Определение вероятностного закона распределения наработки до отказа

СОДЕРЖАНИЕ

1. Задача №1. Наработка на отказ…………………..………………….…….….2

2. Задача №2.

2.1 Показатели ремонтопригодности………………………………………7

2.2. Показатели долговечности………………………………………….….9

3. Задача №3. Резервирование…………………………………………………..11

4. Задача №4. Определение вероятностного закона распределения наработки до отказа ……………………………………………………………………….…….17

Литература.........................................................................................................24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №1

Дано:

Наработка на отказ невосстанавливаемого ОН подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами:

вариант 7;

  _{тыс. часов}

  _{тыс. часов}

 

 _штук

  _{тыс. часов}

 

 

Требуется:

Рассчитать функции  для десяти значений наработки в прделах 0…20 тыс. часов и двух значений . Данные для расчетов свести в таблицы, построить графики функций. Дать пояснения по ходу графиков. Определить величины средней наработки до отказа и СКО.

Определить число отказов  за некоторую выбранную произвольно наработку и в интервале наработки.

 

Решение:

Функция плотности распределения  вероятностей классического нормального  распределения имеет вид:

                                      (1.1)

где  - матожидание классического распределения,

       - СКО,

       Если принять  условия нормирования  и , то функция плотности вероятностей с учетом формулы 1.1 записывается так:

   

 

                                     (1.2)

 

Нормированная функция Лапласа  имеет вид:

 

                             (1.3)

 

Поскольку случайная величина наработки  до отказа Т теоретически измненяется  в пределах от нуля до бесконечности, необходимо часть кривой распределения для отсечь (устранить из рассмотрения). В этом случае получим усеченное нормальное распределение. Чтобы сохранить условие нормирования, а именно площадь под кривой усеченного распределения должна быть равна единице, вводится коэффициент усечения [3].

Коэффициенты усечения для двух значений определим по формулам:

 

                  

       (1.4)

                   

 

 

 

       (1.5)

 

 

С учетом формул 1.4 и 1.5 усеченное нормальное распределение:          

 

 

                            (1.6)

 

 

 

                                    (1.7)

 

 

 

Вероятность безотказной работы:                   

 

                    (1.8)

 

 

                     (1.9)

 

Тогда вероятность отказа с учетом формул 1.8, 1.9:

(1.10)

(1.11)

Интенсивность отказов найдем по формулам:

 

         (1.12)

 

        (1.13)

 

Построим графики функций на рис. 1 и 2

                  рис. 1. t (тыс. часов).

График функции безотказной  работы показывает, что  убывающая функция, т.е. и . Отказ объекта является противоположным событием, следовательно и , что видно по графику функции вероятности отказа.

                рис. 2. t (тыс. часов).

На рис. 2 видно, что при значение функции равно удвоенному значению «высоты» функции . Плотность вероятности и интенсивность отказов при равны между собой.

Ход кривой говорит о том, что в течение равных интервалов наработки число отказавших объектов сначала увеличивается, достигая максимума при (когда имеет место максимальная плотность вероятности отказов), а затем постепенно падает до нуля.

Ход кривой обязательно учитывает это обстоятельство – изменение числа отказавших объектов в равных интервалах наработки. Очевидно, что число объектов, не откзавших к началу заданного интервала наработки с ростом наработки будет уменьшаться и стремиться к нулю.

Далее представим аналитические результаты расчетов заданных функций в табличном  виде:

 

 

Определим величины средней наработки  на отказ [4]:

_{тыс. часов}

 _{тыс. часов}

 

 

 

 

Усеченное нормальное распределение  имеет СКО  отличное от СКО классического нормального распределения. Для определения сперва найдем дисперсию наработки на отказ:

_{тыс. часов}

_{тыс. часов}

 

 

 

 

 

Таким образом:

_{тыс. часов²}

 _{тыс. часов²}

 

 

 

  _{тыс.  часов}

 

Определим число отказов  из N=1000 объектов за наработку 

 _{тыс. часов}

и число отказов за последующие сутки

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2

2.1 Показатели ремонтопригодности.

Дано:

Случайное время восстановления подчиняется показательному закону распределеня вероятностей с параметрами:

вариант 7;

  _{1/час – интенсивность восстановления}

_{1/час  – интенсивность  восстановления}

 

 

 

Требуется:

Рассчитать функции вероятности  восстановления для двух значений иненсивности восстановления. Данные расчетов свести в таблицу для десяти значений времени, отведенного на восстановление в пределах 0…50 часов. Построить графики этих функций в общей системе координат. Рассчитать значение среднего времени восстановления.

Определить число восстановленных  издений за некоторое выбранное  произвольно время в интервале  времени, взяв N = 1000 штук.

