Основы финансовых вычислений

Контрольная работа

по предмету:

"Основы финансовых вычислений".

Студентки второго курса

Экономического факультета

Корж Татьяны Сергеевны

Шифр: 3624

План:

1.Дисконт. Простой и сложный  дисконт. Учетная (дисконтная ставка).........................2 стр.

2. Безубыточное изменение  условий финансовых контрактов. Уравнение финансовой эквивалентности. ..................................................................................................................5 стр.

3. Срочные и непрерывные  ренты.....................................................................................11 стр.

1.Дисконт. Простой и сложный дисконт. Учетная (дисконтная) ставка.

Дисконт

   Дисконтом называют  уменьшение суммы счета, расчета, долга и т.п. по какой либо  причине. В математике финансов  дисконтом является величина, вычитаемая  из суммы погашения обязательства, когда обязательство принимается  до даты его погашения. Сумма, остающаяся после вычитания дисконта  из суммы погашения, называется  выручкой. Например, предположим, что  Иванов получил вексель от  Петрова на 10000 рб, которые будут  погашены через 5 месяцев. После этого  Иванов продает этот вексель  Сидорову за 9500. В этом случае  дисконт равен 500 рб и выручка  равна 9500 рб.

   Нормой дисконта  для данного периода времени  называется отношение дисконта  за период к сумме погашения. Как и в случае простого  процента, эта норма всегда дается  в процентах или эквивалентных  десятичных дробях и обычно  рассчитывается на годовой основе.

Простой дисконт

   При схеме "простых  процентов" (простой дисконт) —  исходной базой для начисления  процентов в течение всего  срока долга на каждом периоде применения учетной ставки является сумма S(n), подлежащая выплате в конце срока вклада.

   Пусть S обозначает  сумму погашения, d норма дисконта  за 1 год и t -продолжительность периода  времени в годах. Если дисконт  вычисляется по формуле

D = Sdt, (1)

 он называется простым  дисконтом или, банковским дисконтом. Если P обозначает выручку, тогда

P = S D . (2)

   Для простого или  банковского дисконта равенства (1) и (2) играют ту же самую роль, какую играют равенства I = Prt . (3) и S = P + I . (4) для простого процента. Если из (1) и (2) исключить D , получается выражение для выручки через величины S , d и t

P = S (1 dt). (5)

   Когда инвестор (в  нашем примере Сидоров) покупает  вексель до его даты погашения, он, по существу, ссужает деньги  продавцу. То есть Сидоров практически  ссудил Иванову 9500 рб на 5 месяцев  и владеет векселем Петрова  как ценной бумагой. В день  погашения Сидоров получит от  Петрова 10000 рб, так что Сидоров  получит 500 рб прибыли за инвестицию 9500 рб на 5 месяцев. Понятно, что 500 рб  могут рассматриваться как простой  процент за инвестированные 9500 рб. Таким образом, в день погашения  дисконт на S становится процентом  на P. Или по-другому, S P может рассматриваться  или как дисконт на S или как  процент на P. Ясно, что норма дисконта  и норма процента не будут  одинаковыми. В рассмотренном примере  норма дисконта равна (из D = Sdt)

d = D/(St) = 500/(10000 х (5/12)) = 0,12 ,

в то время как норма процента равна (из I = Prt)

r = I/(Pt) = 500/(9500 х (5/12)) = 12/95.

   Соотношение между  нормой процента и нормой дисконта  легко получается приравниванием  правых частей равенств (3) и (1) и делением на t. Это дает

Pr = Sd. (6)

   Ошибки в задачах, касающихся дисконта, обычно появляются  из-за перепутывания норм r и d. Равенство (6) ясно показывает, что они не одинаковы и не являются взаимозаменяемыми.

  Когда вексель покупается  до даты его погашения, цена P, которую инвестор будет платить, обычно определяется одним из  двух следующих способов :

   Инвестор может  установить, что используется данная  норма дисконта d . В этом случае S, t и d известны и для нахождения P используется уравнение простого  дисконта,

P = S(1 dt).

