Обработка опытных данных

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тульский  государственный университет

Кафедра "Автомобили и автомобильное хозяйство"

 
 

Контрольно-курсовая работа

по дисциплине «Основы теории надежности и технической диагностики»

 по  теме «Обработка опытных данных»

Вариант № 21 
 

Выполнил:                                                                         студент группы 660881

                                                                                            Нейман А.А.

                                                                                            шифр 084146

                   

Проверил :                                                            д.т.н., проф. М.В. Малиованов 
 
 
 
 

Тула 2010 

Оглавление

                                                                                                            Стр.

1 Исходные данные 3
2 Расчетно-графическая  часть 3
2.1 Построение  статистической функции распределения 3
2.2 Построение  статистического ряда 4
2.3 Построение  гистограммы 5
2.4 Определение статистического (выборочного) математического ожидания 5
2.5 Определение оценки для математического ожидания 5
2.6 Определение статистической (выборочной) дисперсии. 6
2.7 Определение оценки для дисперсии 6
2.8 Построение  доверительных интервалов для  математического  ожидания и дисперсии 6
2.9 Проверка гипотезы о непротиворечивости теоретического закона распределения опытным данным 7
  Список литературы 10
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     I.Исходные данные

     Исходными данными являются значения интересующей исследователя случайной величины, полученные в серии однородных независимых  опытов. Исходные данные представляют в виде простого статистического  ряда. 
 В качестве исходных данных рассмотрим наработку некоторого узла на отказ для группы однотипных автомобилей. Простой статистический ряд для данного случая имеет вид:

                    Таб.1

№ экспери  мент. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Наработка до отказа в тыс. км. 84 90 64 60 90 92 54 96 94 106
 
№ экспери  мент. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Наработка до отказа в тыс. км. 98 95 106 114 106 90 50 82 98 88

     II.Расчетно-графическая часть.

     2.1. Построение статистической функции распределения

      Основная  форма задания закона распределения  случайной величины – функция распределения. В связи с ограниченностью опытных данных может быть построена только статистическая (выборочная) функция распределения F*(х).  По определению:     F*(х) =

      Таб.2

Наработка до отказа в тыс. км. 50 54 60 64 82 84 88 90 92 94 95 96 98 106 114
количество  повторений 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 2 3 1
 

1.  При  0 < х ≤50     F*(х) = =0

2.   При 50 < х ≤ 54   F*(х) = = 1/20

3.   При 54 < х ≤ 60 F*(х) = Р*(Х=50)+Р*(Х=54)=1/20 +1/20 = 1/10 
4.   При 60< х ≤ 64 F*(х) = 3/20 
5.   При 64 < х ≤ 82 F*(х) = 1/5 
6.   При 82 < х ≤ 84 F*(х)= 5/20=1/4

7.   При  84 < х ≤ 88 F*(х) =3/10

8.   При  88 < х ≤ 90 F*(х) =7/20

9.   При  90 < х ≤ 92 F*(х)= 10/20=1/2

10. При 92 < х  ≤ 94 F*(х)= 11/20

11. При 94 < х ≤ 95 F*(х)= 12/20

12. При 95 < х ≤ 96 F*(х)= 13/20

13. При 96 < х ≤ 98 F*(х)= 14/20

14. При 98 < х ≤ 106 F*(х)= 16/20

15. При 106 < х ≤ 114 F*(х)= 19/20

16. При 114 < х ≤ ∞ F*(х)=1 

2.2. Построение статистического  ряда

Для построения статистического ряда разбиваем диапазон изменения случайной величины на К=10, подсчитаем количество значений случайной величины, попавших в i-ый разряд (mi)  и находим частоту

 Получаем статистический ряд: 

                                                                                                                        Таб.3

Ii 42-50 50-58 58-66 66-74 74-82 82-90 90-98 98-106 106-114 114-122
mi 1 1 2 0 1/2 4 5 5/2 2 1/2
Pi* 0,05 0,05 0,1 0 0,025 0,2 0,25 0,125 0,1 0,025
 
 

2.3. Построение гистограммы.

      Статистический  ряд может быть представлен графически в виде так называемой гистограммы. Гистограмма – графическое изображение функциональной связи Pi* = f(Ii) 

 

2.4.Определение  статистического  (выборочного) математического ожидания.

      Каждой  числовой характеристике случайной величины X соответствует ее статическая аналогия.

