Общая теория статистики. 4

Министерство  образования и науки Российской Федерации 

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра Статистики

 

Семестровое домашнее задание

 

по дисциплине:  «Статистика»

раздел 

«Общая теория статистики»

 

 

 

Выполнила студентка 2 курса

вечерней формы обучения

специальности Маркетинг

 

 

Петросян Мариам Макаровна        _______________                                                  

 

                                                                  

Руководитель работы

 

_______________________ Сильченко Александр Семенович

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2011 год

 

Задание :

    1. Провести группировку предприятий по стоимости основных производственных фондов в отчетном году с целью выявления зависимости между размером предприятия по стоимости основных производственных фондов и физическим объемом выработанной продукции. Результаты представить в виде статистической таблицы, сформулировать выводы.
    2. Построить ряд распределения предприятий по физическому объему выпущенной продукции в отчетном году, рассчитав величину интервала по формуле Стерджесса. Для построенного ряда определить среднюю арифметическую величину , медиану, показатели вариации, показатель асимметрии. По правилу 3-х сигм проверить соответствие эмпирического распределения нормальному, сформулировать выводы.
    3. Используя ранее выполненную группировку предприятий по стоимости основных фондов ,(п.1.), проверить правило сложения дисперсий по физическому объему выпущенной продукции.
    4. Предприятия , по которым   имеются отчетные данные, представляют собой десятипроцентную простую случайную выборку из общего числа предприятий данной отрасли. Требуется определить : а) среднюю стоимость основных производственных фондов для всех предприятий отрасли в отчетном году, гарантируя результат с вероятностью 0,997; б) вероятность того, что средняя стоимость основных производственных фондов отличается от полученной по выборке не более, чем на 1,0 млн.руб. ( на 10% от выборочной средней).
    5. Рассчитать индексы цен Паше , Ласпейрасса и Фишера. Проанализировать полученные результаты.
    6. Определить прирост стоимости произведенной продукции за счет выпуска экспорта в каждом году.

№ пред-приятия 

Выпуск кирпича  млн. шт.

