Оценка адекватности и точности моделей

Восточно-Сибирский Государственный  университет технологий и управления

Институт экономики и  права

Экономический факультет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

 «Основы прогнозирования  социально-экономических процессов»

на тему:

«Оценка адекватности и точности моделей»

на примере 

Томской области

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                  Выполнила: Трофимова Е.А.,

                                                                                  группа Б511-1 «НиНО»

                                                                                  Проверила: Будажанаева Д.Ц.

 

 

 

 

 

Улан-Удэ

2013 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

1. Введение……………………………..
2. Задача №1…………………………….
3. Задача №2…………………………
4. Задача №3……………………….
5. Задача №4……………………….
6. Задача №5……………………….
7. Заключение…………………………….
8. Библиографический список……………………
9. Приложение……………………………..

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В настоящее время ни одна сфера жизни общества не может  обойтись без прогнозов как средства познания будущего. Особо важное значение имеют прогнозы социально-экономического развития общества, обоснование основных направлений экономической политики, предвидение последствий принимаемых решений.

Социально-экономическое  прогнозирование является одним  из решающих научных факторов формирования стратегии и тактики общественного  развития. Актуальность данной темы, как  в условиях развитой рыночной экономики, так и переходной экономики, определяется тем, что уровень прогнозирования  процессов общественного развития обуславливает эффективность планирования и управления экономикой и другими  сферами.

Целью данной контрольной  работы  является анализ статистических данных социально-экономических показателей Томской области, а также вывод прогнозных значений по рассматриваемому региону на будущие периоды.

Данная работа будет проводиться  с применением различных способов и методов разработки социально-экономических прогнозов.

Для достижения главной цели работы необходимо решить следующие задачи:

• провести общий анализ социально-экономического положения региона, описать стратегию его развития;
• рассчитать показатели динамики социально-экономических процессов;
• выявить аномальные наблюдения и исключить их;
• проверить наличие тренда в показателях;
• построить на основе данных необходимые модели и прогнозы, оценить их точность и качество;
• изобразить всё графически и сделать выводы.

В процессе исследования использовались данные Федеральной службы Государственной статистики по России и Томской области.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание №1.

 

Конспект на тему: «Оценка адекватности и точности модели»

 

1. Оценка адекватности модели.

 

Независимо от вида и способа  построения экономико-математической модели вопрос о возможности её применения в целях анализа и прогнозирования экономического явления может быть решен только после установления адекватности, то есть соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальному процессу или объекту быть не может, адекватность — в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследования.

 Анализ качества эмпирического уравнения парной и множественной линейной регрессии начинают с построения эмпирического уравнения регрессии, то есть модели, которая является начальным этапом эконометрического анализа. После того, как модель построена, необходимо удостовериться в её качестве, поскольку уравнение регрессии очень редко является удовлетворительным по тем или иным характеристикам. С этой целью выполняют проверку точности этой модели и её адекватности процессу, объекту или явлению, для которых она построена.

Проверить адекватность модели – значит установить, насколько  хорошо модель описывает реальные процессы, происходящие в системе, насколько  качественно она будет прогнозировать развитие данных процессов.

Проверка адекватности проводится на основании некоторой экспериментальной  информации, полученной на этапе функционирования системы или при проведении специального эксперимента, в ходе которого наблюдаются  интересующие процессы. Проверка адекватности заключается в доказательстве факта, что точность результатов, полученных по модели, будет не хуже точности расчетов, произведенных на основании экспериментальных данных.

В эконометрике принята устоявшаяся  схема такой проверки, которая  проводится по следующим направлениям:

• проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;
• проверка общего качества уравнения регрессии;
• проверка свойств данных, выполнимость которых предполагалась при оценивании уравнения (проверка выполнимости предпосылок МНК);

Прежде, чем проводить  анализ качества уравнения регрессии, необходимо определить дисперсии и стандартные ошибки коэффициентов, а также интервальные оценки коэффициентов. Корреляционный и регрессионный анализ, как правило, проводится для ограниченной по объёму совокупности.

Параметры уравнения регрессии (показатели регрессии и корреляции), коэффициент корреляции и коэффициент детерминации могут быть искажены действием случайных факторов. Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность, тo есть соответствие фактическим статистическим данным.

При анализе адекватности уравнения регрессии (модели) исследуемому процессу, возможны следующие варианты:

1. Построенная модель  на основе F-критерия Фишера в целом адекватна и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель может быть использована для принятия решений и осуществления прогнозов.

2. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов не значима. Модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.

3. Модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты регрессии не значимы. Модель полностью считается неадекватной. На её основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.

Проверить значимость (качество) уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая  зависимость между переменными, экспериментальным данным, достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели, по каждому наблюдению из относительных отклонений определяют среднюю ошибку аппроксимации, величина которой  не должна превышать 12-15% (максимально допустимое значение).

 

Оценка значимости уравнения  регрессии в целом производится на основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической  статистике  дисперсионный анализ  рассматривается как самостоятельный инструмент  статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения  качества регрессионной модели.

Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов  отклонений переменной (y) от среднего значения (y_ср.) раскладывается на две части: «объясненную» и «необъясненную»:

 

 

Схема дисперсионного анализа  имеет следующий вид:

 

где n –число наблюдений,  m–число параметров при переменной  x

 

Определение  дисперсии  на  одну  степень  свободы  приводит  дисперсии к  сравнимому  виду.  Сопоставляя  факторную  и  остаточную  дисперсии  в  расчете на одну степень свободы, получим величину  F-критерия Фишера. Фактическое значение  F -критерия  Фишера  сравнивается  с табличным значением F_табл. (α, k₁, k₂)  при заданном уровне значимости α и степенях свободы k₁= m и k₂=n-m-1.  При этом,  если  фактическое значение  F-критерия  больше  табличного F_факт> F_табл, то  признается  статистическая  значимость уравнения в целом. Для парной линейной регрессии m=1 , поэтому:

 

 

Эта формула в общем  виде может выглядеть так:

 

Отношение объясненной части  дисперсии переменной (у) к общей  дисперсии называют коэффициентом детерминации и используют для характеристики качества уравнения регрессии или соответствующей модели связи. Соотношение между объясненной и необъясненной частями общей дисперсии можно представить в альтернативном варианте:

 

 

Коэффициент детерминации R² принимает значения в диапазоне от нуля до единицы 0≤ R² ≤1. Коэффициент детерминации R² показывает, какая часть дисперсии результативного признака (y) объяснена уравнением регрессии. Чем больше R², тем большая часть дисперсии результативного признака (y) объясняется уравнением регрессии и тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные.

 При отсутствии зависимости  между (у) и (x) коэффициент детерминации R² будет близок к нулю. Таким образом, коэффициент детерминации R² может применяться для оценки качества (точности) уравнения регрессии. Значение R-квадрата является индикатором степени подгонки модели к данным (значение R-квадрата близкое к 1 показывает, что модель объясняет почти всю изменчивость соответствующих переменных).

Чтобы определить, при каких  значениях R² уравнение регрессии следует считать статистически не значимым, что, в свою очередь, делает необоснованным его использование в анализе, рассчитывается F-критерий Фишера: F_факт > F_теор - делаем вывод о статистической значимости уравнения регрессии. Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации и её можно рассчитать по следующей формуле:

Либо при оценке значимости индекса  детерминации (аналог коэффициента детерминации):

,

где i² - индекс (коэффициент) детерминации, который рассчитывается:

 

 

 

Использование коэффициента множественной детерминации R² для оценки качества модели, обладает тем недостатком, что включение в модель нового фактора (даже несущественного) автоматически увеличивает величину R². Поэтому, при большом количестве факторов, предпочтительнее использовать, так называемый, улучшенный, скорректированный коэффициент множественной детерминации R², определяемый соотношением:

где p – число факторов в уравнении регрессии, n – число наблюдений.

 

Чем больше величина p, тем сильнее различия между множественным коэффициентом детерминации R² и скорректированным R².

При использовании скорректированного R², для оценки целесообразности включения фактора в уравнение регрессии, следует учитывать, что увеличение его величины (значения), при включении нового фактора, не обязательно свидетельствует о его значимости, так как значение увеличивается всегда, когда t-статистика больше единицы (|t|>1). При заданном объёме наблюдений и при прочих равных условиях, с увеличением числа независимых переменных (параметров), скорректированный коэффициент множественной детерминации убывает. При небольшом числе наблюдений, скорректированная величина коэффициента множественной детерминации R² имеет тенденцию переоценивать долю вариации результативного признака, связанную с влиянием факторов, включенных в регрессионную модель.

