Основные определения математических элементов
1 Основные определения математических элементов
Динамическая система — множество элементов, для которого задана функциональная зависимость между временем и положением в фазовом пространстве каждого элемента системы. Данная математическая абстракция позволяет изучать и описывать эволюцию систем во времени.
Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.
Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе, динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно: процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы — совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием и законом, по которому система переходит из начального состояния в другое.
Различают системы с дискретным временем и системы с непрерывным временем.
В системах с дискретным временем, которые
традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что
то же самое, траектория системы в фазовом
пространстве) описывается последовательность
Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые — его периодическим решениям.
Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе.
Современные быстродействующие ЭВМ эффективно дают численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, не требуя получения его решения в аналитическом виде. Это позволило некоторым исследователям утверждать, что решение задачи получено, если её удалось свести к решению обыкновенного дифференциального уравнения.
Электродвигатель постоянного тока (ДПТ) — электрическая машина постоянного тока, преобразующая электрическую энергию постоянного тока в механическую энергию.
Объект управления — обобщающий термин кибернетики и теории автоматического управления, обозначающий устройство или динамический процесс, управление поведением которого является целью создания системы автоматического управления.
Ключевым моментом теории является создание математической модели, описывающей поведение объекта управления в зависимости от его состояния, управляющих воздействий и возможных возмущений (помех). Формальная математическая близость математических моделей, относящихся к объектам различной физической природы, позволяет использовать математическую теорию управления вне её связи с конкретными реализациями, а также классифицировать системы управления по формальным математическим признакам (например, линейные и нелинейные).
Тиристорный преобразователь частоты (ТПЧ) — серия тиристорных преобразователей частоты на базе автономного инвертора тока АИТ, применяемых для индукционного нагрева металлов.
Тиристорным преобразователем постоянного тока (ТП) является устройство для преобразования переменного тока в постоянный с регулированием по заданному закону выходных параметров (тока и напряжения). Тиристорные преобразователи предназначаются для питания якорных цепей двигателей и их обмоток возбуждения.
Линейный (нелинейный) элемент
Автоматический регулятор – устройство, автоматически поддерживающее заданное значение какого-либо параметра режима двигателя или изменяющее его по заданному закону.
Датчики — это группа автономных, законченных изделий, предназначенных для преобразования собираемой (измеряемой) информации в электрическую величину для последующей передачи в измерительные, или исполнительные устройства. Особенностью применение датчиков являются размещение их непосредственно в месте отбора информации, что накладывает определенные требования к конструкции, особенно при использовании в агрессивных условиях среды, а также взаимосогласованные метрологические и надежностные характеристики.
Широко встречаются следующие определения:
чувствительный элемент, преобразующий параметры среды в пригодный для технического использования сигнал, обычно электрический, хотя возможно и иной по природе, например — пневматический сигнал;
законченное изделие на основе указанного выше элемента, включающее, в зависимости от потребности, устройства усиления сигнала, линеаризации, калибровки, аналого-цифрового преобразования и интерфейса дл
я интеграции в системы управления. В этом случае чувствительный элемент датчика сам по себе может называться сенсором.
датчиком называется часть измерительной или управляющей системы, представляющая собой конструктивную совокупность измерительных преобразователей, включающую преобразователь вида энергии сигнала, размещенную в зоне действия влияющих факторов объекта и воспринимающий естественно закодированную информацию от этого объекта.
датчик — конструктивно обособленная часть измерительной системы, содержащая один или несколько первичных преобразователей, а также один или несколько промежуточных преобразователей.
Эти определения соответствуют
практике использования термина производителями
датчиков. В первом случае датчик это небольшое,
обычно монолитное устройство электронной
техники, например, терморезистор,
2 Параметрическая оптимизация САР
Цель работы:
– получение навыков параметрической оптимизации замкнутых по отклонению систем автоматического регулирования (САР) с моделью реального объекта и типовым регулятором.