Цена 1-ого кирпича

Средняя годовая стоимость основных средств,млн.руб

Базисный год 

Отчетный год 

Базисный год

Отчетный год

Базисный год

Отчетный год

всего

в т.ч. экспорт 

всего

в т.ч. экспорт

всего

в т.ч. экспорт

всего

в т.ч. экспорт

6

35,2

7,2

36,3

7,3

10

13

11

13

18,0

18,5

7

29,5

6,0

30,6

6,6

8

11

9

12

18,6

18,7

8

29,4

6,4

29,3

6,3

9

12

9

12

18,3

18,6

9

40,8

8,8

45,9

9,9

10

12

11

13

29,9

23,2

10

39,1

8,1

40,4

8,4

10

13

12

15

19,0

19,6

11

38,2

7,2

40,3

8,3

9

12

10

13

28,0

22,6

12

34,1

6,1

34,6

6,6

8

11

9

12

18,9

19,2

13

27,8

7,8

28,8

5,8

9

12

9

12

18,3

18,9

14

34,7

5,7

35,8

7,8

8

11

9

13

26,0

21,3

15

27,1

4,9

27,8

5,0

9

12

10

13

18,4

18,4

16

32,4

7,4

36,0

6,0

10

13

12

14

21,0

21,8

17

29,9

6,9

29,1

6,1

9

11

10

12

16,0

17,0

18

30,5

5,5

30,8

6,8

9

12

10

14

23,1

19,8

19

38,5

8,5

38,0

8,0

10

12

11

15

24,8

19,9

20

34,3

6,2

36,0

7,0

9

11

11

14

17,9

18,3

21

34,8

6,9

35,0

7,1

10

12

11

13

18,1

18,5

22

39,6

10,6

39,0

9,0

9

12

10

13

30,5

22,0

23

31,0

5,0

30,5

6,5

8

11

9

12

17,5

17,8

24

34,1

6,1

34,4

6,4

9

12

9

13

25,1

21,1

25

35,3

7,3

36,0

7,0

9

12

10

14

20,8

19,5

26

29,6

6,6

30,6

5,6

8

11

9

12

17,1

17,3

27

33,5

7,5

34,0

5,4

9

12

10

13

18,0

18,3

28

35,2

5,2

35,9

8,9

9

11

10

14

18,1

18,5

29

39,7

8,7

41,0

9,0

9

12

10

13

32,0

21,8

30

30,0

30,0

30,0

6,0

9

11

10

14

17,6

17,8

31

40,0

40,0

39,5

8,0

10

13

12

15

20,0

19,2

32

29,5

29,5

30,6

6,6

9

12

10

14

18,6

19,7

33

28,8

28,8

29,0

6,8

8

11

9

13

18,3

18,6

34

40,8

40,8

41,0

8,2

9

12

10

14

34,0

22,4

35

39,0

39,0

40,0

7,5

9

11

11

13

19,0

19,4

36

38,2

38,2

39,3

7,3

10

12

12

14

27,5

22,2

37

34,3

34,3

34,3

6,3

9

11

10

12

18,9

19,2

38

27,8

27,8

28,8

6,8

8

12

9

13

18,3

18,9

39

34,7

34,7

34,0

6,5

9

12

11

13

30,0

21,3

40

27,1

27,1

27,8

5,8

8

11

9

12

18,2

18,4

41

32,5

32,5

36,7

7,7

9

11

10

13

28,7

21,9

42

29,9

29,9

29,0

6,0

10

13

12

15

16,9

17,2

43

30,5

30,5

30,8

6,8

9

12

10

14

18,1

19,8

44

38,5

38,5

38,0

7,0

8

11

9

13

21,5

19,7

45

34,2

34,2

36,0

6,0

9

12

10

14

17,9

18,3

46

34,8

34,8

35,0

5,0

9

11

10

13

18,1

18,6




ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

 

 

 

 

 

1.  Провести группировку предприятий по стоимости основных производственных фондов в отчетном году с целью выявления зависимости между размером предприятия по стоимости основных производственных фондов и физическим объемом выработанной продукции. Результаты представить в виде статистической таблицы, сформулировать выводы.

Таблица 1. Зависимость между размером предприятия по стоимости основных фондов и физическим объемом выработанной продукции

Размер предприятия по стоимости  основных производственных фондов в отчетном году , млн. руб.

Число предприятий

Средняя стоимость основных производственных фондов в отчетном году , млн. руб.

Средний физический  объем выработанной продукции, млн. шт.

17

-

18,5

13

18,02

32,15

18,5

-

20

17

19,25

33,79

20

-

21,5

3

21,23

34,73

21,5

-

23

7

22,1

39,04

23

-

24,5

1

23,2

45,9

Итого

41

103,8

185,61


 

Вывод:

 Как видно из  таблицы, с увеличением размера  предприятия по стоимости основных  производственных фондов, возрастает  и  физический объем выработанной  продукции, т.е. зависимость между  этими двумя показателями –  прямая.

 

 

 

 

 

 

 

 

  1.   Построить ряд распределения предприятий по физическому объему выпущенной продукции в отчетном году, рассчитав величину интервала по формуле Стерджесса. Для построенного ряда определить среднюю арифметическую величину , медиану, показатели вариации, показатель асимметрии. По правилу 3-х сигм проверить соответствие эмпирического распределения нормальному, сформулировать выводы.

 

Физический объем выпущенной продукции по предприятиям в отчетном году представлен в таблице 2:

 

Таблица 2. Физический объем выпущенной продукции по предприятиям в отчетном году

№ предприятия

Объём продукции, млн. шт.

Отчетный  год

15

27,8

40

27,8

13

28,8

38

28,8

33

29,0

42

29,0

17

29,1

8

29,3

30

30,0

23

30,5

7

30,6

26

30,6

32

30,6

18

30,8

43

30,8

27

34,0

39

34,0

37

34,3

24

34,4

12

34,6

21

35,0

46

35,0

14

35,8

28

35,9

16

36,0

20

36,0

25

36,0

45

36,0

6

36,3

41

36,7

19

38,0

44

38,0

22

39,0

36

39,3

31

39,5

35

40,0

11

40,3

10

40,4

29

41,0

34

41,0

9

45,9


 

Число групп определяется по формуле Стерджесса:

m = 1+3,322*lgN

N - общее число единиц совокупности, в N=41 (по условию задания)

m= 1+ 3,322*lg41= 6,3

m=6

Величину интервала  группировки определяется по формуле:

i = R/m

R= xmax- xmin - размах колебания (варьирования) признака.

