Оценка и анализ рисков. 4

Титульный лист

  A B C D E F G H I J K L
1 ВСЕРОССИЙСКИЙ  ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО- ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ                      
2  Факультет     ФИНАНСЫ  И КРЕДИТ                
3      Контрольная работа по  финансовой математике   оценке и анализу рисков              
4      Группа                   
5      6 курс, зачетная книжка                   
6      Студент                    
7      Вариант номер     8            
8           Преподаватель                  
9        2008г.                
10         Задача 1                    
11    m1 m2   Ответы к задаче 1              
12    16 6                  
13    6 10   бета1 = 0.733 0.73283          
14    15 7   бета2 = 0.912 0.91185          
15    -3 6                  
16    -5 -9   Собств риск1    =   77.20267 77.21274        
17    -17 -12   Собств риск2    =   29.13733 29.15541        
18    15 16   Дисперсия рынка =   38.51 38.51        
19    8 3   Средняя доходность облигац =     2.75 2.75      
20    -5 9   Средняя доходность бумаги1 =     4.199 4.20      
21    -4 2   Средняя доходность бумаги2 =     4.596 4.6      
22    5 -7                  
23    14 8   х1 х2   Целевая функция   7.03581    
24    9 9   0.329 0.671   Доходность портфеля   4.46526    
25    -6 7   0.32937 0.67063            
26    15 14                  
27    Доходность облигац=   2.75                
28                         
29         Задача 2                    
30    t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
31   Y(t) 2.11 2.16 2.34 2.44 2.4 1.89 1.94 1.72 1.75 2.01
32   X(t) 0.27 -3.08 -6.72 8.58 1.15 7.87 5.92 -3.1 13.61 -5.86
33                        
34    Ответы к задаче 2                    
35    Для t = 11 Акционерное общество А     Ожидаемая доходность равна     2.47 2.46    
36        Вероятность того, что доходность будет больше 0         0.83339 0.83    
37  Вероятность того, что доходность будет больше чем доходность облигации             0.60535   0.60    
38                         
39                         
40                         
41  Примечание   Поля с красным цветом шифра студент заполняет в соответствии со своим вариантом.                  
42  Открыть лист с именем «ПродолжЗадачи1»                      
43  - нажать в менью кнопку «Сервис». Откроется выпадающее меню в котором нажать «Поиск решения»                      
44  - появится диалоговое окно «Поиск решения» уже настроенное на решение задачи Марковица о формировании                      
45    портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска (впоследствии можно об                    
46    этом подробнее прочитать в файле с именем «Решение задач.doc»). Нажать кнопку «Выполнить»                    
47  - появится диалоговое окно «Результаты поиска решения». Нажать кнопку «ОК»               в      
48  ячейках F3 и G3 появятся правильные значения х1 и х2. Решние найдено.                      
49  - Открыть лист с именем “Титульный лист” и в нем синим шрифтом будут высвечены правильные ответы оп задачам 1 и 2.                      
50  Студент самостоятельно решает все задачи и проверяет правилность                      
51  ответов. В ячейках с желтой заливкой проставить полученные самостоятельно ответы со ссылкой на страницу                      
52  контрольной работы, где это значение получено студентом самостоятельно. Если студент не смог получить правильные                      
53  ответы необходимо проконсультироваться у преподавалеля                      
54  Исправив после консультации ошибки,  можно сдавать зачет по работе.Работа обязательно должна содержать данный                      
55  титульный лист.                      