   Инвестор может  установить норму процента r , которую  он хотел бы реализовать за  свою инвестицию. В этом случае S, t и r являются известными, так что  для нахождения P должно быть использовано  уравнение простого процента. Поэтому P = S/(1 + rt).

   Когда выручка  от продажи векселя найдена  одним из описанных способов, говорят, что вексель дисконтирован. Если используется способ а) , дисконт называется банковским  дисконтом или дисконтом по  норме дисконта . Если используется  способ b) , дисконт называется дисконтом  по норме процента или иногда  истинным дисконтом.

   Когда человек  занимает деньги и дает свой  вексель, по существу, он продает  свой вексель на время до  даты погашения. В примере предыдущего  параграфа Иванов фактически  продал Петрову за 4000 рб расписку  о том, что через 4 месяца он  выкупит ее за 4076 рб. 4000 рб являются  выручкой. 76 рб можно рассматривать  как дисконт от суммы погашения 4076 рб. 4 месяца спустя, когда Иванов  возместит 4076 рб, 76 рб будут процентом  для Петрова за его инвестицию 4000 рб на 4 месяца.

   Многие банки используют  норму дисконта при выдаче  любых ссуд. Однако при этом  часто используется термин процент  авансом в том же самом смысле, что и банковский дисконт. Например, Сидоров попросил ссуду 120000 рб  на 60 дней в банке, который использует 7\% ную норму процента авансом. В банке вычисляют величину  процента авансом по формуле D = Sdt , где S = 120000 , d = 0,07 и t = 1/6 , получая  значение 1400 рб, и выдают Сидорову 118600 рб, являющиеся выручкой от  ссуды. Понятно, что вексель Сидорова  о возмещении 120000 рб через два  месяца дисконтируется по способу a). Таким образом, термин процент  авансом является синонимом банковского  дисконта, а норма процента авансом  является банковской терминологией  нормы дисконта.

ПРИМЕР 1

16 ноября 1994 Иванов продал  сберегательному банку следующий  вексель

9 февраля 1994

  Через год после указанной даты я обязуюсь выплатить по требованию Иванова 150000 рб и простой процент 6\% годовых.

   Подпись Петров

   Если сберегательный  банк использует 7\% ную норму процента  авансом, a) какой будет выручка, b) какую норму процента реализует  банк при такой инвестиции ?

РЕШЕНИЕ

a) Вексель погашается 9 февраля 1995 г. за 159000 рб. С 16 ноября 1994 г. по 9 февраля 1995 г. пройдет 85 дней, так что S = 159000, t = 85/360 = 17/72, d = 0,07.

D = Sdt = 159000 x 0,07 x (17/72) = 2627,92 рб, P = S D = 159000 2627,92 = 156372,08 рб.

b) P = 156372,08, t = 17/72 и I = 2627,92. Из  равенства (1) I = Prt имеем

r = I/Pt = 2627,92/(156372,08 x (17/72)) = 0,0712.

ПРИМЕР 2

 Вексель на 10175 рб, погашаемый  через 90 дней, продан банку, который  установил 7\%-ную норму простого  процента при дисконтировании. Какой  будет выручка ?

РЕШЕНИЕ Здесь S = 10175 рб, t = 90/360 = 1/4 и r = 0,07 .

По формуле (3) S = P(1 + rt) получаем

P = S/(1 + rt) = 10175/(1 + (0,07 x (1/4)) = 10000 рб.

ПРИМЕР 3 Иванов намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет 7\% процента авансом, какую сумму должен просить Иванов, чтобы получить на руки 100000 рб ?

 РЕШЕНИЕ Нам нужно  определить S , имея следующие данные P = 100000 рб,

t = 120/360 = 1/3 и d = 0,07. Из формулы (6) имеем P = S(1 dt), что дает

S = P/(1 dt) = 100000/(1 (0,07 x (1/4))) = 101781,17.

  Простой дисконт, так  же как простой процент, обычно  используется только для краткосрочных  периодов, как правило, не превышающих  года. Чаще применяется норма  дисконта d , хотя большое расхождение  терминологии в различных текстах  и финансовых учреждениях затрудняет  временами понять, какая норма  упоминается норма процента r или  норма дисконта d . В последующем  тексте процент авансом означает  банковский дисконт и его не  следует путать с процентом, который  всегда рассчитывается на P и выплачивается  в конце сделки.