= 45,9 млн. шт.

= 27,8  млн. шт.

R=45,9-27,8=18,1

i = 18,1/6=3,1

Строим ряд распределения, результаты которого представлены в  таблице 3:

Таблица 3. Распределение предприятий по суммарному объему выпущенной продукции

Объем продукции за отчетный год,      млн. шт.

27,8 -       - 30,9

30,9 -     - 34

34 -    37,1

37,1 -    - 40,2

40,2 -     - 43,3

43,3 -      - 46,4

Итого

Количество предприятий, шт.

15

2

13

6

4

1

41

Накопленные частоты

15

17

30

36

40

41

  

Центр интервала 

29,35

32,45

35,55

38,65

41,75

44,85

  

 

 

 

1. Средняя арифметическая для  интервального ряда распределения  определяется по формуле:

x = å(x' *f) /åf,

     

где x' - середина соответствующего интервала значения признака.

_

X=(29,35*15+32,45*2+35,55*13+38,65*6+41,75*4+44,85*1)/41=34,42

 

2. Медиана соответствует  варианту, стоящему в середине  ранжированного ряда. Положение  медианы определяется ее номером:

NMe = (n + 1)/ 2

n - число единиц совокупности.

NMe = (41+1)/2 = 21

Численное значение медианы  определяется по формуле:

 

  

 

                      NMe - S(-1)

 Ме = xMe + i*¾¾¾¾¾

                              fMe

xMe - нижняя граница медианного интервала,

S(-1) - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

i - величина интервала,

fMe - частота медианного интервала.

Медианным является интервал (34-37,1], поскольку его накопленная  частота равна 30, что превышает половину суммы всех частот ((42/2)=21). Нижняя граница этого интервала 34, его частота 13, накопленная до него 17, величина интервала (37,1-34)=3,1.

 

Ме=34+3,1((41+1)/2-17)/13)=34,96

Медиану также можно  найти графически

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На рисунке представлена кумулятивная прямая(кумулята).

 

3.  Показатели вариации (колеблемости) признака.

3.1. Абсолютные:

    • Размах колебаний (размах вариации):

    • Среднее линейное отклонение:

    • Среднее квадратическое отклонение:

 

 

    • Дисперсия:

 

    • Квартильное отклонение:

Определим место квартилей:

, т.е. квартиль лежит в первом  интервале.

, т.е. квартиль лежит в третьем   интервале.

, т.е. квартиль лежит в четвертом  интервале.

, где  - нижняя граница интервала, в котором находится квартиль; - накопленная частота интервала, предшествующего тому, в котором находится квартиль; - частота интервала, в котором находится квартиль.

  

 

 

Получаем, что у 25% предприятий  величина объема продукции составляет менее 29,97 млн. шт.; у 25% - лежит в пределах от 29,97 млн. шт. до 34,96 млн. шт., у 25% - в пределах от 34,96 млн. шт. до 37,87 млн. шт. и у остальных 25% предприятий составляет более 37,87 млн. шт.

3.2. Относительные:

    • Коэффициент осцилляции:

 

 

    • Относительное линейное отклонение:

    • Коэффициент вариации:

Наиболее часто употребляемый  относительный показатель -  коэффициент  вариации: если он не превышает 33%, то совокупность считается однородной. Как видно из расчета, данная совокупность является однородной.

                  

    • Относительный показатель квартильной вариации:

(или  )

4.Показатель асимметрии

(34,42-34,96)/20,52= - 0,03

Он принимает отрицательное  значение, это говорит о левосторонней  асимметрии. Поскольку коэффициент  асимметрии меньше 0,25 , то асимметрия незначительная.

