Общая теория стастистики

 

Содержание 

 

1. Задание 3

2. Задание 14

3. Задание 20

Задание 5 27

Задание 6 28

 

1. Задание

По данным таблицы 1 определить значения признаков, используя цифры номера зачетной книжки.

Таблица 1 -  исходные данные по выборочной совокупности, при V =12

Среднесписочная численность производственного  персонала, чел.

Внереализационные расходы, тыс. руб.

Предприятие

760

1077

1

530

471

2

725

1425

3

395

128

4

806

663

5

1010

148

6

681

982

7

484

225

8

1163

1283

9

762

1587

10

799

862

11

488

418

12

439

15

13

1241

1195

14

768

1175

15

564

208

16

770

718

17

547

539

18

766

1614

19

436

265

20

833

1146

21

1044

395

22

706

908

23

482

246

24

1180

754

25

794

1404

26

844

845

27

525

645

28

483

172

29

1265

1971

30


 

1.1  Провести статистическую группировку 30 предприятий по двум признакам в соответствии с вариантом V (табл.1) и данными таблицы 2.

Для того чтобы исследовать взаимосвязь  между отобранными признаками с  помощью метода аналитических группировок, необходимо произвести группировку единиц совокупности  по факторному признаку и по каждой группе исчислить среднее значения результативного признака, вариация которого под влиянием группировочного признака от группы к группе будет указывать на наличие или отсутствие взаимосвязи.

Прежде  всего, выбираем группировочный признак, по которому будет производиться  группировка. Известно, что сумма внереализационные расходы зависят от численности работников. Отсортируем данные таблицы 1 по возрастанию, взяв численность производственных рабочих за сортировочный признак.  В качестве второго признака – результативного Y – сумму внереализационных расходов. Также определим минимальные и максимальные значения, и общие средние величины по факторному и результативному признакам (полученные результаты представлены в таблице 2). 

Таблица 2 –  Результаты ранжирования фирм по факторному признаку

Среднесписочная численность производственного  персонала, чел.

Внереализационные расходы, тыс. руб.

Предприятие

395

128

4

436

265

20

439

15

13

482

246

24

483

172

29

484

225

8

488

418

12

525

645

28

530

471

2

547

539

18

564

208

16

681

982

7

706

908

23

725

1425

3

760

1077

1

762

1587

10

766

1614

19

768

1175

15

770

718

17

794

1404

26

799

862

11

806

663

5

833

1146

21

844

845

27

1010

148

6

1044

395

22

1163

1283

9

1180

754

25

1241

1195

14

1265

1971

30

22290

23484

Итого

395

15

- минимумы

1265

1971

- максимумы

743

782,8

- общие средние


 

По ранжированному ряду видно, что факторный признак (среднесписочная численность производственного персонала) колеблется от 395 до 1265 чел.

 Ориентировочно  определить оптимальное количество  групп с равными интервалами  можно по формуле американского  учёного Стерджесса.

n=1+3.322lgN,

где n – число групп,

N – число единиц в статистической совокупности.

Так как  log30=1.477, то:

n=1+3.322log30=5.907.

Таким образом, число групп, как для факторного, так и для результативного признаков будет равняться шести.

Для группировок  с равными интервалами величина интервалов:

ix=

,

где Хmax и Xmin – соответственно максимальное и минимальное значения суммы дивидендов по привилегированным акциям.

Величина  интервала для факторного признака будет равна:

ix=

чел.

Теперь  образуем группы фирм, отличающиеся друг от друга на величину интервала (ix=145). Первая группа фирм будет иметь размер в пределах от 395 (т.к. нижняя граница первого интервала должна быть равна минимальному значению соответствующего признака) до 540 чел. Вторая группа – от 540 до 685 чел. и т. д.

Длина интервала  для результативного признака:

yx=

=
тыс. руб.

При определении  числа фирм в группе используется принцип единообразия: левое число (т.е. нижняя граница интервала) включает в себя обозначенное значение, а  правое – не включает.

Центры  интервалов Хцк и Yцк для расчета общей средней рассчитываются как полусуммы границ соответствующих интервалов.

Представим  полученные результаты в виде таблиц 3 и 4.