Сложный дисконт

    При схеме "сложных  процентов" (для целых n) (сложный  дисконт) — исходной базой для  начисления процентов в течение  всего срока на каждом периоде  применения учетной ставки является  сумма долга в конце каждого  периода.

   Часто необходимо  знать, какая основная сумма P , инвестированная  теперь, при данной норме процента  даст накопление до заданной  итоговой суммы S к заданной более  поздней дате. В этих условиях P называется настоящей стоимостью  суммы S . Другими словами, настоящая  стоимость P на данную дату для  суммы S на более позднюю дату  является основной суммой, которая, будучи инвестированной в данную  дату при заданной норме процента, даст итог S в эту более позднюю  дату. Разность S - P называется сложным  дисконтом от суммы S , а процесс  определения настоящей стоимости  называется дисконтированием. Вычисление  настоящей стоимости ( или дисконтирование  суммы S ) означает просто решение  уравнения относительно P , когда S , i и n заданы. Решение уравнения дает

P = S/(1+ i) п = S(1+ і) -п

   Стоящий в знаменателе  множитель накопления может быть  вычислен способами, описанными  в предыдущем параграфе. Тем не  менее и в этом случае в  руководствах по финансовым расчетам приводятся таблицы обратных значений множителей накопления (1 + i) -п , которые принято называть множителями дисконтирования.

Учетная (дисконтная) ставка.

   УЧЕТНЫЙ ПРОЦЕНТ (учетная ставка) - процент, взимаемый банками при учете векселей, т.е. при покупке их банком до наступления срока платежа. При учете векселей банк выплачивает предъявителю векселя его номинальную стоимость за вычетом скидки (дисконта), соответствующей плате за банковский кредит. Право требования денег по векселю переходит к банку, который либо ждет истечения срока и получает с векселедателя сумму, указанную на векселе, либо перепродает (также со скидкой) вексель на денежном рынке. Если реализация векселя на рынке затруднена, частный банк может переучесть вексель в центральном государственном банке с уплатой за эту операцию установленной банком официальной учетной процентной ставки.

  Официальная учетная ставка используется для регулирования всей структуры процентных ставок на денежном рынке страны и служит одним из важных инструментов экономики, в частности, к повышению официального УЧЕТНОГО ПРОЦЕНТА прибегают для борьбы с инфляцией, к понижению - для стимулирования капиталовложений в экономику. Удельный вес учета векселей в банковских операциях сокращается по сравнению с удельным весом ссуд и инвестиций в государственные облигации. Происходят изменения и в структуре учета векселей за счет повышения доли учета казначейских векселей, которые используются для финансирования государственных расходов на военные цели и покрытие бюджетных дефицитов.

2. Безубыточное изменение условий  финансовых контрактов. Уравнение  финансовой эквивалентности.

Безубыточное изменение условий финансовых контрактов

   В практике нередко возникают случаи, когда необходимо заменить одно финансовое обязательство другим, объединить несколько обязательств в одно и т. п. В таких ситуациях неизбежно возникает вопрос о принципе изменения условий контрактов.

   Общим принципом такого изменения является безубыточность, другими словами, финансовые отношения сторон после изменения условий должны сохраниться на прежнем уровне, т. е. новые финансовые обязательства должны быть эквивалентны старым.

Рассмотрим две постановки задачи по изменению условий контрактов: объединение (консолидирование) платежей и сбалансированное изменение сроков платежей.

   1. При объединении платежей S1,…,Sk со сроками выплат t1,…,tk ,соответственно, в один платеж S0. При этом могут возникнуть две задачи: определить величину объединенного платежа S0, если он должен быть сделан в заданный момент времени t0 , либо определить срок t0 платежа S0. Если срок больше, чем сроки объединяемых платежей tj , то размер нового платежа равен сумме консолидируемых платежей, наращенных по принятой ставке на момент выплаты S0. Таким образом, сумма консолидированного платежа составит:

So=(1+i)n , где   to<n<tj , nj=to-tj  (1)

В общем случае искомую величину S0 находим как сумму наращенных или дисконтированных платежей Sj:

So=(1+i)n (1+i)-n (1) , где   tj <to , tk >to , nk=tk-to , nj =to-tj

Пример решения задач.

