Основы математического моделирования социально – экономических процессов

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ

при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ – ФИЛИАЛ  РАНХиГС

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

Кафедра   Информатики и математики

 

Основы математического моделирования социально – экономических процессов

                                                                                         (дисциплина)

                                                     

 

Письменное контрольное задание

для студентов дистанционного обучения

 

 

 

 

 

Студент  Деревицкая У.О.

 

Группа   12427

 

Дата    15.12.2014

   
 

Преподаватель Рапоцевич Е.А.

   
   
   
   

 

 

 

 

 

 

Новосибирск 2014г.

 

Номер зачетки заканчивается цифрой 5.

1.Линейное программирование

 

(решение можно проводить  либо графическим методом, либо  с использованием компьютера  в программе MS Excel).

 

 

Решим графическим методом.

Решение: Решением линейного алгебраического неравенства относительно двух переменных является совокупность точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Графически – это полуплоскость. Решением системы таких неравенств являются их пересечение. Для нахождения такой полуплоскости необходимо знак неравенства заменить на знак равенства, построить соответствующую этому уравнению прямую на плоскости и выбрать из двух образовавшихся полуплоскостей нужную. В прямоугольной системе координат строим прямую – х1 + х2 = 2 по двум точкам: (1)

 

х1

0

1

х2

2

3


Далее находим, какая из полуплоскостей является областью решений неравенства – х1 + х2 ≤ 2. Для этого достаточно  координаты какой либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство. Так как прямая не проходит через начало координат, подставляем координаты точки 0 (0;0) в это неравенство           - 0+0≤2; 0≤2. Получаем верное неравенство 0≤2. Следовательно точка 0 лежит в полуплоскости решений. Штриховкой отмечаем полуплоскость, содержащую 0. Аналогично строим прямую х1 + 2 х2 = 7    (2)

х1

0

3

х2

3,5

2


0+2*0≤7; 0≤7

Аналогично строим прямую 4 х1 – 3 х2 =6     (3)

х1

3

1,5

х2

2

0


4*0-3*0≤6; 0≤6

Построим на плоскости область допустимых решений. Находим общую часть полуплоскостей, учитывая неотрицательность переменных.

 

Множество допустимых решений представляет собой многоугольник ОАВСД. Среди точек многоугольника ОАВСД найдем оптимальную. Строим нормаль линий уровня n (1;3) т.к. решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линюю уровня (l) х1 + 3 х2 = С (х1 + 3 х2 =0) перемещаем в направлении нормали до крайней точки В, которая расположена на прямой называемой опорной. Эта опорная прямая проходит через точку В пересечения прямых, ограничивающих область допустимых решений и соответствующих неравенствам (2) и (3), перпендикулярно нормали. В этой точке пересекаются две прямые:

 

В этой точке пересекаются две прямые:

Найдем координаты точки В:

   

Полученное решение будет оптимальным производственным планом, дающим максимальную прибыль, а именно,

 

  1. Анализ временных рядов.

Данные о состоянии уровня преступности в нашем городе за последние 15 месяцев представлены в таблице.

Месяц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Уровень

59

60

62

58

65

75

81

90

103

107

112

116

122

125

130


Определить оптимальный тренд и рассчитать точечный прогноз на последующие пять месяцев. Проверить модель на значимость.

 

Решение:  График временного ряда имеет вид:


Построим линейный тренд. Для этого составим вспомогательную таблицу.

t

y

t 2

yt

 1

59

1

59

2

60

4

120

3

62

9

186

4

58

16

232

5

65

25

325

6

75

36

450

7

81

49

567

8

90

64

720

9

103

81

927

10

107

100

1070

11

112

121

1232

12

116

144

1392

13

122

169

1586

14

125

196

1750

15

130

225

1950

120

1365

1240

12566


Тогда система уравнений по методу наименьших квадратов будет иметь вид:

 

 

- 120а -    960в = -10920

+120а + 1240в = 12566

                280в = 1646; в=5,88


 