 

 

Таблица 3 – Границы интервалов по факторному признаку (при Хmin=395)

Группа

Границы по Х

Число фирм (fк)

Среднее (хк)

Центр (хцк)

_           хк * fк

хцк * fк

Сумма накопленных частот (S)

нижняя

верхняя

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

395

540

9

474

467,5

4266

4207,5

9

2

540

685

3

597

612,5

1791

1837,5

12

3

685

830

10

766

757,5

7660

7575

22

4

830

975

2

838

902,5

1676

1805

24

5

975

1120

2

944

1047,5

1888

2095

26

6

1120

1265

4

1212

1192,5

4848

4770

30

Сумма

-

-

30

-

-

22129

22290

-


 

 Таблица  4 - Границы интервалов по результативному  признаку (при Ymin=15)

Группа

Границы по Y

Число фирм (fк)

Центр  (Yц)

                _       Среднее Yк

_      Yк* fк

Yц * fк

нижняя

верхняя

1

2

3

4

5

6

7

8

1

15

341

8

178

175,87

1406,96

1424

2

341

667

6

504

521,83

3130,98

3024

3

667

993

6

830

844,83

5068,98

4980

4

993

1319

5

1156

1175,2

5876

5780

5

1319

1645

4

1482

1507,5

6030

5928

6

1645

1971

1

1808

1971

1971

1808

Сумма

-

-

30

-

-

23483,92

22944


 

На основе таблиц 3 и 4 строится комбинационная группировка, где каждая группа, полученная по факторному признаку, разбивается на подгруппы  по результативному признаку (таблица 5).

Таблица 5 –  Комбинационная таблица

Группы по Х

Группы по Y

Итого фирм в группе

Номер

Границы          

1

2

3

4

5

6

нижние и верхние границы

15

341

667

993

1319

1645

Нижняя

верхняя

341

667

993

1319

1645

1971

1

395

540

6

3

0

0

0

0

9

2

540

685

1

1

1

0

0

0

3

3

685

830

0

1

3

2

4

0

10

4

830

975

0

0

1

1

0

0

2

5

975

1120

1

1

0

0

0

0

2

6

1120

1265

0

0

1

2

0

1

4

Итого фирм в группе

8

6

6

5

4

1

30


 

1.2 Рассчитать общие средние величины по факторному и результативному признакам разными способами: как простые средние арифметические, как средневзвешенные из групповых средних и как средневзвешенные из середин интервалов. Выявить преимущества и недостатки этих способов  с точки зрения точности получения результатов, простоты  и эффективности проведения  расчетов в макроэкономических исследованиях.

Определим средние групповые значения по факторному и результативному признакам.

Хk – среднее значение признака по группе:

                                             ,

где Хi – значение признака Х для i-той фирмы,

fk – число фирм в k-той группе.

 Рассчитаем  среднее значение по первичным  данным, исходя из группировки  по факторному признаку, результаты  расчётов представлены в таблице  3 гр. 5.

Групповые средние по результативному признаку определяются по группам фирм, полученным при группировке по факторному признаку, результаты расчетов представлены в  таблице 4 гр. 6

Определим общие средние по каждому признаку разными способами.

Средняя арифметическая простая равна простой  сумме отдельных значений усредняемого признака, деленной на общее число  этих значений (она применяется в  тех случаях, когда имеются несгруппированные  индивидуальные значения признака):

,

где Хi – значение признака Х для i-той фирмы,

f – число единиц совокупности.

Для результативного  признака расчет средней арифметической простой проводится аналогично, результаты расчётов представлены в таблице 2.

Средняя арифметическая взвешенная по групповым  средним определяется по формуле:

,

где f – число единиц в каждой группе.

Для результативного  признака расчет средней арифметической взвешенной по групповым средним  определяется аналогично.

 чел.;

 

тыс. руб..

Средняя арифметическая по серединам интервала  определяется по формуле:

,

где Хi – середина интервала i-той группы,

       f – число единиц в каждой группе.

Для результативного  признака расчет средней арифметической по серединам интервалов определяется аналогично.

 чел.

тыс. руб.