Два платежа S1=100 тыс. руб. и S2=50 тыс. руб. со сроками 150 и 180 дней (отсчитываемыми от одной базы) заменяются одним со сроком 200 дней. Найти сумму объединенного платежа, если стороны согласились на замену при использовании сложной ставки, равной 6 % годовых.

Решение. Согласно формуле (1) имеем:

So=100×(1+0.06)50/365+ 50×(1+0.06)20/365=150.82 тыс. руб.

2. Более  общий случай изменения условий контрактов: расчет искомой  суммы S0 осуществляется на основе уравнения эквивалентности, в котором сумма приведенных платежей по старым условиям контракта равна сумме приведенных на тот же момент времени платежей по новому (измененному) соглашению. Если приведение осуществляется на начальный момент времени, то уравнение эквивалентности в общем виде записывается как  ,

 Vtq= Vtk

где Sk – ряд заменяемых платежей со сроками tk,

Sq – платежи со сроками tq, предусматриваемые новыми условиями.

Пример решения задачи.

Согласно контракту господин А обязан уплатить господину Б сумму 1000 руб. сегодня и 1306 руб. через 3 года. Господин А хочет изменить контракт, вернув долг двумя равными платежами, сделав первый через год и второй через 4 года, считая от сегодняшнего дня. Какой величины должен быть каждый из платежей, если деньги приносят кредитору 6 % годовых при начислении два раза в год?

Решение. Так как оба контракта должны быть равноценными для кредитора Б, то приведенные к моменту 0 (как и к любому другому моменту) ценности сумм, стоящих над осью, и сумм, стоящих под осью, должны быть равны, т. е. находим значение х из уравнения

1000+1306×(1+)-3×2 =x×(1+)-1×2+(1+)-4×2

x×(1.03-2+1.03-8)=1000+1306×1.03-6

х = 1208,87.

Итак, господин А должен сделать два платежа по 1208,87 руб.

   Также в практике финансовых операций распространена сделка, которая называется продажей контракта. Она заключается в следующем. Некоторый субъект (или организация) имеет на руках контракт, по которому он должен получить с другого субъекта определенные суммы денег в определенные сроки. Владелец контракта желает получить деньги немедленно и для этого продает этот контракт банку или другому лицу, который получает деньги по этому контракту в будущем. Сколько следует заплатить за контракт? Очевидно, его стоимость в момент покупки.

Пример решения задачи.

Господин Иванов купил у господина Петрова некоторую вещь, заключив контракт, в соответствии с которым обязуется заплатить 1000 руб. через 27 месяцев и еще 3000 руб. – через 5 лет. Господин Петров, нуждаясь в деньгах, хочет продать этот контракт финансовой организации, которая согласна купить его при условии начисления на свои деньги процентов по ставке 8 % годовых (начисление ежеквартальное). Сколько должна заплатить компания господину Петрову за этот контракт?

Решение.  В 27 месяцах содержится 9 процентных периодов, а в 5 годах – 20 процентных периодов.

 Организация должна заплатить за этот контракт его стоимость в момент 0, эта стоимость обозначена буквой x. Очевидно, что

 x = 1000×(1+)-2.25×4 + (1+)-5×4 ,

х = 1000×1,02-9 + 3000×1,02-20 = 2855,8 руб.

   При покупке некоторого товара продавец может заключить с продавцом контракт, включающий различные условия авансовой оплаты, получения кредита и сроков поставки товара. Чтобы выбрать наиболее выгодный для себя контракт, покупатель должен сравнить современные ценности возможных контрактов и найти контракт с наименьшей современной ценностью. Чтобы определить современную ценность тех или иных платежей, необходимо принять какую-либо ставку сравнения, то есть ставку сложных процентов ic, по которой будет производиться дисконтирование этих платежей. В теории корпоративных финансов рассматриваются различные подходы к выбору этой ставки – это может быть и уровень ссудного процента, и уровень доходности по государственным облигациям или кредитным обязательствам и т.д.

