Оптимизация портфеля инвестиций

   Министерство образования  и науки Российской Федерации

   Муниципальное образовательное учреждение высшего  профессионального образования

   «Воронежский  институт экономики и социального управления» 
Факультет государственного и муниципального управления 
Кафедра естественнонаучных дисциплин и информационного обеспечения управления 
 
 
 
 

   Контрольная работа

   по  дисциплине «Математические модели в экономике и управлении» 
 
на тему: «Оптимизация портфеля инвестиций» 
 
 
 
 
 

                    Выполнила: Бакланова И.А.,

                  номер группы 3.2,

                    Проверил: канд.ф.-м.наук,

                  доц. Кузнецов Л.А.. 
                   
                   
                   
                   
                   
                   
                   

   Воронеж – 2011г.

 

    Содержание 

Введение 3

1.Стохастическая  модель анализа обращений граждан  в органы власти 4

2. Стохастическая  модель анализа эффективности  портфеля инвестиций 9

3. Регрессионная  модель взаимосвязи двух факторов 11

4. Линейная  модель производственной задачи 15

5. Линейная  модель транспортной задачи 20

6. Линейная  модель задачи о назначениях 24

7. Расчет  биноминального критерия и критерия  согласия  χ 2 27

8. Анализ  таблиц сопряженности (кросстабуляции) 28

9. Стохастическая  модель анализа серий 30

Заключение 32

Список  использованных источников 33 
 

 

      Введение

 

   Рынок ценных бумаг играет важную роль в  экономике любой страны. Возможности  рынка ценных бумаг привлекают всё больший и больший приток инвестиций в эту сферу рыночной экономики. В связи с этим актуальным становится анализ и прогнозирование возможной прибыли и рисков, понесенными инвестором при управлении им портфелем ценных бумаг. Сущность портфельного инвестирования подразумевает распределение инвестиционного потенциала между различными группами активов, т.к. невозможно найти ценную бумагу, которая была бы одновременно высокодоходной и высоконадежной. В зависимости от того, какие цели и задачи изначально стоят при формировании того или иного портфеля, выбирается определенное процентное соотношение между различными типами активов, составляющими портфель инвестора.

   Проведя анализ рынка ценных бумаг, инвестор может выбрать актив и инвестировать в него свои средства, но вкладывая весь свой капитал только в одну ценную бумагу, инвестор обрекает себя либо на заведомо низкую доходность, либо на заведомо высокий риск. Следствием второго вывода является необходимость диверсификации капитала между различными активами. Актуальность темы состоит в том, что распределение средств по различным ценным бумагам приводит к формированию портфеля ценных бумаг, и за счет этого инвестор может достичь приемлемого уровня доходности и риска инвестиций. В этом состоит главное преимущество портфельного инвестирования по сравнению с инвестициями в отдельные ценные бумаги.

   Цель  данной работы - понять сущность портфельного инвестирования, знакомство с основными методами анализа и прогнозирования возможной прибыли и рисков.

   Задача  данной работы - на конкретном примере закрепить полученные знания на практике и получить необходимые навыки, которые послужат основой в дальнейшей практической деятельности.

   Теоретическое и практическое значение контрольной  работы позволит приобрести навыки по решению задач экономико-математическое моделирования в экономике и управлении.

    • В данной работе будет использован пакет прикладных программ MS Excel 2007, его такие инструменты как:
    • Анализ данных
    • Поиск решения

Метод исследования – анализ и синтез различной  литературы.

 

    Задание № 1. Стохастическая модель анализа выполнения нормы выработки работниками двух подразделений 

       Постройте стохастическую модель для анализа выполнения норм рабочими. Х – это процент выполнения нормы рабочими цеха А,  Y – это процент выполнения нормы рабочими цеха В. Данные о проценте выполнения норм рабочими приведены по вариантам ниже (процент выполнения нормы рабочими цеха А – таблица соответственно варианта, а процент выполнения нормы рабочими цеха В – таблица следующего варианта). 

      Для построения модели необходимо:

    • найти объем, максимум, минимум и размах каждой выборки;
    • построить интервальное распределение каждой выборки;
    • найти относительные и накопленные частоты распределений;
    • построить гистограмму и полигон для каждого распределения;
    • определить выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное стандартное отклонение и исправленную дисперсию и исправленное стандартное отклонение;
    • на построенной модели сравнить выполнение нормы рабочими двух цехов;
    • рассчитать параметры отклонения распределения процента выполнения нормы в цехе А от нормального, оценить отклонение распределения процента выполнения нормы в цехе А от нормального графически и с помощью критерия Колмогорова-Смирнова.