      Так, для математического ожидания случайной  величины X аналогией является среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины:

          ,                 

      2.5 Определение оценки для математического ожидания

      Величина X распределена по нормальному закону, а значит

       = mх* = 87,85

      2.6 Определение статистической (выборочной) дисперсии.

Статистическая  дисперсия, т.е. мера рассеяния случайной величины относительно статистического математического ожидания определяется по формуле:

Dx* =  = 301,82

 
2.7 Определение оценки для дисперсии

 Dx* = (20/19) × 301,82 = 317,71

    1. Построение доверительных интервалов для  математического ожидания и дисперсии.

      Доверительный интервал определяется по выбранному уровню доверительной вероятности  β. При нахождении доверительного интервала используется гипотеза о нормальном законе распределения изучаемой случайной величины и ее оценок

    β = 0,90;

      Использование второго свойства квантилей позволяет  по заданной доверительной вероятности  определить границы доверительного интервала .

      Для однозначности доверительный интервал располагаем симметрично относительно оцениваемой величины. Таким образом, если левая граница , то правая граница .

Определим уровни квантилей.

                               

Определим границы доверительного интервала для стандартной случайной величины.

, где x – решение уравнения

x=1,645 . Значит u0,05=- 1,645.

, где x –решение уравнения ;

x=1,645. Значит u0,95=1,645.

Для определения границ доверительного интервала для исходной случайной величины найдем связь и , , .

, но  – стандартное распределение и его аргумент есть up, а аргумент исходного распределения x есть . Тогда , откуда .

При определении  доверительного интервала для математического  ожидания следует иметь в виду, что    М [ ] = ,    σ [ ] = ..     

  .

  .

При определении  доверительного интервала для дисперсии следует иметь в виду, что М [ ] =  ,    σ[ ] = × .

.

  . 

    1. Проверка  гипотезы о непротиворечивости теоретического закона распределения опытным  данным.
 

Проверка гипотезы о нормальном законе распределении  исследуемой случайной величины.

Используется  критерий правдоподобия Пирсона

            χ2 =  n ,

где pi – вероятность попадания случайной величины на i-й интервал, вычисленная в предположении о нормальном законе ее распределения. При этом

            М [Х] = ,   σ [Х] =  

р1= Р(42 < x < 50) = Ф* - Ф* =

= Ф*(-2,13)-Ф*(-2,57)=0,01659 -0,00508= 0,01

р1* = 0,05;

р2= Р(50 < x < 58) = Ф*(-1,68)-Ф*(-2,13)=0,029

р2* = 0,05;

р3= Р(58 < x < 66) = Ф*(-1,23)-Ф*(-1,68)=0,062

р3* = 0,1

р4= Р(66 < x < 74) = Ф*(-0,78)-Ф*(-1,23)=0,11

р4* = 0

р5= Р(74 < x < 82) = Ф*(-0,31)-Ф*(-0,78)=0,16

р5* = 0,025

р6= Р(82 < x < 90) = Ф*(0,12)-Ф*(-0,31)=0,17

р6* = 0,2

р7= Р(90 < x < 98) = Ф*(0,57)-Ф*(-0,12)=0,17

р7* = 0,25

р8= Р(98 < x < 106) = Ф*(1,02)-Ф*(0,57)=0,13

р8* = 0,125

р9= Р(106 < x < 114) = Ф*(1,47)-Ф*(1,02)=0,083

р9* = 0,1 

р10= Р(114 < x < 122) = Ф*(1,94)-Ф*(1,47)=0,044

р10* = 0,25 

Подсчитаем

Число связей s, налагаемых на распределение χ2  принимается равным 3 ( по условию), значит число степеней свободы распределения равно r = k-s = 7.

В соответствие с чем из таблицы распределения  χ2 находим вероятность

при Р= 0,80   ;

при Р=0,70      ;

 Имеем  

Значит  р = 0,74.

      По  заданным рекомендациям (гипотезу  необходимо считать не противоречащей опытным данным в случае, если табличная вероятность превышает 0,1),  вероятностью 0,74 указывает на непротиворечивость гипотезы о нормальном законе опытным данным. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Список  литературы

    1. Вентцель Е.С. Теория Вероятностей, В.Ш. М.: Высшая школа, 2004
    2. Половко А. М. Основы теории надежности. – М.: Наука, 1964
    3. Сидоров В. И. техническая диагностика. Уч. пособие. – М.: МАДИ, 1981
Обработка опытных данных