При покупке товара покупатель делает платежи двух видов.

   Во-первых, это авансовые платежи, то есть суммы, которые он выплачивает за купленный товар в обусловленные контрактом моменты t (считая от момента заключения контракта); обозначим эти платежи Pt:

t (1+t)-t

Во-вторых, это платежи по погашению кредита, то есть по погашению разности между ценой товара С и авансовыми платежами:

C-t

   Современная стоимость этих платежей различна при разных условиях погашения кредита. Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая.

а) Кредит погашения разовым платежом в конце срока; за кредит по контракту продавец получает g% годовых. Современная ценность всех платежей по контракту на момент его заключения равна:

A=t(1+i)-t + (C-t)(1+g )N(1+i)-(T+N)         (2)

где Т – срок поставки товара; N – срок кредита, который обычно отсчитывается от момента окончания поставки товара.

б) Кредит погашается равными срочными платежами. Современная стоимость всех платежей по контракту на момент его заключения равна:

A=t(1+i)-t + (C-t)  (1+i)-T                      (3)

Пример решения задачи. Сравним два контракта.

1-й  контракт: товар стоит 20 млн руб.; делается три авансовых платежа  по 3 млн руб. каждый: первый –  в момент заключения контракта, второй – через год, третий  – еще через год. Поставка товара  производится по окончанию авансовых  платежей. Кредит дается на 6 лет, считая с момента поставки  товара под 5 % годовых, и погашается  разовым платежом в конце срока  кредита.

2-й  контракт: товар стоит 21 млн руб.; в момент заключения контракта  делается один авансовый платеж, равный 5 млн руб. Поставка производится  в момент заключения контракта. Кредит выдается на 10 лет под 5 % годовых с погашением равными  ежегодными срочными уплатами.

Сравнение контрактов произвести при ставке сравнения i = 10 %.

Решение. Найдем современную ценность каждого из контрактов. Современную стоимость первого контракта вычисляем по формуле (2)

при С = 20 млн. руб., t1 = 0, t2 = 1, t3 = 2, T = 2, N = 6, g = 5 %, P1 = P2 = P3 = 3 млн руб.;

A1 = 3(1+i)0+3(1+i)-1+3(1+i)-2+(20-9)(1+0.05)6(1+i)-(2+6) =

 = 3+3×1.1-1+3×1.1-2+11×1.055×1.1- 8 = 16.083 млн. руб.

   Современную стоимость второго контракта вычисляем по формуле (3) при C = 21 млн руб., t1 = 0, P1 = 5, T = 0, N = 10, g = 5 %:

A2 = 5(1+i)0 + (21-5) (1+i)0 = 17.732 млн. руб. 

.

   Таким образом, второй контракт менее выгоден покупателю, чем первый. Однако покупатель может его предпочесть, так как поставка товара по нему производится немедленно, а по первому контракту – с отсрочкой на два года.

Уравнение финансовой эквивалентности

Принцип финансовой эквивалентности обязательств

В финансовой практике часто возникают ситуации, когда необходимо заменить одно обязательство другим, например с более отдаленным сроком платежа, досрочно погасить задолженность, объединить несколько платежей в один, изменить схему начисления процентов и т. п. Изменение условий контракта основывается на принципе финансовой эквивалентности обязательств, который позволяет сохранить баланс интересов сторон контракта. Этот принцип предполагает неизменность финансовых отношений до и после изменения условий контракта. При изменении способов начисления процентов необходимо учитывать взаимозаменяемость между различными видами процентных ставок. Эквивалентными называются процентные ставки, которые при замене одной на другую приводят к одинаковым финансовым результатам, т. е. отношения сторон не              изменяются в рамках одной финансовой операции. При изменении условий платежей также необходимо учитывать разновременность платежей, которые производятся в ходе выполнения условий контракта до и после его изменения. Эквивалентными считаются такие платежи, которые оказываются равными после их приведения по заданной процентной ставке к одному моменту времени, либо после приведения одного из них к моменту наступления другого по заданной процентной ставке.