При расчете  средней групповой по серединам  интервалов допускается некоторая  неточность, поскольку делается предположение  о равномерности распределения  единиц признака внутри группы. Однако ошибка будет тем меньше, чем уже  интервал и чем больше единиц в  интервале.

Правильный  расчет общей средней величины возможен, если каким-либо способом удается получить среднее значение признака по каждой группе. Если же среднее значения признака в группах определить по имеющимся  сведениям нельзя, то их заменяют серединами интервалов, получая в итоге некоторое, чаще всего вполне удовлетворительное, приближение к среднему значению.

В современных  условиях развития рыночных отношений  в экономике средние служат инструментом изучения объективных закономерностей  социально-экономических явлений.

Для общественных явлений характерна аддитивность (суммарность) объемов варьирующего признака, этим определяется область применения средней  арифметической и объясняется ее распространенность как обобщающего  показателя.

 

1.3 Определим  моду и медиану  факторного признака по интервальному ряду значений первичной группировки.

 

Для интервальных рядов распределения с равными  интервалами мода определяется по формуле:

,

где Хо – начало модального интервала;

       iо – длина модального интервала;

       fm – частота модального интервала;

       fm-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

       fm+1 - частота интервала, следующего за модальным.

По данным таблицы 3 (границы интервалов по факторному признаку) наибольшее число фирм (10) имеет численность производственного персонала от 685 до 830 Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

Введем  следующие обозначения:

Хо=685;     iо=145;

fm=10;               fm-1=3;

fm+1=2.

Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления:

Итак, модальным  значением численности производственного персонала является численность 753 чел.

Определим моду графическим способом


 

Рис. 1 Мода

Мода  широко используется в статистической практике при изучении покупательского  спроса, регистрации цен и т.д.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

,

где Хе – начало медианного интервала;

       ie – величина медианного интервала;

       N – количество фирм;

     Se-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

      fe - частота медианного интервала.

Определим медианный интервал. Для этого  воспользуемся данными таблицы 3. В данном случае сумма накопленных частот: 22 - соответствует интервалу 685-830. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле. Известно, что:

Хе =685;       ie =145;

N =30;                Se-1 =12;

fe =10.

Следовательно,

.чел.

Полученный  результат говорит о том, что  из 30 фирм 15 фирм имеют  менее 728,5 чел. Производственных работников, а 15 фирм – более.

Медиана находит практическое применение в  маркетинговой деятельности вследствие особого свойства – сумма абсолютного  отклонений чисел ряда от медианы  есть величина наименьшая:

.

Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения общей средней, совпадая с ней только в случае симметричного  распределения частот вариационного  ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.

Использование в анализе вариационных рядов  распределения рассмотренных выше характеристик позволяет более  глубоко и детально охарактеризовать изучаемую совокупность.

Распределение асимметричное (Мо≠Ме≠Хобщ).

 

1.4  На одном и том же поле  графика построить эмпирическую и теоретическую линию регрессии зависимости результативного признака от факторного.

Эмпирическую  линию регрессии строим по групповым  средним значениям факторного и  результативного признаков (рисунок  3).

Также построим точечный график по исходным данным (рисунок 2).

Для построения теоретической линии регрессии  зависимости результативного признака от факторного произведем дополнительные расчеты.

В основе зависимости лежит прямолинейная  связь, которая может быть выражена простым линейным уравнением регрессии:

=a+bх,

где - теоретические значения результативного признака, полученные по уравнению регрессии;

a, b – коэффициенты (параметры) уравнения регрессии.

Параметры уравнения прямой a, b определяются путем решения системы нормальных уравнений, полученных по методу наименьших квадратов:

 


 

 

;    

                         

.

Определив значения a, b уравнения регрессии рассчитываем теоретическую линию регрессии путем подстановки значений х в уравнение корреляционной связи: =-980,2+ 2,5х

Для наглядности  параметров уравнения регрессии  строим расчетную таблицу.