Низкое значение коэффициента множественной корреляции и коэффициента множественной детерминации R² может быть обусловлено следующими причинами:

• в регрессионную модель не включены существенные факторы;
• неверно выбрана форма аналитической зависимости, которая нереально отражает  соотношения между переменными, включенными в модель.

 

Следует также обратить внимание на важность анализа остатков (остаточной, «необъясненной» дисперсии). Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от значения, полученного расчетным путем. При построении уравнения регрессии, мы можем разбить значение (у) в каждом наблюдении на 2 составляющие:

 

Отсюда:

 

Если ε_i=0, то для всех наблюдений фактические значения зависимой переменной совпадают с расчетными (теоретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, построенная по функции у=а₀+а₁x) проходит через все точки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи.

Следовательно, результативный признак (у) полностью обусловлен влиянием фактора (х). На практике, как правило, имеет место некоторое рассеивание  точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, то есть отклонения эмпирических данных от теоретических εi≠0. Величина этих отклонений и лежит в основе расчета показателей качества (адекватности) уравнения.

В качестве примера, иллюстрирующего  необходимость решения вопроса  об адекватном описании результатов  наблюдений соответствующими моделями, рассмотрим регрессионную модель, с  помощью которой описали поведение  некоторого процесса. Рассмотрим два  рисунка (рис.1, а и б) с одинаковым расположением экспериментальных  точек и, следовательно, одинаковым разбросом относительно линии регрессии. Различие в этих рисунках состоит  в том, что модели, изображенные на них, построены на основании разного  количества экспериментальных данных. В связи с этим имеем различный  средний разброс в экспериментальных  точках факторного пространства. Разброс в точках показан отрезками прямых, численно равных величине доверительного интервала, построенного для функции отклика.

Линейная модель регрессии адекватна в первом случае (рис. 3.5, а), так как разброс в точках того же порядка, что и разброс относительно линии регрессии. Во втором случае (рис. 3.5, б) не все отрезки прямых, численно равных величине доверительного интервала, накрывают линию регрессии. Следовательно, в этом случае требуется более сложная модель, чтобы точность её предсказания была сравнима с точностью экспериментальных данных.

В первом случае модель обладает удовлетворительными точностными характеристиками по сравнению с экспериментальной информацией, на основании которой она построена. Во втором случае точность предсказания модели хуже точности экспериментальных данных. Таким образом, модель адекватна экспериментальным данным только в первом случае.

Рис 1. Проверка адекватности модели: a – объём экспериментальных данных мал; б – объем данных велик.

Большинство предположений  множественной регрессии нельзя в точности проверить, однако можно  обнаружить отклонения от этих предположений. В частности, выбросы (экстремальные  наблюдения) могут вызвать серьезное  смещение оценок, сдвигая линию регрессии  в определенном направлении и, тем  самым, вызывая смещение коэффициентов  регрессии. Часто исключение всего  одного экстремального наблюдения приводит к совершенно другому результату. Выбросы оказывают существенное влияние на угол наклона регрессионной  линии и, соответственно, на коэффициент  корреляции. Всего один выброс может  полностью изменить наклон регрессионной  линии и, следовательно, вид зависимости  между переменными. Одна точка выброса  обуславливает высокое значение коэффициента корреляции, в то время, как в отсутствие выброса, он практически равен нулю.

При численности объектов анализа до 30 единиц возникает необходимость  проверки значимости (существенности) каждого коэффициента регрессии. При  этом выясняют насколько вычисленные параметры характерны для отображения комплекса условий: не являются ли полученные значения параметров результатами действия случайных причин. Значимость коэффициентов простой линейной регрессии (применительно к совокупностям, у которых n<30) осуществляют с помощью t-критерия Стьюдента. При этом вычисляют расчетные (фактические) значения t-критерия для параметров a₀ и а₁:

,

 

n — число наблюдений, m-число параметров уравнения регрессии,

σε - (остаточное) среднее квадратическое отклонение результативного признака от выровненных значений ŷ,

σх - среднее квадратическое отклонение факторного признака от общей средней.

 

Вычисленные, по вышеприведенным  формулам, значения сравнивают с критическими t, которые определяют по таблице значений Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числа степеней свободы вариации k (ν)=n-2. В социально-экономических исследованиях уровень значимости α обычно принимают равным  0,05. 