 

= 34,42 млн.шт

4,53 млн.шт

Правило трех сигм

Интервалы для значения признака фактора: ( );  ( );  ( );

(34,42-4,53)-(34,42+4,53);(34,42-9,06)-(34,42+9,06);(34,42-13,59)-(34,42+13,59)

 

 

 

 

 

 

Интервальные значения признака x, млн.шт

Число единиц, входящих в интервал

Удельный вес числа  единиц, входящих в интервал в общем их числе, %

Удельный вес единиц, входящих в  интервал при нормальном распределении, %

29,89-38,95

24

58,5

68,3

25,36-43,48

40

97,6

95,4

20,83-48,01

41

100,0

99,7


 

Первичная информация по признаку-фактору не подчиняется  закону нормального распределения.

 

 

  1. Используя ранее выполненную группировку предприятий по стоимости основных фондов ,(п.1.), проверить правило сложения дисперсий по физическому объему выпущенной продукции.

Правило сложения дисперсий:

 

Общая дисперсия характеризует  вариацию результативного признака под влиянием всех факторов, формирующих  уровень признака у единиц совокупности данных. Она определяется по формуле:

Средняя внутригрупповая  дисперсия характеризует случайную  вариацию результативного признака, возникающих под влиянием других, неучтенных факторов и не зависит  от признака-фактора, положенного в  основу группировки. Она определяется по формуле:

          

      Межгрупповая  дисперсия отражает систематическую  вариацию результативного признака, т.е. те различия, которые возникают  под влиянием фактора, положенного  в основу группировки. Она определяется по формуле:

              

Среднее арифметическое

=1415,9/41=34,53

Вспомогательная таблица для расчета общей , межгрупповой и средней внутригрупповой дисперсий .

Размер предприятия  по стоимости основных производственных фондов в отчетном году  , млн. руб.

Число предприятий

Физический объем выпущенной продукции  каждым предприятием в группе (отчетный год), млн. шт.

(

)

Суммарный физический объем  выработанной продукции (отчетный год), млн. шт.

Средний физический объем  выработанной продукции в отчетном году,  млн. шт.

17

-

18,5

13

29,1;29;30,6;30;30,5;36;

34;36;27,8;27,8;35;35,9;36,3

418

32,15

          139,26

18,5

-

20

17

29,3;29;35;30,6;28,8;28,8;

34,6;39,5;34,3;40;36;40,4;

30,6;38;30,8;30,8;38

574,5

33,79

245,65

20

-

21,5

3

34,4;34;35,8

104,2

34,73

1,77

21,5

-

23

7

36;41;36,7;39;39,3;41;40,3

273,3

39,04

24,05

23

-

24,5

1

45,9

45,9

45,9

0




 

 

Общая дисперсия

 

Межгрупповая дисперсия 

 

Средняя внутригрупповая  дисперсия 

s 2 1 = 139,26/13=10,7

s 2 2= 245,65/17=14,45

s 2 3 = 1,77/3=0,59

s 2 4 = 24,05/7=3,43

s 2 5 = 0

_

s 2 =((10,71*13) + (14,45*17) + (0,59*3) + (3,43*7))/41 = 410,73/41=10,02

 

Правило сложения дисперсий:

8,65+10,02=18,67≈19

19=19

Вывод: правило сложения дисперсий  выполняется.

 

4.Предприятия  , по которым   имеются отчетные  данные, представляют собой десятипроцентную простую случайную выборку из общего числа предприятий данной отрасли. Требуется определить : а) среднюю стоимость основных производственных фондов для всех предприятий отрасли в отчетном году, гарантируя результат с вероятностью 0,997; б) вероятность того, что средняя стоимость основных производственных фондов отличается от полученной по выборке не более, чем на 1,0 млн.руб.

( на 10% от выборочной  средней).

 

а) Необходимые для  подсчетов данные:

Объем выборочной совокупности: .

Объем генеральной совокупности: .

Выборочная средняя: .

Выборочная дисперсия:

  .

а)   Доверительный интервал для генеральной средней  с вероятностью Р определяются по формуле:

 

Величина Dx называется предельной ошибкой выборки.

 

При вероятности 0, 997 t = 2,97.

Рассчитаем среднюю  ошибку выборки для выборочной средней  по формуле бесповторной выборки:

Найдем предельную ошибку средней:

Величина предельной ошибки средней равна  .