Таблица 6 – Расчетная таблица

XK

YK

XK2

XK*YK

474

175,87

224676

83362,4

204,8

597

521,83

356409

311533

512,3

766

844,83

586756

647140

934,8

838

1175,2

702244

984818

1114,8

944

1507,5

891136

1423080

1379,8

1212

1971

1468944

2388852

2049,8

4831

6196,23

4230165

5838784

6196,3


 
    Параметры уравнения связи определены  правильно, т.к. ∑y=∑ =6196,3

Уравнение связи  показывает зависимость суммы внереализационных расходов от численности производственных рабочих.

Коэффициент регрессии а1 уточняет связь между х и y. Он показывает, на сколько единиц увеличивается результативный признак при увеличении факторного признака на единицу. В данном случае b=2,5. Значит, при увеличении численности работников на 1 чел. сумма внереализационных расходов в среднем должна  увеличиться на 2,5 тыс. рублей.

Для уточнения  формы связи между рассматриваемыми признаками используем графический  метод.

 

Рисунок 2 –Эмпирическая и теоретическая линия регрессии зависимости результативного признака от факторного.

1.5. Рассчитать коэффициент вариации для факторного и результативного признака и охарактеризовать однородность статистической совокупности.

Коэффициент вариации рассчитывается по формуле:

,

.

Среднеквадратические  отклонения и рассчитываются по формулам:

,

 

.

Таким образом, коэффициенты вариации равны:

 

(%),

(%).

По величине коэффициента вариации можно судить о степени вариации признаков  совокупностей. Чем больше его величина, тем больше разброс значений признака вокруг средней, тем менее однородна  совокупность по своему составу и  тем менее представительна средняя.

Так как  и ≥33%, то статистическая совокупность значений факторного и результативного признаков  не является  однородной.

 

1.6 С вероятностью Р, заданной в таблице 3, определить возможные пределы изменения общих средних величин факторного и результативного признаков, найденных выше. При этом следует учесть, что выборка, состоящая из 30 предприятий, получена из генеральной совокупности путем 10 %-го случайного бесповторного отбора.

Значения: t=2,7; Р=F(t)=09931.

Определим среднюю ошибку выборки для бесповоротного отбора:

 

,

где - средняя ошибка выборочной средней;

       - дисперсия выборочной совокупности;

       n – численность выборки;

       N – объем генеральной статистической совокупности, т.е. совокупности, из которой извлечена выборка, объемом n=30.

N=300.

.

 

Для результативного  признака средняя ошибка выборки  определяется аналогично:

,

.

 

Предельная  ошибка ∆ выборки для факторного и результативного признаков  определяется по формулам:

,

,

где ∆х , ∆y – предельная ошибка выборки;

μх , μy – средняя ошибка выборочной средней;

t – коэффициент доверия, зависящий от значения вероятности (Р).

 

∆х=2,7×41,2=111,24

 

∆y=2,7×102,78=277,51

 

Пределы, в которых находится данная выборочная средняя, определяются по следующей  формуле:

,

где - числовые значения пределов;

       - среднее значение выборочной совокупности;

        ∆ - предельная ошибка выборки.

Определим эти пределы:

=738-111,24=626,76

 

=738+111,24=849,24

 

=782,8-277,51=505,29

 

=782,8+277,51=1060,31

 

Таким образом, возможные пределы изменения  средних величин факторного признака от 626,76 до 849,24.  Для результативного признака – от 505,29 до 1060,31.

 

2. Задание

2.1 По данным табл.4 и табл.5 определить  вид рядов динамики (интервальные  или моментные). Согласно трем  последним цифрам зачетной книжки  студента выбрать по одному  ряду и рассчитать для каждого  ряда средние уровни.

Таблица 7 – Динамика инвестиций, тыс.руб.

№ ряда

Дата

1 янв

1 фев

1 мар

1 апр

1 мая

1 июн

1 июл

1 авг

1 сен

1 окт

12

120

144

344

488

741

1233

1340

1900

3247

5260


Данный ряд динамики является моментным  рядом с равностоящими датами, так как исходные данные представлены на опредёлённый момент времени, то есть на дату

Для моментных  рядов динамики с равностоящими  датами уровень за период времени  определяется по формуле средней  хронологической.

Таблица 8 – Динамика чистой прибыли, тыс.руб.

№ ряда

Годы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

120

144

344

488

741

1233

1340

1900

3247

5260

Общая теория стастистики