15а+120*5,88=1365

15а=1365-705,6=659,4; а=43,96

 

Итоговое уравнение линейного тренда имеет вид:

у = 43,96 + 5,88ti

 

Построим график тренда на графике «Оранжевым цветом»

ti

1

15

y

49,84

132,16


 

Рассчитаем точечный прогноз на последующие пять месяцев

 

t 16 = 16; у = 43,96+5,88*16=138,04        уровень преступности

 

t 17 = 17; у = 43,96+5,88*17=143,92

 

t 18 = 18; у = 43,96+5,88*18=149,8

 

t 19 = 19; у = 43,96+5,88*19=155,68

 

t 20 = 20; у = 43,96+5,88*20=161,56

 

Прогноз:

Месяц

16

17

18

19

20

Уровень

138,04

143,92

149,8

155,68

161,56


 

 

 

3.Метод анализа иерархий.

Приведите пример, связанный с вашей непосредственной деятельностью, в котором для принятия решения Вы использовали метод анализа иерархий (МАИ). Приведите численную реализацию решения(15 баллов).

 

Задача – выбор системы, наиболее подходящей для хранения больших объемов информации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 




 

 




 

 

 

 

 

 




 

 

 

Е – критерии оценки задачи

А – возможные альтернативы

 

Составляем матрицы парных отношений, в клетках которых записываем степень значимости критерия строки над критерием столбца.

 

Степени предпочтения.

1

Равные по значимости

3

Слабое преобладание критерия

5

Существенная значимость критерия

7

Сильная значимость

9

Очень сильная значимость


 

2, 4, 6 – проставляются, когда необходимо выбрать среднее между двумя степенями предложения.

  1. Фактор, определяющий при хранении больших объемов информации:

БОИ

1

7

5

0,73

1

0,09

2

1

0,18


Это экономический показатель.

 

  1. Фактор, дающий больший вклад в экономический показатель:

Экономический

1

3

0,28

1

0,11

5

3

1

0,61


Это оперативность.

 

  1. Критерий, дающий больший вклад в эргономический показатель:

Эргономический

1

3

0,75

1

0,25


Это удобство использования.

 

 

  1. Критерий, дающий больший вклад в физический показатель:

Физический

1

0,33

1

0,67


Это – компактность.

 

Определяем альтернативы, в наибольшей степени определяющие данные критерии.

Взаимодействие с другими эл.объектами

1

9

3

9

0,48

1

1

0,05

9

1

9

0,42

1

1

0,05


 

Базы данных – наивысшая степень взаимодействия с другими электронными объектами.

 

 

Сокращение штата обслуживания

1

5

5

0,37

1

0,06

4

4

1

0,31

4

3

1

0,27


Обслуживание баз данных требует меньшего количества людей.

Оперативность

1

9

8

9

0,53

1

5

0,12

7

1

8

0,32

1

0,03


Быстрее всего получить информацию из базы данных.

Удобство использования

1

9

7

9

0,58

1

4

0,12

5

1

6

0, 27

1

0,03


Для удобства использования больше всего подходят базы данных.

Удобство ввода данных

1

5

3

5

0,46

1

2

0,11

5

1

5

0,37

1

0,06


Удобнее всего информацию вводить в базы данных.

«Вечное хранение»

1

9

1

9

0,44

1

3

0,09

1

9

1

9

0,44

1

0,03


Дольше всего информация может храниться в базах данных и электронных таблицах.

Компактность

1

9

9

0,39

1

5

0,13

4

8

1

9

0,45

1

0,03


Электронные таблицы – наиболее компактная система хранения информации.

Определяем альтернативу, подходящую:

а) с экономической точки зрения

 

б) с эргономической точки зрения

 

в) с физической точки зрения

 

г) альтернатива, удовлетворяющая всем критериям

Вывод: База данных – наиболее подходящая система для хранения больших объемов информации.