Решение:

Функция вероятности восстановления при показательном распределении  времени восстановления имеет вид [2]:

 

                         (2.1)

 

                         (2.2)

Расчитаем значение среднего времени  восстановления:

_часов

_часа

 

 

 

 

Построим графики функций в общей системе координат (рис.3):

                 рис.3. t (час)

Далее представим аналитические результаты заданных функций в табличном  виде:

 _часов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим число восстановленных  издений  из N = 1000 штук

 _часов

 _{за последующий  час} 

за время

 _час

и число восстановленных изделий

_шт.

_шт.

_шт.

_шт.

 

 

 

2.2. Показатели долговечности.

Дано:

Случайный индивидуальный ресурс подчиняется  показательному закону распределения вероятностей с параметрами:

вариант 7;

_1/час

_%

 

 

 

Требуется:

Рассчитать функцию вероятности  недостижения предельного состояния  и построить ее график в пределах до 100 тыс. часов. Далее рассчитать средний ресурс, гамма - процентный ресурс назначенный ресурс.

Определить число издений, недостигших  предельного состояния за некоторую, произвольно выбранную наработку.

 

Решение:

Вероятность недостижения предельного  состояния – это вероятность того, что в пределах заданной наработки предельное состояние объекта не наступит. Функция вероятности недостижения предельного состояния при показательном распределении индивидуального ресурса имеет вид [2]:

 

                                 (2.3)

График функции заданной формулой 2.3 изобразим на рис.4.

                                          рис.4. t (часы)

 

Рассчитаем средний ресурс:

_часов

12,5 тыс. часов

 

Гамма - процентный ресурс есть наработка, в течение которой, объект не достигнет предельного ресурса с заданной вероятностью , выраженной в процентах:

 

_часов

11,45 тыс.часов

 

Назначенный ресурс назначается  для объектов оборонного содержания, объектов УВД (РЛК, системы посадки  самолетов и др.), объектов правительственной  связи и т.д.

Назначенный ресурс определяется как  суммарная наработка, по достижению которой применение объекта по назначению должно быть прекращено. По достижению назначенного ресурса каждое изделие объекта снимается с эксплуатации независимо от состояния. Далее, как правило, изделие списывается, в редких случаях подвергается серьезному ремонту [3].

 

_часов

1598 часов

 

 _{тыс.  часов}

Определим число изделий, не достигших предельного состояния m(t) из N=1000 штук за наработку

202 штуки.

 

Задача №3

 _{элементов,}

Изделие состоит из двух частей: первая часть включает

 _{элементов,}

соединенных последовательно (в смысле надежности), вторая - 

соединенных также. Все элементы равнонадежны и имеют интенсивность отказов

Резервирование использует дублирование каждой части, т.е.

Требуется. Рассчитать:

1) функцию надежности нерезервированной системы и ее среднюю наработку до отказа;

2) функцию надежности резервированной системы при общем постоянном резервировании каждой части и среднюю наработку до отказа;

3) функцию надежности резервированной системы при раздельном постоянном резервировании каждой части и среднюю наработку до отказа;

4) функцию надежности резервированной  системы при общем резервировании  замещением каждой части и  среднюю наработку до отказа.

Привести структурные схемы  надежности для каждого случая, построить  графики всех функций в единой системе координат, заканчивая наработками, когда P(t)=0.1. Расчеты свести в таблицы.

Расчитать выигрыш по функции надежности для одной наработки, порядка 1…3 тыс. часов, по сравнению с отсутствием резерва и выигрыш по величине средней наработки до отказа.

 

Решение.

1) Нерезервированная система. Структурная  схема такой системы изображена  на рис. 5. Определим функцию надежности  и построим ее график (ри.9):

рис 5.

 

                - функция надежности первой части,

                - функция надежности второй части,

- функция надежности всей системы.

 

Рассчитаем среднюю наработку  до отказа:

_{тыс. часов}

 

 

2) Резрвированная система при  общем построении резервировании каждой части. Структурная схема такой системы – на рис. 6. Определим функцию надежности и построим ее график (рис. 9):

рис 6.

 

     - функция надежности  первой части,

     - функция надежности  второй части,

- функция надежности всей системы.

 

Рассчитаем среднюю наработку  до отказа:

_{тыс. часов}

 

 

 

3) Резервированная система при  раздельном постоянном резервировании  каждой части. Структурная схема  такой системы – на рис. 7. Определим  функцию надежности и построим  ее график (рис. 9):

 

     - функция надежности  первой части,

    

     - функция надежности  второй части,

 

- функция надежности всей системы.

 

рис 7.

Рассчитаем среднюю наработку  до отказа:

 _{тыс.  часов.}

 

 

 

4) Резервированная система при  общем резервировании замещением каждой части. Структурная схема такой системы – на рис. 8. Определим функцию надежности и построим ее график (рис. 9):

рис 8.

- функция надежности первой  части,

- функция надежности второй  части,

 

- функция надежности всей системы.