Параметр признается значимым (существенным)  при условии,  если   t_расч > t_табл. В этом случае, практически невероятно, что найденные значения параметров обусловлены только случайными совпадениями.

Для оценки значимости парного  коэффициента корреляции (корень квадратный из коэффициента детерминации), при  условии линейной формы связи  между факторами, можно использовать t-критерий Стьюдента:

 

  

Анализ качества эмпирического  уравнения множественной линейной регрессии предусматривает оценку мультиколлинеарности факторов. При оценке мультиколлинеарности факторов следует учитывать, что чем ближе к нулю определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии.

Для отбора наиболее значимых факторов Х_i должны быть учтены следующие условия:

• связь между результативным признаком и факторным должна быть выше межфакторной связи;
• связь между факторами должна быть не более 0.7;
• при высокой межфакторной связи признака отбираются факторы с меньшим коэффициентом корреляции между ними;

 

Более объективную характеристику тесноты связи дают частные коэффициенты корреляции, измеряющие влияние на результативный   фактор  У_i  фактора Х_i при неизменном уровне других факторов.

Коэффициент частной корреляции отличается от простого коэффициента линейной парной корреляции тем, что  он измеряет парную корреляцию соответствующих  признаков (У и Х_i) при условии, что влияние на них остальных факторов (Х_j) устранено.

 

,

 

,

 

.

 

2. Характеристики точности моделей

Чтобы судить о качестве выбранной модели необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих  как адекватность модели, так и  её точность. О точности прогноза судят  по величине ошибки прогноза.

Ошибка прогноза – это величина, характеризующая расхождения между прогнозным значением показателя и фактическим значением.

Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

 

где — прогнозное  значение  показателя;

  —  фактическое значение.

 

Эта  характеристика   имеет  ту   же  размерность,  что  и  прогнозируемый  показатель,  и  зависит от   масштаба измерения  уровней временного  ряда. На  практике   широко  используется   относительная  ошибка  прогноза,  выраженная  в процентах относительно  фактического  значения  показателя:

 

 

Также  используются  средние  ошибки по модулю (абсолютные и относительные):

S =

где n —  число уровней  временного  ряда,  для которых  определялось  прогнозное  значение.

 

Таким образом, если   абсолютная  и  относительная  ошибка  больше 0,  то  это  свидетельствует   о «завышенной»  прогнозной   оценке,  если меньше 0,  то   прогнозное  значение  было занижено. Очевидно,  что  все  указанные  характеристики   могут  быть  вычислены   после  того,  как  период   упреждения  уже закончился,  и  имеются   фактические  данные  о  прогнозируемом   показателе  или  при  рассмотрении  показателя  на  ретроспективном участке.

 При проведении сравнительной оценки моделей прогнозирования применяются также дисперсия и среднее квадратическое отклонение:

^{2  =}

=

                                              

Чем меньше значение дисперсии  и среднее квадратическое отклонение, тем выше точность модели. О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза, поскольку единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, поэтому о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими.

Простой мерой качества прогнозов  может служить характеристика μ . Это относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

,

 где Р – число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q – число прогнозов,  не подтвержденных фактическими  данными.

 

Вывод: Важнейшим требованием к модели является требование адекватности её реальному объекту (процессу, системе и т.д.) относительно выбранного множества его характеристик и свойств и её точность.

Под адекватностью и точностью  модели понимают правильное качественное и количественное описание объекта (процесса) по выбранному множеству  характеристик с некоторой разумной степенью точности, причем по тем свойствам модели, которые являются для исследователя существенными. Полная адекватность означает тождество между моделью и прототипом.

Математическая модель может  быть адекватна относительно одного класса ситуаций и не адекватна относительно другого. Можно ввести понятие степени (меры) адекватности, которая будет меняться от 0 (отсутствие адекватности) до 1 (полная адекватность). Степень адекватности характеризует долю истинности модели относительно выбранной характеристики (свойства) изучаемого объекта. Введение количественной меры адекватности позволяет в количественном отношении ставить и решать такие задачи, как идентификация, устойчивость, чувствительность, адаптация, обучение модели.

Трудность оценки степени  адекватности и точности в общем  случае возникает из-за неоднозначности  и нечеткости самих критериев, а также из-за трудности выбора тех признаков, свойств и характеристик, по которым оценивается адекватность и точность.