 

 

 

4.Линейный  парный регрессионный анализ

 

Имеются данные о товарообороте и сумме издержек обращения по 10 магазинам города, представленные в таблице

Товарооборот

38

41

43

44

47

49

52

64

65

66

Издержки

3,2

2,5

3,1

2,8

2,9

3,2

3,6

3,4

3,7

4,8


Провести линейный регрессионный анализ. Проверить значимость модели с помощью критерия Фишера. Осуществить прогноз с помощью регрессионной модели для товарооборота равного 75.

Решение:

 

Товарооборот

Издержки

1

38

3,2

1444

10,24

121,6

2,9

0,12

2

41

2,5

1681

6,25

102,5

3,0

0,27

3

43

3,1

1849

9,61

133,3

3,1

0

4

44

2,8

1936

7,84

123,2

3,2

0,14

5

47

2,9

2209

8,41

136,3

3,3

0,18

6

49

3,2

2401

10,24

156,8

3,4

0,05

7

52

3,6

2704

12,96

187,2

3,6

0

8

64

3,4

4096

11,56

217,6

4,2

0,59

9

65

3,7

4225

13,69

240,5

4,2

0,27

10

66

4,8

4356

23,04

316,8

4,3

0,28

Всего

509

33,2

26901

113,84

1735,8

35,15

1,89


 

 

 

= 0,97+0,05x 

X

38

66

y

2.9

4.3


 


Коэффициент парной корреляции характеризует тесноту линейной зависимости между х и у:

 

 связь прямая, высокая.

Проверим значимость модели с помощью критерия Фишера:

;

 

 

Степени свободы: df = m= 1;  df2 = n-df1-1=8

Так как , то признается статистическая значимость уравнения регрессии.

Прогноз для товарооборота равного 75:

У= 0,97+0,05*75 = 4,72

 

5.Линейный множественный регрессионный анализ

 

Имеются следующие данные о курсе доллара , фондовом индексе и котировке акций за 10 дней.

40,7

38,7

39,5

41,9

42,8

39,3

37,9

37,1

39,0

39,9

4,3

4,5

4,2

5,2

4,8

4,2

4,1

4,1

4,6

4,24

111

115

109

106

109

106

115

103

109

106


Провести линейный множественный регрессионный анализ. Проверить значимость модели. Проверить модель на мультиколлинеарность. Спрогнозируйте котировку акций, если курс доллара составит 33,5 руб., а значение фондового индекса равно 3.

Решение:

Предполагается, что между переменными у, , существует линейная корреляционная зависимость, найдем уравнение регрессии у по и . Для удобства дальнейших вычислений составляем таблицу :

№

у

*

*у

*у

1

40,7

4,3

111

1656,49

18,49

12321

175,01

4517,7

477,3

108,77

4,995

2

38,7

4,5

115

1497,69

20,25

13225

174,15

4450,5

517,5

109,04

35,486

3

39,5

4,2

109

1560,25

17,64

11881

165,9

4305,5

457,8

108,98

0

4

41,9

5,2

106

1755,61

27,04

11236

217,88

4441,4

551,2

108,38

5,683

5

42,8

4,8

109

1831,84

23,04

11881

205,44

4665,2

523,2

108,32

0,457

6

39,3

4,2

106

1544,49

17,64

11236

165,06

4165,8

445,2

109,01

9,060

7

37,9

4,1

115

1436,41

16,81

13225

155,39

4358,5

471,5

109,26

33,005

8

37,1

4,1

103

1376,41

16,81

10609

152,11

3821,3

422,3

109,38

40,743

9

39,0

4,6

109

1521

21,16

11881

179,4

4251

501,4

108,97

0,001

10

39,9

4,24

106

1592,01

17,98

11236

169,18

4229,4

449,4

108,9

8,443

сумма

396,8

44,24

1089

15772,2

196,86

118731

1759,52

43206,3

4816,84

1089

137,873

Ср.знач.

39,68

4,424

108,9

1577,22

19,686

11873,1

175,952

4320,63

481,684

-

-

Основы математического моделирования социально – экономических процессов