Определим доверительный  интервал, в котором будет находиться средняя величина факторного признака для генеральной совокупности:

Вывод: с вероятностью 0,997 среднюю величина основного производственного фонда для всех предприятий отрасли в отчетном году находится в пределах от 18,82 до 20,36.

 

б) Известна допустимая ошибка ∆x = 1.

 

t = ∆x/μx = 1/ 0,26= 3,85

 

 

μx = 0,26 (из п.А)

 

По таблице(удвоенная нормированная функция Лапласа) на основе значения t определяется вероятность того, что ошибка не превысит заданной величины.

 

При t = 3,85 вероятность Р = 0,99988

 

5.Рассчитать индексы цен Паше , Ласпейреса и Фишера.  Проанализировать полученные результаты

Индекс цен  Ласпейреса

Впервые был введен в 1864 году экономистом Э.Ласпейресом.

— стоимость продукции реализованной  в базисном (предыдущем) периоде  по ценам отчетного периода

— фактическая стоимость продукции  в базисном периоде

Экономическое содержание

Индекс цен Ласпейреса показывает, на сколько изменились цены в отчетном периоде по сравнению  с базисным, но на товары реализованные в базисном периоде. Иначе говоря индекс цен Ласпейреса показывает во сколько товары базисного периода подорожали или подешевели из-за изменения цен в отчетном периоде. 

Индекс цен Пааше

Индекс цен Пааше  — это агрегатный индекс цен с весами (количество реализованного товара) в отчетном периоде.

— фактическая стоимость продукции  отчетного периода

— стоимость товаров реализованных  в отчетном периоде по ценам базисного  периода

Экономическое содержание

Индекс цен Пааше  характеризует изменение цен  отчетного периода по сравнению  с базисным по товарам, реализованным  в отчетном периоде. То есть индекс цен Пааше показывает на сколько подешевели или подорожали товары.

Индекс цен  Фишера

Представляет собой  среднюю геометрическую из произведений двух агрегатных индексов цен Ласпейреса и Пааше:

Индекс цен Фишера лишен какого-либо экономического содержания. В силу сложности расчета и трудности экономической интерпретации ипользуется довольно редко (например при исчислении индексов цен за длительный период времени для сглаживания значительных изменений).

Вспомогательная таблица  для расчета промежуточных значений

Выпуск кирпича  млн. шт.

Цена 1-ого кирпича

p1*q1

 

 

 

 

p0*q1

p1*q0

p0*q0

Базисный год

q0

Отчетный год

q1

 

