ЗАДАНИЕ 1-а.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА 

     Дано: схема закрепления бруса (рис. 1); его размеры А = 4 м, В = 2 м, С = 1 м, α = 30°, β = 45°; внешняя нагрузка Р₁= 2 кН, Р₂= 5 кН, М = 10 , q = 4 кН/м. 

     Внешняя нагрузка выражает взаимодействие рассматриваемой конструкции с телами в нее не входящими.

     Сосредоточенная сила (Р) выражает взаимодействие тел, как правило, на малой площадке контакта (вес всего тела, приложенный в центре тяжести; натяжение троса; давление со стороны тела, опирающегося на угол).

Рис. 1. Схема закрепления бруса 

     Распределенная  нагрузка выражает взаимодействие тел  по некоторой линии, по поверхности или объему (распределение веса по линии контакта тел, давление снега на крышу здания, ветровая нагрузка, давление грунта на фундамент, распределение веса здания по его объему и т.п.). Распределенная нагрузка задается ее интенсивностью q,  т. е. нагрузкой, приходящейся на единицу длины, поверхности или объема. В настоящем задании рассматривается равномерно распределенная нагрузка по линии, ее интенсивность q имеет размерность [кН/м].

     Вращательное  действие пары сил, стремящейся повернуть  конструкцию, характеризуется ее моментом (М). Пара сил образуется двумя параллельными, равными по величине силами, направленными в противоположные стороны не вдоль одной прямой. Она появляется при сложении параллельных сил и при перенесении силы из точки ее приложения в любую другую произвольную точку.

     Рассмотрим  систему уравновешивающихся сил, приложенных  к брусу. Действие связей на конструкцию заменим их реакциями : в точке А (шарнирно-неподвижная опора) – х_А и у_А; в точке В (каток) – R_B. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменим равнодействующей, приложенной в середине участка ее действия: 

     Составим  расчетную схему (рис. 2). Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил: 
 

     Рис. 2. Расчетная схема 

     Вычисления  дают кН. 

       откуда  кН.

       откуда  кН. 

     Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов относительно точки В: 

то есть реакции опор найдены верно.

       Результаты расчета сведем в  таблицу: 

ЗАДАНИЕ 1-б.

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ОПОР ТВЕРДОГО ТЕЛА 

     Дано: схема закрепления бруса (рис. 3); его размеры А = 4 м, В = 2 м, С = 1 м, α = 30°; внешняя нагрузка Р₁= 2 кН, Р₂= 5 кН, М = 10 , q = 4 кН/м. 

     Внешняя нагрузка выражает взаимодействие рассматриваемой  конструкции с телами в нее  не входящими.

     Сосредоточенная сила (Р) выражает взаимодействие тел, как правило, на малой площадке контакта (вес всего тела, приложенный в центре тяжести; натяжение троса; давление со стороны тела, опирающегося на угол).

Рис. 3. Схема закрепления бруса 

     Распределенная  нагрузка выражает взаимодействие тел  по некоторой линии, по поверхности или объему (распределение веса по линии контакта тел, давление снега на крышу здания, ветровая нагрузка, давление грунта на фундамент, распределение веса здания по его объему и т.п.). Распределенная нагрузка задается ее интенсивностью q,  т. е. нагрузкой, приходящейся на единицу длины, поверхности или объема. В настоящем задании рассматривается равномерно распределенная нагрузка по линии, ее интенсивность q имеет размерность [кН/м].

     Вращательное  действие пары сил, стремящейся повернуть  конструкцию, характеризуется ее моментом (М). Пара сил образуется двумя параллельными, равными по величине силами, направленными в противоположные стороны не вдоль одной прямой. Она появляется при сложении параллельных сил и при перенесении силы из точки ее приложения в любую другую произвольную точку.

     Рассмотрим  систему уравновешивающихся сил, приложенных  к брусу. Действие связей на конструкцию заменим их реакциями : в точке А (шарнирно-неподвижная опора) – х_А и у_А; в точке В (каток) – R_B. Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменим равнодействующей, приложенной в середине участка ее действия: 

     Составим  расчетную схему (рис. 4). Запишем уравнения равновесия для плоской системы сил: 
 

     Рис. 4. Расчетная схема 

     Вычисления  дают кН∙м. 