 Эквивалентность процентных  ставок

Для нахождения значений эквивалентных процентных ставок следует составлять уравнение эквивалентности.

Эквивалентность простой процентной и простой учетной ставок.

 Исходные уравнения для вывода эквивалентности

FV = PV (1 + n ∙ i) и FV = PV (1 – n ∙ d)– 1.

Если результаты наращения равны, то получаем уравнение

PV (1 + n ∙ i) = PV (1 – n ∙ d)– 1.

Отсюда

i = d/(1 – n ∙ d)– 1 и d = i/(1 + n ∙ i)–1.

Для одних и тех же параметров ссуды условие эквивалентности приводит к тому, что

 d < i. При этом с ростом срока финансовой операции различие между ставками увеличивается.

Пример 1. Определить простую учетную ставку, эквивалентную ставке обычных процентов 12 % годовых, при наращении за 2 года.

Решение. Параметры задачи: n = 2 года, i = 12 %.

Тогда d = 0,12/(1 + 2 ∙0,12i)–1 = 0,096 8 или 9,7 %.

Следовательно, операция, в которой принята учетная ставка 9,7 %, дает тот же финансовый результат для 2-годичного периода, что и простая ставка 12 % годовых.

Эквивалентность простой и сложной процентных ставок.

 Наращенные суммы по простой  и сложной процентным ставкам  равны 

и .

Если равны результаты наращения, то уравнение эквивалентности

= .

Отсюда

 и  .

При начислении процентов m раз в году аналогично рассуждая, получим:

 и  .

Пример 2. Предполагается поместить капитал на 4 года либо под сложную процентную ставку 20 % годовых с полугодовым начислением процентов, либо под простую процентную ставку 26 % годовых. Найти оптимальный вариант.

Решение. Параметры задачи: n = 4 года, m = 2, iс = 20 %, iп = 26 %. Находим для сложной процентной ставки эквивалентную простую ставку:

 0,285 9 или 28,59 %.

Таким образом, эквивалентная сложной ставке, по первому варианту, простая процентная ставка составляет 28,59 % годовых, что выше предлагаемой простой ставки в 26 % годовых по второму варианту. Следовательно, выгоднее разместить капитал по первому варианту, т. е. под 20 % годовых с полугодовым начислением процентов.

Пример 3. По трёхмесячному депозиту назначена ставка 10,2 % годовых. Какую ставку годовых процентов следует назначить на ежемесячные депозиты, чтобы последовательное переоформление этих депозитов привело к такому же результату, что и использование трёхмесячного депозита, если пренебречь двумя днями, которые теряются при переоформлении депозитов (T = 360)?

Решение. Приравняем соответствующие множители наращения:

.

Отсюда получаем, что i = 0,101 1 или 10,11 %.

Эквивалентность сложной процентов и сложной учетной ставок.

 Исходные соотношения есть 

 и  .

Аналогично рассуждая, получим

 и  .

Эквивалентность интенсивности процентов в единицу времени и ставок процентов.

 Интенсивность процентов δ в единицу времени удобно использовать в теоретических расчетах и обоснованиях финансовых решений. Из соотношений эквивалентности, можно перейти от непрерывного начисления процентов к дискретному, что более приемлемо на практике. Чаще возникает необходимость в соотношениях эквивалентности непрерывной и сложной ставок. Для эквивалентных сложных ставок δ, i и d имеем:

.

Отсюда

 и  ;

 и  .

Средние величины в финансовых расчетах

Для нескольких процентных ставок их среднее значение есть эквивалентная величина. Схема простых процентов. Пусть за периоды n1, n2, …, nk начисляются простые проценты по ставкам i1, i2, …, ik. Тогда за весь срок наращения n = n1 + n2 + …+ nk средняя ставка простых процентов получается из уравнения эквивалентности . Откуда

.

Если же за время финансовой операции изменяется и величина PV, то средняя ставка простых процентов равна

.