Базисный год 

p0

Отчетный год 

p1

35,2

36,3

10

11

399,3

363

387,2

352

29,5

30,6

8

9

275,4

244,8

265,5

236

29,4

29,3

9

9

263,7

263,7

264,6

264,6

40,8

45,9

10

11

504,9

459

448,8

408

39,1

40,4

10

12

484,8

404

469,2

391

38,2

40,3

9

10

403

362,7

382

343,8

34,1

34,6

8

9

311,4

276,8

306,9

272,8

27,8

28,8

9

9

259,2

259,2

250,2

250,2

34,7

35,8

8

9

322,2

286,4

312,3

277,6

27,1

27,8

9

10

278

250,2

271

243,9

32,4

36,0

10

12

432

360

388,8

324

29,9

29,1

9

10

291

261,9

299

269,1

30,5

30,8

9

10

308

277,2

305

274,5

38,5

38,0

10

11

418

380

423,5

385

34,3

36,0

9

11

396

324

377,3

308,7

34,8

35,0

10

11

385

350

382,8

348

39,6

39,0

9

10

390

351

396

356,4

31,0

30,5

8

9

274,5

244

279

248

34,1

34,4

9

9

309,6

309,6

306,9

306,9

35,3

36,0

9

10

360

324

353

317,7

29,6

30,6

8

9

275,4

244,8

266,4

236,8

33,5

34,0

9

10

340

306

335

301,5

35,2

35,9

9

10

359

323,1

352

316,8

39,7

41,0

9

10

410

369

397

357,3

30,0

30,0

9

10

300

270

300

270

40,0

39,5

10

12

474

395

480

400

29,5

30,6

9

10

306

275,4

295

265,5

28,8

29,0

8

9

261

232

259,2

230,4

40,8

41,0

9

10

410

369

408

367,2

39,0

40,0

9

11

440

360

429

351

38,2

39,3

10

12

471,6

393

458,4

382

34,3

34,3

9

10

343

308,7

343

308,7

27,8

28,8

8

9

259,2

230,4

250,2

222,4

34,7

34,0

9

11

374

306

381,7

312,3

27,1

27,8

8

9

250,2

222,4

243,9

216,8

32,5

36,7

9

10

367

330,3

325

292,5

29,9

29,0

10

12

348

290

358,8

299

30,5

30,8

9

10

308

277,2

305

274,5

38,5

38,0

8

9

342

304

346,5

308

34,2

36,0

9

10

360

324

342

307,8

34,8

35,0

9

10

350

315

348

313,2

       

14414,4

12796,8

14093,1

12511,9


 Индекс цен Пааше

  =14414,4/12796,8=1,126

Темп роста 1,126*100%=112,6%

Темп прироста 112,6-100%=12,6%

Экономический смысл :

Цены  на  кирпичи, реализованные в отчетном периоде, увеличились на 12,6% в отчетном году по сравнению с базисным годом.

Индекс цен  Ласпейреса

 =14093,1/12511,9=1,126

Экономический смысл :

Цены на кирпичи , реализованные в базисном периоде,

увеличились на 12,6% в отчетном году по сравнению с базисным годом.

 Индекс цен  Фишера

  =1,126

В результате увеличения цен в среднем на 12,6% выручка от продажи кирпича увеличилась на 1902,5 млн. руб.

∆pq = ∑ p1*q1 - ∑ p0*q0

 

∆pq = 14414,4-12511,9=1902,5 млн.руб.

   

 

 

6.Определить прирост стоимости произведенной продукции за счет выпуска экспорта в каждом году.

Вспомогательная таблица для расчета промежуточных значений

Выпуск кирпича  млн. шт.

Цена 1-ого кирпича

p1*q1

стоимость кирпича за счет экспорта в отчетном году

p0*q0

стоимость кирпича за счет экспорта в базисном году

Базисный год (экспорт)

q0

Отчетный год (экспорт)

q1

 

Базисный год

(экспорт) 

p0

Отчетный год (экспорт)

p1

7,2

7,3

13

13

94,9

93,6

6,0

6,6

11

12

79,2

66

6,4

6,3

12

12

75,6

76,8

8,8

9,9

12

13

128,7

105,6

8,1

8,4

13

15

126

105,3

7,2

8,3

12

13

107,9

86,4

6,1

6,6

11

12

79,2

67,1

7,8

5,8

12

12

69,6

93,6

5,7

7,8

11

13

101,4

62,7

4,9

5,0

12

13

65

58,8

7,4

6,0

13

14

84

96,2

6,9

6,1

11

12

73,2

75,9

5,5

6,8

12

14

95,2

66

8,5

8,0

12

15

120

102

6,2

7,0

11

14

98

68,2

6,9

7,1

12

13

92,3

82,8

10,6

9,0

12

13

117

127,2

5,0

6,5

11

12

78

55

6,1

6,4

12

13

83,2

73,2

7,3

7,0

12

14

98

87,6

6,6

5,6

11

12

67,2

72,6

7,5

5,4

12

13

70,2

90

5,2

8,9

11

14

124,6

57,2

8,7

9,0

12

13

117

104,4

30,0

6,0

11

14

84

330

40,0

8,0

13

15

120

520

29,5

6,6

12

14

92,4

354

28,8

6,8

11

13

88,4

316,8

40,8

8,2

12

14

114,8

489,6

39,0

7,5

11

13

97,5

429

38,2

7,3

12

14

102,2

458,4

34,3

6,3

11

12

75,6

377,3

27,8

6,8

12

13

88,4

333,6

34,7

6,5

12

13

84,5

416,4

27,1

5,8

11

12

69,6

298,1

32,5

7,7

11

13

100,1

357,5

29,9

6,0

13

15

90

388,7

30,5

6,8

12

14

95,2

366

38,5

7,0

11

13

91

423,5

34,2

6,0

12

14

84

410,4

34,8

5,0

11

13

65

382,8

       

3788,1

8626,3