       откуда  кН.

       откуда  кН. 

     Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов относительно точки В: 

то есть реакции опор найдены верно.

       Результаты расчета сведем в  таблицу: 

ЗАДАНИЕ 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ, НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ

В СТЕРЖНЯХ ПЛОСКОЙ  ФЕРМЫ

Дано: схема  фермы (рис. 5); Р₁ = 4,5 кН; Р₂ = 5,5 кН; а = 1,5 м. 

     Рис. 5. Схема фермы 

     Фермой  называется стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после условной замены ее жестких узлов шарнирными. Фермы применяются для перекрытия больших пролетов (мостовые и стропильные фермы) и в крупных строительных конструкциях (башенные и крановые фермы), когда проектирование сплошных балок становится экономически нецелесообразным. В таких случаях сплошную балку заменяют сквозной конструкцией, состоящей из большого числа стержней, которые соединяются в точках пересечения их осей. Соединения стержней называются узлами.

     Важной  частью расчета фермы является определение  усилий, возникающих в стержнях при  действии заданной нагрузки. При этом принимаются следующие допущения:

• внешние силы приложены только в узлах фермы;
• веса стержней пренебрежительно малы;
• узлы представляют собой идеальные шарниры (силы трения в них не возникают).

      При этих допущениях все стержни испытывают лишь растяжение или сжатие, что значительно упрощает их определение, а результаты расчетов мало отличаются от усилий в ферме с жесткими узлами.

1. Определение реакций опор фермы от заданной нагрузки.

      Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы Р₁, Р₂ и реакции опор А и В (рис. 6).

        Реакция в опоре B (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – х_B и у_B; в точке A реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – R_A.

      Составим  уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

      Рис. 6. Расчетная схема для определения реакций опор

     Из  этих уравнений х_B = -10,39 кН; у_B = 4,5 кН; R_A = 15,89 кН.

      Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки A:

то есть реакции опор найдены верно.

2. Определение сил в стержнях фермы методом вырезания узлов.

      Стержни, сходящиеся в узле фермы, являются для  узлового соединения связями. Мысленно отбросим связи и заменяем их действие на узлы реакциями. На рис. 7 показаны узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами. 

      Рис. 7. Схема фермы с активными и реактивными силами 

      Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения реакция стержня получится отрицательной, то это будет означать, что соответствующий стержень сжат.

      Для каждого узла составим два уравнения  равновесия:

      Рекомендуется рассматривать узлы в такой последовательности, чтобы каждый раз в уравнения равновесия входило не более двух неизвестных.

      Для узла D:

откуда  определяем

      Для узла В:

откуда определяем

      Для узла E:

откуда находим

      Для узла А:

откуда  определяем кН (стержень сжат).

      Так как усилия во всех стержнях фермы  уже определены, то второе уравнение равновесия для узла А является проверочным уравнением:

Отсюда  можно сделать вывод, что усилия в стержнях определены верно.

      Для проверки расчета для каждого  узла построим замкнутый многоугольник сил (рис. 8), исходя из геометрического условия равновесия сходящихся сил:

      Измеренные  в масштабе построения реакции стержней должны мало отличаться от найденных аналитически. 

Рис. 8. Графическое определение усилий в стержнях 

      3. Определение сил в стержнях методом моментной точки (методом Риттера).

      По методу моментной точки каждая сила должна быть определена из отдельного уравнения и не должна выражаться через силы в других стержнях.

      Для определения сил в стержнях 2, 5 и 6 мысленно разрежем ферму сечением I–I (рис. 9). Рассмотрим равновесие сил, приложенных к правой части фермы. Действие отброшенной левой части на правую представим силами . Предполагаем, что все стержни растянуты. Знак минус в ответе укажет на то, что стержень сжат. 

Рис. 9. Схема для определения сил в стержнях методом Риттера. 