Аналогично средняя простая учетная ставка равна

.

Средняя ставка ( ) – это взвешенная средняя арифметическая величина, дающая такое наращение, которое эквивалентно наращению с применением ряда разных по значению процентных ставок, применяемых на различных интервалах времени.

Схема сложных процентов. Пусть доходность операции с дискретно изменяющейся процентной ставкой на каждом интервале начисления была выражена через сложный процент. Уравнение эквивалентности для определения средней процентной ставки, которая равноценна последовательности ставок за весь период финансовой операции, есть

.

Отсюда

.

Следовательно, средняя сложная процентная ставка рассчитывается по формуле средней геометрической взвешенной.

Аналогично средняя сложная учетная ставка равна

.

Пример 4. Долгосрочный кредит предоставлен на 6 лет на следующих условиях: первые два года под 5 % (сложные проценты), в следующие три года ставка возрастает на 2 %, а в последний год – еще на 1 %. Определить среднюю сложную процентную ставку.

Решение. Параметры задачи: n1 = 2 года, i1 = 5 %, n2 = 3 года, i2 = 7 %, n3 = 1 год, i3 = 8 %. Срок финансовой операции равен

n = n1 + n2 + n3 = 2 + 3 + 1 = 6 лет.

Средняя ставка сложных процентов равна

= 0,064 9 или 6,49 %.

Таким образом, средняя процентная ставка по кредиту равна 6,49 %.

3. Срочные и непрерывные ренты.

Финансовые ренты и их классификация

    Поток платежей, все члены которого положительные, временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой, или аннуитетом.

   Финансовая рента имеет следующие параметры:

- член ренты (R) –  величина каждого отдельного  платежа,

- период ренты (t) – временной интервал между  двумя соседними платежами,

- срок ренты (n) –  время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода,

- процентная ставка (i) – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту.

Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признакам.

В зависимости от продолжительности периода ренты делят на два вида:

- годовые – ренты  выплачиваются ежегодно, один раз  в год (p = 1), при этом период ренты t = 1 году,

- р-срочные –  выплата рент производится р  раз в году (p > 1) равными платежами R, тогда период ренты t может быть как более, так и менее года.

По числу начислений процентов m различают следующие виды рент:

- с начислением  один раз в год (m = 1),

- с начислением  т раз в год (m > 1),

- с непрерывным  начислением.

   Моменты начисления процентов могут совпадать (m = p) и не совпадать с моментами рентных платежей, тогда (m ≠ p).

По величине членов различают два вида рент:

- постоянные ренты, имеют  равные члены, когда величина каждого платежа остается неизменной во времени (R = const),

- переменные ренты –  размер платежей может быть произвольным (R = var) или изменяться по какому-либо математическому закону,

   По вероятности выплаты членов различают два вида рент:

- верные ренты подлежат  безусловной выплате, они не зависят ни от каких условий, например, погашение кредита,

- условные ренты - выплата  зависит от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от

продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты:

- ограниченные - с заранее  известным конечным числом членов,

- бесконечные (вечные ренты) – число членов ренты заранее неизвестно. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или нефиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на два типа:

- немедленные – начало  действия контракта начинается сразу после его подписания,

- отложенные (отсроченные) –  начало действия контракта сдвигается на более поздние сроки.

По моменту выплаты платежей выделяется два вида рент:

- обычные (постнумерандо) - платежи  осуществляются в конце каждого периода (наиболее часто встречаются),

- авансовые (пренумерандо) - выплаты производятся в начале каждого периода.

По совпадению периода ренты с периодом начисления процентов различают ренты:

- простые – период  ренты совпадает с периодом  начисления процентов,

- общие – период  ренты и период начисления  процентов могут быть произвольными.

В финансовых соглашениях может оговариваться возможность поступления платежей и в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы S или современной величины ренты A.

Срочна рента

 Рента р - срочная, с начислением процентов один раз в год (m = 1).

   Когда рента выплачивается р раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года и известна R - годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа будет равен R/p. Тогда для получения формулы наращенной суммы при условии, что последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами рассмотрим геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,