЕТ. х Є (– ∞;2) (3,5; + ∞)
2. Неравенство вида равносильно системе
ПРИМЕР. Решите неравенство
Из уравнения 5х + 6 = 0 находим критическую точку х = . Разобьем числовую ось на промежутки и . На первом из них = – 5х – 6 и неравенство становится равносильным неравенству х² + 5х + 6 = (х + 3)(х + 2) > 0 для х Є
(– ∞, – 3) .
На втором интервале = 5х + 6, х² – 5х – 6 = (х + 1)(х – 6) > 0 для х Є (– ∞, – 1) (6, + ∞). Объединяя эти решения, получим решение данного неравенства в виде
3. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств .
ПРИМЕР. Решите неравенство 3 + х² > 7.
Данное неравенство можно
и х² – 3х – 4 > 0. Поскольку х² + 3х – 10 = (х – 5)(х – 2), х² – 3х – 4 = (х + 1)(х – 4), то множество решений неравенств совокупности, а следовательно, и исходного неравенства, есть х Є
4. Неравенство вида решается при помощи разбиения ОДЗ на промежутки, каждый из которых является промежутком знакопостоянства как функции , так и функции g(x), на которых решается неравенство без знака модуля. Объединение найденных решений дает множество всех решений исходного неравенства указанного вида целесообразно решать, перейдя к равносильному неравенству .
Например, неравенство равносильно неравенству (х – 1)² > x² т.е.
ПРИМЕР. Решите неравенство
Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства) на три промежутка: х < 1, 1 ≤x ≤2, x > 2. Решим данное неравенство на каждом из этих промежутков.
Если х < 1, то х – 1 < 0 и 2 – х ≥ 0. Неравенство принимает вид 1 – х + 2 – х > 3 + х, то есть х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства являются все отрицательные числа. Если 1 ≤ х ≤ 2, то х – 1 ≥ 0 и 2 – х ≥ 0. Имеем
Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на отрезке [1, 2] исходное неравенство решений не имеет.
Если х > 2, то х – 1 > 0 и 2 – х < 0. Имеем
.
Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ, получаем решение неравенства в виде .
Показательные неравенства
Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах монотонности степени:
Простейшие показательные неравенства решаются методом приведения обеих частей неравенства к одному основанию.
Пример. Решите неравенство
Приводя обе части неравенства к одному основанию, получаем , так как 0 < 0,04 < 1 5х – х² – 8 > – 2 (2, 3).
Равносильные преобразования показательных неравенств
В области допустимых значений функции , h(x) и g(x) справедливо:
1) 2)
3) 4)
Логарифмические неравенства
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.
Решение простейших логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности логарифмической функции. Существует два метода решения логарифмических неравенств 1)метод перехода к решению равносильных совокупностей неравенств; 2)метод разбиения ОДЗ данного неравенства на промежутки, на которых решаются соответствующие равносильные неравенства.
При решении логарифмических
ПРИМЕР. Решите неравенство log (2 + x) < 1
Данное неравенство
совокупности двух систем:
Применение неравенств.
Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических исследованиях, так и при решении важных практических задач.
Неравенства применяют при исследовании элементарных функций и решении задач на максимум и минимум (преимущественно геометрического и физического смысла). Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести квалификацию – это является геометрическим смыслом. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, неравенства встречаются значительно чаще чем равенства. Скажем решение каких то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно – в виде числа или формулы, а для приближенного решения всегда требуется указать оценку погрешности т.е. доказать некоторые неравенства. С помощью неравенства задаются основные числовые множества, формулируются определения предела непрерывной монотонной функции, последовательности целого ряда других важных понятий. Неравенства – это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики – алгебре теории чисел, в геометрии и топологии в теории вероятности и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математики – можно указать результаты, формулируемые в виде неравенств. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторые часто встречающиеся классические тождественные неравенства.
Список используемой литературы
1. Энциклопедический словарь юного математика 1985г.
2. Алгебра и начало анализа: Учебник для 10 – 11 классов средней школы/ Колмогоров А.Н, Абрамов А.М. 1992г.
3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа 1990г.
4. Уравнения и неравенства/
5. Учебное пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вузов Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М. 2000г.