Следовательно, адекватность модели должна проверяться, контролироваться, уточняться в процессе исследования на частных примерах, аналогиях, экспериментах  и т.д. В результате проверки адекватности выясняют, к чему приводят сделанные  допущения: то ли к допустимой потере точности, то ли к потере качества. При  проверке адекватности и точности также можно обосновать законность применения принятых рабочих гипотез при решении рассматриваемой задачи или проблемы.

Таким образом, становится понятно, что свойства адекватности и точности являются важнейшими требованиями к модели, но разработка высокоточных и надежных методов проверки адекватности и точности остается по-прежнему трудноразрешимой задачей.

 

Статистический  анализ социально-экономического положения  региона

 

Используя последние статистические данные, проведем анализ экономического положения региона, демографической  и социальной ситуации в Томской  области.

Чтобы проанализировать социально-экономическое  положение региона, рассмотрим для  этого основные индикаторы: среднедушевые  денежные доходы населения, реальные располагаемые  денежные доходы, среднемесячная номинальная  и реальная начисленная заработная плата занятых в экономике и другие.

 

 

 

 

 

Основные социально-экономические  индикаторы уровня жизни населения  за 2000-2011 гг.

 

Анализируя данные за рассматриваемый  период, можно заметить устойчивый рост таких показателей как среднедушевые  денежные доходы, среднемесячная номинальная  заработная плата и средний размер начисленных пенсий. Всё это говорит, что с 2000 по 2011 год благосостояние жителей Томской области значительно  возросло, следовательно, улучшилось экономическое  и социальное положение, как населения, так и региона в целом. Такие показатели как реальные располагаемые денежные доходы и реальная начисленная заработная плата представлены в процентном отношении к предыдущему году и демонстрируют нестабильную тенденцию к уменьшению. Это свидетельствует о том, что с повышением уровня жизни, растут и расходы населения на государственные выплаты, то есть увеличиваются налоги и прочие госотчисления.

 

Оценивая демографическую  ситуацию в регионе, обратим внимание на показатель численности населения. С 2003 по 2007 год он уменьшался (что, скорее всего, было вызвано экономическим  кризисом), но с 2008 снова начал возрастать, сохранив такую тенденцию до нынешнего  момента. Касаемо состава населения, очевидно, что городская его часть  значительно преобладает над  сельской. Эти показатели обратно пропорциональны друг другу, ведь городское население стабильно увеличивается, а сельское уменьшается. Из общей численности населения Томской области преобладает трудоспособное население, сохраняя своё число примерно на одном уровне. Стоит отметить растущее число пенсионеров и несильно колеблющееся число лиц, моложе трудоспособного возраста.

Основные демографические  показатели за 2003-2013 гг.

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Показатели рождаемости  положительные. Число смертей из года в год уменьшается, в том  числе значительно падает показатель детской смертности. Естественный прирост  за рассматриваемый период сменяется  с убыли на прибыль. Число браков также имеет положительную тенденцию, значительно опережая число разводов, которое, хоть и медленно, но уменьшается. Всё это в целом рисует отличную демографическую картину региона. Сохранение такого положения, несомненно, благоприятно скажется и на экономике  региона.

 

Численность экономически активного  населения в 2000-2011 гг. колебалась несильно. Мужчин в их общем числе больше, чем женщин. Доля занятого в экономике  населения зачастую увеличивается, мужчины опять же преобладают  в этом плане. Среди безработного населения мужчины демонстрируют  более высокие показатели. У женщин, по сравнению с мужчинами, заметна  склонность к регистрации в государственных  учреждениях занятости, и соответственно большее их количество получает пособие. В целом ситуация по трудовым ресурсам в регионе стабильна и положительно, что благоприятно влияет на положение  региона.

 

Численность экономически активного населения, занятых и  безработных за 2000-2011 гг.

 

Структура и динамика ВРП

 

По итогам на 2011 год объем ВРП Томской области оценивается на уровне 337722,3 млн. рублей в основных ценах, что на  18,6%  превышает прошлогодний показатель.  В целом по параметрам ВРП за последние годы Томская область сохраняла лидирующее место в Сибирском федеральном округе и способна его удерживать. За недавние сроки Томская область обеспечила около  0,8%  российского ВВП и  7,1%  ВРП Сибирского         федерального округа, что значительно выше, чем доля региона по размеру  территории и численности населения. Данный факт, безусловно, свидетельствует о высокой социально-экономической подкованности региона.