Выполнение  нормы рабочими цеха. Вариант № 1 

109 94 98 115 118 93 100 113 104 103
101 103 110 96 94 91 100 107 103 91
96 103 91 99 115 101 116 111 94 90
96 120 98 96 94 119 109 98 108 112
95 117 109 105 107 104 106 114 108 95
115 113 96 107 92 93 101 97 115 92
98 113 99 118 96 116 115 120 116 100
92 100 94 90 108 111 109 93 115 101
109 100 108 97 115 93 101 103 96 114
120 109 95 118 91 90 94 93 94 112
 
 
 
 
 
 

Выполнение  нормы рабочими цеха. Вариант № 2

115 142 110 91 101 116 113 128 127 83
104 139 134 146 119 124 152 80 128 124
116 87 128 92 93 95 144 89 96 144
105 111 123 155 114 102 102 108 109 82
130 87 150 121 149 121 145 106 109 154
156 108 146 98 99 92 102 154 115 122
155 104 156 129 108 119 101 148 119 121
141 106 95 144 96 104 119 109 86 152
136 90 109 81 118 151 128 109 136 142
103 149 150 102 104 115 126 100 137 99
 

Решение 

   Используя инструмент «Описательная статистика» пакета MS Excel «Анализ данных»¹,

Получим следующую таблицу: рис. 1.1  

X Y
       
«Среднее»¹ 103,46 Среднее 118,32
Стандартная ошибка 0,902568725 Стандартная ошибка 2,136497653
Медиана 102 Медиана 115,5
Мода 96 Мода 109
Стандартное отклонение 9,025687248 Стандартное отклонение 21,36497653
«Дисперсия выборки»² 81,4630303 Дисперсия выборки 456,4622222
Эксцесс -1,259962715 Эксцесс -1,037835209
Асимметричность 0,238211381 Асимметричность 0,204264392
Размах 30 Размах 76
Минимум 90 Минимум 80
Максимум 120 Максимум 156
Сумма 10346 Сумма 11832
Объем 100 Объем 100
 

Рисунок 1.1 – Статистика выборок 

Расчет  для параметра X представлен на рисунке 1.2:

«(формулы расчета лист1,  Excel №1A.xlsx)». ²

¹[4 с.5]

²[3 с.59]

 

Рисунок 1.2 – Расчет параметров для фактора  X 

   Расcчитанные параметры имеют вид:   

   -среднее   X=103,88 ;

   -выборочная  дисперсия =78,23;  -исправленная выборочная дисперсия=79,02;

   -выборочное  с.к.о. = 8,84;           -исправленное выборочное с.к.о. s =8,89

Расчет  для параметра Y представлен на рисунке 1.3: (лист1, Excel №1A.xlsx) 
 

 

   Рисунок 1.3 – Расчет параметров для фактора Y 

   Расcчитанные параметры имеют вид:   

   -среднее   X=1183,40 ;

   -выборочная  дисперсия =435,44;  -исправленная выборочная дисперсия=439,84;

   -выборочное  с.к.о. = 20,87;           -исправленное выборочное с.к.о. s =20,97

«Оценим по критерию Колмогорова-Смирнова отклонение распределения от нормального»¹:

¹[1 с.53]

 

 

   Рис. 1.4 – параметры отклонения распределения  в орган власти А

   λ(α=0,001 ) = 1,950;     λ = 0,01469166 < λ(α=0,001 ) = 1,950; 

Вывод: различия между эмпирическим и нормальным распределением несущественны. 

   

 

Рисунок 1.5 – оценка отклонения от нормального  графически.

 

Задание №  2. Стохастическая модель анализа эффективности и рисковости портфеля инвестиций

 

      Рассчитать  эффективность и рисковость вложений в $ и € на 1000 руб. на основе самостоятельного исследования поведения валютных курсов (статистика валютных курсов $ и € выбрать в таблице согласно своему варианту). Для решения задания необходимо:

    1. рассчитать пять основных статистических характеристик – средние значения и дисперсии для $ и € и коэффициент ковариации;
    2. найти функцию эффективности портфеля инвестиций и построить ее график;
    3. найти функцию рисковости портфеля инвестиций и построить ее график;
    4. определить оптимальные портфели инвестиций и их характеристики;
    5. сделать детальные выводы.

Изменение курса валют. Вариант № 1

1 день 2 день 3 день 4 день 5 день 6 день 7 день 8 день 9 день 10 день 11 день
29,1830 28,8804 29,0331 29,0609 29,2627 28,9176 28,7285 28,6709 29,1076 29,2647 28,9840
39,9017 40,4816 40,5016 40,0847 39,9069 40,4347 39,8500 40,2990 40,1691 40,5168 39,8491

Решение. Для решения задачи перенесем данные из таблицы 6 на лист рабочей книги MS Excel. Рассчитаем дневную доходность вложений,  приходящихся на один рубль вложений для каждого актива по формулам

   

,    
 

   Таблица 7 – Дневная доходность вложений на один рубль (

и
)

   

Считая  эти значения наблюдениями над случайными величинами и - доходностями за будущий день, можно найти статистические характеристики

   

-0,000648,  
-0,000072,

   

2=0,000080,   
 =0,000134, 
=-0,000012.