      Для определения  составим уравнение моментов сил относительно точки A, где пересекаются линии действия сил (моментная точка для стержня 5):

Отсюда  получим 

      Моментной точкой для второго стержня является узел С, где пересекаются линии действия сил , исключаемых из уравнения:

Отсюда  получим 

      Для определения  невозможно составить уравнение моментов сил относительно какого-либо узла, где бы не пересекались линии действия сил , так как они параллельны.

      Результаты  вычислений сведем в таблицу:  

4. Определение необходимой площади  поперечного сечения  стержней.

      Рассматриваемая в задании стропильная ферма  состоит из стальных стержней одинакового поперечного сечения, для материала которых допускаемое значение напряжений [σ] = 140 МПа, а модуль продольной упругости Е = МПа.

      Площадь поперечного сечения стержней определяется из условия прочности на растяжение или сжатие:

где F – площадь поперечного сечения стержня, – максимальная по абсолютной величине сила в рассмотренных стержнях ( ). Определим требуемую из условия прочности площадь поперечного сечения стержней:

5. Определение абсолютной деформации наиболее нагруженного стержня.

      Абсолютное  удлинение или укорочение наиболее нагруженного стержня найдем по формуле:

где – длина наиболее нагруженного стержня ( ). 

Для девятого стержня

Знак  минус говорит о том, что данный стержень укорачивается.  В общем  случае для сжатых стержней выполняется  и расчет на устойчивость.

ЗАДАНИЕ 3-а.

РАСЧЕТ  БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ  ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

     Пример  выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 10);

     На  изгиб работают балки, валы, оси и  другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

     При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

      Покажем внешние силы, приложенные к балке: пара сил с моментом ; силы Р₁ и Р₂ и реакции опор А и В (рис. 10).

        Реакция в опоре B (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – Z_B и Y_B; в точке A реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – R_A.

      Составим уравнения равновесия сил, приложенных к балке:

     Из  этих уравнений Z_А = 0 кН; Y_B = 86,67 кН; R_A = – 41,67 кН.

      Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В:

то есть реакции опор найдены верно.

      Расчетная схема балки приведена  на рис. 11.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .

      Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых  приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

      Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.

       I участок ( ): 

                                                                     Рис.12. Участок I

      Отсюда

      На  границах участка:

при м

при    

      II участок ( ):

      Рис. 13. Участок II

      Отсюда 

      На  границах участка:

при  

при    

       III участок ( ): 

                                                                                                     Рис. 14. Участок III 

      Отсюда 

      На  границах участка:

при м 

при  

      По  полученным значениям строим эпюры  поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 11).

3. Определение положения опасного сечения.

      Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно расположено на границе второго и третьего участков, где

4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.

Из  условия прочности по нормальным напряжениям

находим расчетный осевой момент сопротивления  сечения балки с учетом того, что [σ] = 140 МПа:

5. Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

      5.1. Круг:

      5.2. Прямоугольник с соотношением сторон  h/b = 2: 

       5.3. Двутавр:  по таблице сортамента прокатной  стали (ГОСТ 8239) подбираем двутавровое сечение с моментом сопротивления большим или равным  расчетному. В данном случае это двутавр №33, у которого  
 
 

6. Сравнение масс  полученных балок.

      Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок  различного поперечного сечения. При  прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений: 

      Таким образом, наиболее выгодной является балка  двутаврового сечения, масса которой, а следовательно, и стоимость, в 4,72 раза меньше, чем у балки круглого сечения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ЗАДАНИЕ 3-б.

РАСЧЕТ  БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ  ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

     Пример  выполнения задания. Дано: схема балки (рис. 15);

     На  изгиб работают балки, валы, оси и  другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

     При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

      Покажем внешние силы, приложенные к балке: пара сил с моментом ; силу Р₁, распределенную нагрузку интенсивностью q и реакцию опоры В (рис. 15).

        Реакция в опоре B (консольная заделка) раскладывается на две составляющие – Z_B и Y_B и момент М_В.

      Составим  уравнения равновесия сил, приложенных  к балке:

     Из  этих уравнений Z_А = 0 кН; Y_B = 57 кН; М_В = –250,7 кН.м.

      Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки А:

то есть реакции опор найдены верно.

      Расчетная схема балки приведена  на рис. 16.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .

      Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.