Постановка задачи параметрической оптимизации САР с фиксированной структурой формулируется следующим образом:
известны математические модели элементов САР;
известны математические модели задающих воздействий и внешних возмущений ;
заданы базовые параметры типовых автоматических регуляторов:
для П-регулятора — ;
для ПИ-регулятора — , ,
заданы диапазоны изменения параметров автоматических регуляторов:
где
заданы квадратичные интегральные критерии качества:
Необходимо с помощью методов многомерного поиска [2] найти, путем имитационного моделирования в области настроечных параметров регулятора, такие параметры , которые обеспечивают устойчивость САР соответствуют , или по крайней мере, улучшают критерий качества J2 по сравнению с его значением в базовой точке.
2.1 Математические модели элементов структурных САР
1. Объект регулирования - двигатель.
1.1. Двигатель постоянного тока с независимой обмоткой возмущения и управлением со стороны якорной обмотки.
,
где - ток якорной обмотки двигателя, А,
- частота вращения вала двигателя, рад/с;
- тормозной момент на валу, Н×м;
- поток, создаваемый обмоткой возбуждения, Вб;
- напряжение на якорной обмотке двигателя, В;
- суммарный (приведенный) момент инерции вращающихся масс, кг×м2;
- активное и индуктивное сопротивления якорной обмотки;
Примечание. В настоящем варианте лабораторной работы
- электрическая и
1.2. Двигатель постоянного тока с управлением по цепи якорной обмотки и по цепи обмотки возбуждения.
(2)
где - ток в обмотке (A) и напряжение(B) на зажимах обмотки возбуждения двигателя;
- индуктивное и активное
сопротивления обмотки
Универсальная характеристика =f( )
|
0 |
0.37 |
0.65 |
0.82 |
0.92 |
1.0 |
1.05 |
|
0 |
0.2 |
0.4 |
0.6 |
0.8 |
1.0 |
1.2 |
2. Производственный механизм в САР положения (CAP FI)
где - угол поворота вала ПМ, - коэффициент передачи редуктора.
3. Тиристорные преобразователи (ТПЯ и ТПОВ)
3.1. Без учета инерционности преобразователя.
т.е. для ТПЯ:
для ТПОВ:
3.2. C учетом инерционности преобразователя.
для ТПЯ:
для ТПО:
4. Автоматический регулятор.
4.1. Пропорциональный - П
4.2. Пропорционально-интегральный - ПИ
(12)
(13)
или
4.3. Пропорционально-интегро-
, (15)
Примечание: В настоящей версии лабораторной работы ПИД регулятор не используется.
5. Чувствительный элемент - датчик.
5.1. В САР частоты вращения вала двигателя - тахогенератор
5.2. В САР положения - потенциометрический датчик угла поворота
.
6. Корректирующее звено
.
7. Нелинейный элемент.
7.1. С ограничением. Статическая характеристика:
Рисунок 3. Статическая характеристика нелинейного элемента с ограничением
7.2. С ограничением и зоной нечувствительности. Статическая характеристика:
Рисунок 4. Статическая характеристика нелинейного элемента с ограничением и зоной нечувствительности
8. Вычислитель критерия качества (интегральный квадратичный)
.
9. Возмущающие воздействия:
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
2.2 Методы параметрической
оптимизации динамических
Изобразим область настроечных параметров ПИ регулятора в декартовой системе координат (рисунок 5) в виде прямоугольника БСДО. Предположим, что в области БСДО есть значения настроечных параметров при которых квадратичный критерий качества отличается от значения в базовой точке А. В общем случае таких комбинаций настроечных параметров может быть несколько, т.е. область БДСО может иметь много локальных минимумов критерия J2. Для локализации областей с минимальными значениями J2 предлагается воспользоваться методом сеток: разбить прямоугольник сеткой, например 4х4, как показано на рисунке 5. Далее предлагается провести в каждом узле полученной сетки имитационные эксперименты по моделированию САР с фиксированием переходных процессов и значений интегральных квадратичных критериев качества. Точки сетки в которой САР не устойчива, из анализа исключаются. Среди оставшихся следует выбрать комбинации {Кр, Ти}, для которых получены минимальные значения J2.