Тогда средняя доходность портфеля задается линейной функцией

   

 -0,000648
-0,000072
,

графиком  которой является прямая (рис. 5), принимающая наибольшее значение на отрезке [0; 1] в точке 0.

   

Рисунок 5 – График функции доходности портфеля инвестиций 

Следовательно, оптимальный по доходности портфель имеет вид (0, 1).Риск портфеля измеряется функцией вида

   

 Рис. 6 – График функции рисковости портфеля инвестиций

Квадратичная парабола (рис. 6), принимающая наименьшее значение в точке 1.

Таким образом, оптимальным по риску является портфель (1; 0). Его доходность (1)= -0,000648. Следовательно, даже при минимальном риске вложение будет убыточно.

Задание №  3. Регрессионная модель взаимосвязи двух факторов

 

   В  таблице приведены статистические данные о деятельности компании за 10 лет. Определить связаны ли изменения чистого дохода, рыночная капитализация компании, численность персонала с инвестициями на научно-исследовательскую и опытно-конструкторскую разработки (НИОКР). Построить математическую модель для взаимосвязанных показателей. Для этого:

    • провести анализ статистической взаимосвязи между показателями (вычислить коэффициент корреляции по Пирсону);
    • построить уравнение парной линейной регрессии для показателей с наибольшей корреляцией; 
    • провести анализ уравнения регрессии с использованием характеристик: cредней ошибки аппроксимации   и    -критерия;
    • сделать вывод об адекватности построенной модели.
 

Вариант № 1 

Номер 
года п/п		 Чистый 
доход 
руб.		 Рыночная 
капитализация 
компании, 
руб.		 Инвестиции  
на НИОКР, 
шт.		 Численность 
служащих, 
чел.
   2001    5,45    19,08    1,80    129
   2002    7,38    26,53    2,78    111
   2003    8,87    23,63    2,32    120
   2004    12,02    31,53    3,34    120
   2005    14,16    33,36    3,62    113
   2006    10,51    26,55    2,71    126
   2007    7,42    28,55    2,83    128
   2008    0,69    37,45    4,08    111
   2009    5,17    32,47    3,34    126
   2010    8,35    41,11    4,71    120

Решение

   Для вычисления коэффициента корреляции по Пирсону используем инструмент ППП  MS Excel «Пакет анализа / Регрессия». (Расчеты – лист Excel №3)

1. Анализ статистической взаимосвязи «НИОКР – Чистый доход»

   

   

   

    

   Рисунок 3.1 – Анализ статистической взаимосвязи  «НИОКР – Чистый доход»

2. Анализ  статистической взаимосвязи   «НИОКР-Численность»

 

 

   Рисунок 3.2 – Анализ статистической взаимосвязи  «НИОКР-Численность» 

    2. Анализ статистической взаимосвязи   «НИОКР-Капитализация»

 

 

   

 

   Рисунок 3.3 – Анализ статистической взаимосвязи  «НИОКР-Капитализация» 

Выводы: Сравнивая коэффициенты корреляции, видим, что наибольший коэффициент корреляции 0,99525

   

имеет связь 

   «НИОКР-Капитализация». Здесь связь между факторами тесная, прямая.

Уравнение парной линейной регрессии для этих факторов имеет вид согласно рисунку 3.3

«Средняя ошибка аппроксимации имеет значение согласно расчету листа №3 Excel.»¹

 

    .   F > Fтабл - т.к. <  6% то модель качественная;       

в среднем, расчетные значения отличаются от фактических, на 2,02%

   Делаем  вывод – построенная  модель адекватна по критерию средней ошибки аппроксимации и F- критерия.

     Задание № 4. Линейная модель производственной задачи

 

   Предприятие производит  продукцию А и продукцию  В, причём для  этого  используется три вида сырья.   На производство 1 единицы продукции  А требуется  сырья первого вида  кг, сырья   второго вида  – кг, сырья третьего  вида  – кг.   На производство 1 единицы продукции В требуется затратить сырья первого вида  кг,  сырья второго вида  –  кг,  сырья третьего вида  –  кг.  Предприятие обеспечено  сырьём первого вида  в количестве  кг, сырьём второго вида   в количестве кг,  сырьём третьего вида  в количестве кг.  Прибыль от реализации одной единицы продукции А составляет рублей, а продукции В – рубля.  Составить план производства продукции А и В,  обеспечивающий максимальную прибыль.  
 
 
 

Оптимизация портфеля инвестиций