 

Рассчитаем среднюю наработку до отказа:

Средняя наработка до отказа первой части:

_{тыс. часов}

 

 

 

Средняя наработка до отказа второй части:

_{тыс. часов}

 

 

 

Средняя наработка до отказа всей системы:

_{тыс. часов}

 

 

 

График функции надежности четырех  видов резервирования:

                       рис 9. t (тыс. часов)

 

Далее представим аналитические результаты расчетов заданных функций в табличном  виде:

 _{тыс.  часов}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          Расчитаем выигрыш по функции надежности для наработки

1) Выигрыш системы общего постоянного резервирования:

 

 

2) Выигрыш системы раздельного  постоянного резервирования:

 

 

 

3) Выигрыш системы общего резервирования  замещением:

 

 

Рассчитаем выигрыш по величине средней наработки до отказа:

1) Выигрыш системы общего постоянного резервирования:

 

 

2) Выигрыш системы раздельного  постоянного резервирования:

 

 

3) Выигрыш системы общего резервирования замещением:

 

 

 

Задача №4

Дано:

По опытным данным установлен вариационный ряд наработок до отказа в часах  T_i (вариант 7):

8	22	32	41	45	55	56	61	64	69
72	75	77	79	81	83	84	86	90	91
94	95	96	97	102	110	112	116	117	118
124	128	130	137	144	149	159	170	175	194

 

Требуется:

1) Построить гистограмму f_j, разбив диаппазон наработок на 10 интервалов по 20 часов.

2) Определить вероятностный закон распределения наработки до отказа, используя критерий , задавшись доверительной вероятностью 0,9; 0,95; 0,99; 0,995; 0,999.

3) Определить доверительный интервал для средней наработки до отказа с учетом найденного закона распределения и принятой выше доверительной вероятности.

 

Решение:

1) Для построения гистограммы f_j составим программный блок:

а) выборку T_i объемом N=40 разделим на 10 интервалов величиной

 _часов

 

б) определим по данным этой выборки число изделий , оказавшихся в j-м интервале с помощью программного блока.

в) расчитаем  точечные оценки функции плотности распределения вероятностей;

г) построим гистограмму (рис. 10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проверка

 

 

 

 

 

Рис. 10. Ось Оу (1/час); Ось Ох (час).

 

2) Определение вероятностного закона  распределения наработки до отказа.

_{округляем до}

Вычислим минимальное число интервалов К и их длину :

 

 

 

найдем значения для каждого интервала и рассчитаем точечные оценки функции f_j:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_до

Построим гистограмму (рис. 11) в диапазоне от

_{с числом интервалов К=7}

 

Рис. 11. Ось Оу (1/час); Ось Ох (час).

 

 Судя по изображению полученной  гистограммы, можно предположить, что распределение подчиняется нормальному закону. Рассчитаем Р_j  - теоретическую безусловную вероятность попадания случайной наработки в j-й интервал в случае усеченного нормального распределения наработки до отказа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция распределения вычисляется по формуле:

 

 

Тогда теоретическая вероятность Р_j:

 

 

Изобразим график функции Р(t) в виде гистограммы и в виде непрерывной (апроксимированной) линии (рис.12).

 

Рис. 12. Ось Ох (час).

 

 

Вычислим наблюдаемое значение расхождения (критерий согласия) U_nabl.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По таблице квантилей распределения найдем критическое значение меры расхождения U_kr [1, стр.22]:

число степеней свободы:

 

Вероятность:

По таблице находим 

 

Таким образом

 

 Следовательно, наше предположение о нормальном законе распределения верно.        

 

3) Определение доверительного интервала для средней наработки до отказа.

Наработка до отказа является случайной величиной. Математическим ожиданием ее есть средняя наработка до отказа

Отклонение Т от Т₀ можно записать в виде:

Примем, что вероятность того, что отклонение будет не больше δ, равна γ. Тогда запишем уравнение:

 

Определим длину отклонения:

 

 

 

Таким образом 

 

Отсюда с вероятностью γ = 0,95 можно утверждать, что границы доверительного интервала равны:

 

 

 

 

Литература.

1. Бабаев В.Г., Емельянов В.Н., Лукъяненко В.И. Надежность и техническая диагностика: Пособие по изучению дисциплины, выполнению контрольной и курсовой работ. М.: МГТУ ГА, 2004.

2. Бабаев В.Г., Емельянов В.Н. Показатели  безотказности авиационного РЭО:  Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1995.

3. Бабаев В.Г. Показатели ремонтопригодности  и долговечности авиационного  РЭО: Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1996.

4. Бабаев В.Г. Комплексные показатели надежности и резервирования авиационного РЭО: Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1997.

5. Бабаев В.Г. Испытание на  надежность: Учебное пособие. М.: МГТУ ГА, 1998.