Рисунок 5. Область настроечных параметров
На этом первую версию экспериментов локализации локальных минимумов областей настроечных параметров САР можно считать законченной.
Существуют другие методы многомерной параметрической оптимизации, в том числе:
метод Гаусса-Зейделя (метод координатного подъема);
метод случайного поиска;
симплексный метод;
градиентные методы (например, метод планирования факторных экспериментов и крутого восхождения в направлении антиградиента функции цели).
В [2, 3] описываются алгоритмы перечисленных методов, а так же приводятся характеристики области их применения.
3 Задание
и параметры математических
1. Для варианта задания
из табл.1 (по указанию преподавателя)
подготовить дифференциальное
2. Составить схемы моделирования для уравнения из табл. 1.
3. Составить программный
аналог схемы моделирования
4. Провести численные
Для САР электроприводов производственных механизмов, функциональные схемы которых приводятся на рисунках 1 и 2, выбрать математические модели отдельных элементов, согласно выданному преподавателем варианту по таблице 2.
Разработать структурную схему САР.
Разработать схему программного аналога САР на средствах пакета прикладных программ (ППП) МVТU. Параметры элементов САР, а также начальные условия, внешние воздействия, метод интегрирования и необходимые результаты, отображаемые в отчете по лабораторной работе, задаются в таблице 2.
Для заданных значений настроечных параметров САР (в базовой точке) провести имитационное моделирование и оценить критерии качества.
Ознакомиться с методом параметрическом оптимизации, описанном в разделе 3, и провести серию имитационных экспериментов с целью поиска настроечных параметров, улучшающих критерий качества по сравнению с его значением в базовой точке.
ТАБЛИЦА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
N п.п. |
ДИФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ p=d/dt;p2=d2/dt2 |
ПАРАМЕТРЫ |
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ |
МАСШТАБЫ |
13 |
a0*p2*Y(t)+a1*p*Y(t)+a2*Y(t) = =b0*f(t)+b1*p*f(t) |
a0=0.5 a1=0.35 a2=2.0 b0=1.5 b1=2.0 =0.035 A1=1.5 |
Y(0)=Y'(0)= 0 f(t)=A1*sin(wt) |
Mу=1.0 Mf=1.0 Mt=1.0 |
ТАБЛИЦА 2.
№Bар |
Математические модели элементов САР и их параметры |
Тип САР, Q(t), Y(t), параметры метода интегрирования |
17 |
ОР-Д: модель (1), параметры: Lя=0.0163 Гн, Rя=1.63 Ом, Jя=0.06 Кг×м2, Ке=1.610 Вс/р, Км=1.370 Н×м/А, Iян=14.6 А, wн =123.0 р/с. ПМ: модель(5), Kпм=0.02, Тпм=0.005. ТПЯ: модель (9), параметры: Ттпя=0.0033 c, Ктпя=30. НЭ: модель (20), параметры: ОГР1=|ОГР2|=15.0. АР: модель (12), параметры: Kр=2.5, Tи=2.0. ЧЭ: модель (18), параметры: Kу=3.1 В/р. F(t): модель (28), параметры: Mт=20 Н×м, a=0.5. |
CАР FI(t) Q(t) = FIн = Uзi = 6.66 B Вектор Y(t) = F(t), e(t), MY(t), U(t), J(t), L(t), FI(t), Iя(t), w(t) Метод интегрирования: Рунге-Кутта Нач.шаг.инт. Dt = 0.001 c Кон.вр.: T=3.0 c ЗУ:
tg(а)=20 |
4 Преобразование дифференциальных уравнений, результаты измерений
Схема моделирования дифференциального уравнения
Временной график выходной величины
Структурная схема САР
График тока якорной обмотки двигателя
График частоты вращения вала двигателя
График состояния объекта регулирования