Задача1

  A B C D E F G H I J K
1 Задача 1                    
2  t индекс  mf m1 mf-mfcp (mf-mfcp)^2 m1-m1cp (m1-m1cp)^2 (mf-mfcp)* (m1-m1cp) m1(t)  = e(t) e(t)^2
3 1 5.0 16.0 2.00 4.00 11.8 139.24 23.60 5.67 10.33 106.71
4 2 0.0 6.0 -3.00 9.00 1.8 3.24 -5.40 2 4 16
5 3 12.0 15.0 9.00 81.00 10.8 116.64 97.20 10.8 4.2 17.64
6 4 5.0 -3.0 2.00 4.00 -7.2 51.84 -14.40 5.67 -8.67 75.17
7 5 -4.6 -5.0 -7.60 57.76 -9.2 84.64 69.92 -1.37 -3.63 13.18
8 6 -8.9 -17.0 -11.90 141.61 -21.2 449.44 252.28 -4.52 -12.48 155.75
9 7 12.0 15.0 9.00 81.00 10.8 116.64 97.20 10.8 4.2 17.64
10 8 5.0 8.0 2.00 4.00 3.8 14.44 7.60 5.67 2.33 5.43
11 9 6.0 -5.0 3.00 9.00 -9.2 84.64 -27.60 6.4 -11.4 129.96
12 10 4.0 -4.0 1.00 1.00 -8.2 67.24 -8.20 4.93 -8.93 79.74
13 11 -3.0 5.0 -6.00 36.00 0.8 0.64 -4.80 -0.2 5.2 27.04
14 12 -7.0 14.0 -10.00 100.00 9.8 96.04 -98.00 -3.13 17.13 293.44
15 13 4.0 9.0 1.00 1.00 4.8 23.04 4.80 4.93 4.07 16.56
16 14 6.5 -6.0 3.50 12.25 -10.2 104.04 -35.70 6.76 -12.76 162.82
17 15 9.0 15.0 6.00 36.00 10.8 116.64 64.80 8.6 6.4 40.96
18 Сумма 45.0 63.0 0 577.62 0 1468.4 423.30 63.01 -0.01 1158.04
19 Среднее 3.00 4.20   38.51   97.89 28.22     Собств риск1    =   77.20267
20                      
21  Дисперсия рынка =   577.62     / 15        = 38.51        
22  бета1 = 423.3    /     15       / 38.51       = 0.733      
23  а01   = 4.2         - 0.733       * 3       = 2      
24  m1(t)  = 2     + 0.733      * mf(t)          
25  Средняя доходность бумаги1 =     4.199              
26  t mf m2 mf-mfcp (mf-mfcp)^2 m2-m2cp (m2-m2cp)^2 (mf-mfcp)* (m2-m2cp) m2(t)  = e(t) e(t)^2
27 1 5.0 6.0 2.00 4.00 1.40 1.96 2.80 6.42 -0.42 0.18
28 2 0.0 10.0 -3.00 9.00 5.40 29.16 -16.20 1.86 8.14 66.26
29 3 12.0 7.0 9.00 81.00 2.40 5.76 21.60 12.8 -5.8 33.64
30 4 5.0 6.0 2.00 4.00 1.40 1.96 2.80 6.42 -0.42 0.18
31 5 -4.6 -9.0 -7.60 57.76 -13.60 184.96 103.36 -2.34 -6.66 44.36
32 6 -8.9 -12.0 -11.90 141.61 -16.60 275.56 197.54 -6.26 -5.74 32.95
33 7 12.0 16.0 9.00 81.00 11.40 129.96 102.60 12.8 3.2 10.24
34 8 5.0 3.0 2.00 4.00 -1.60 2.56 -3.20 6.42 -3.42 11.7
35 9 6.0 9.0 3.00 9.00 4.40 19.36 13.20 7.33 1.67 2.79
36 10 4.0 2.0 1.00 1.00 -2.60 6.76 -2.60 5.51 -3.51 12.32
37 11 -3.0 -7.0 -6.00 36.00 -11.60 134.56 69.60 -0.88 -6.12 37.45
38 12 -7.0 8.0 -10.00 100.00 3.40 11.56 -34.00 -4.52 12.52 156.75
39 13 4.0 9.0 1.00 1.00 4.40 19.36 4.40 5.51 3.49 12.18
40 14 6.5 7.0 3.50 12.25 2.40 5.76 8.40 7.79 -0.79 0.62
41 15 9.0 14.0 6.00 36.00 9.40 88.36 56.40 10.07 3.93 15.44
42 Сумма 45.0 69.0 0 577.62   917.6 526.70 68.93 0.07 437.06
43 Среднее 3.00 4.60   38.51   61.17 35.11     Собств риск1    =   29.13733
44                      
45  Дисперсия рынка =   577.62     / 15      = 38.51        
46  бета2 = 526.7    /     15       / 38.51       = 0.912      
47  а02   = 4.6         - 0.912       * 3       = 1.86      
48  m2(t)  = 1.86     + 0.912      * mf(t)          
49  Средняя доходность бумаги2 =     4.596              
50                       
51                       
52    продолжение задачи смотри на следующем листе                  

Задача2

  A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K 
1       Задача2                    
2  Имеются данные, которые представлены в виде временных рядов  за 10 кварталов                    
3  о доходности (в %) по облигациям Y(t) и по акциям X(t)                    
4  t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 Y(t) 2.11 2.16 2.34 2.44 2.40 1.89 1.94 1.72 1.75 2.01
6 X(t) 0.27 -3.08 -6.72 8.58 1.15 7.87 5.92 -3.10 13.61 -5.86
7 Акционерное общество А предполагает разместить           75 % своех ресурсов в облигациях и      
8  25 % - в акциях.                  
9  Акционерное общество В предполагает разместить           25 % своех ресурсов в облигациях и      
10  75 % - в акциях.                  
11  ТРЕБУЕТСЯ                    
12    1) определить возможную доходность каждого из акционерных обществ в 11 и 12 кварталах,                    
13  подобрав для этого для каждого временного ряда наилучшую аппроксимирующую кривую:                    
14    2) для  11 и 12 кварталов для каждого из акционерных обзеств определить вероятность получения                    
15    а) положительного дохода                  
16    б) дохода, превышающего доход по облигациям.                  
17  Решение                    
18    1.  Линейная   модель     имеет вид            
19                  1.0  
20                       
21                       
22        Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного                    
23  уравнения a1 и a0 по формулам 1.1-.1.4 :                    
24                     
25                       
26                       
27                       
28                    (1.1)  
29                       
30                       
31                       
32                       
33                  (1.2)  
34                       
35                     
36  где                 (1.3)  
37                       
38                     
39                    (1.4)  
40                       
41                       
42    Промежуточные вычисления значений переменных и математических выражений,                  
43  необходимых для расчетов по формулам 1.1-1.4 приведены в табл. 1.1                    
44  Таблица 1.1 Промежуточные вычисления, необходимые для оценки параметров модели                    
45  t Факт Отклон (t-tср)^2 Y(t)-Yср (t-tср)* Расч Отклон E(t)-Ecp    
46    Y(t) t-tср     (Y(t)-Yср) Yp(t) E(t) в квадр    
47  1 2 3 4 5 6 7 8 9    
48  1 2.11 -4.50 20.25 0.03 -0.135 2.33 -0.22 0.05    
49  2 2.16 -3.50 12.25 0.08 -0.280 2.27 -0.11 0.01    
50  3 2.34 -2.50 6.25 0.26 -0.650 2.22 0.12 0.01    
51  4 2.44 -1.50 2.25 0.36 -0.540 2.16 0.28 0.08    
52  5 2.40 -0.50 0.25 0.32 -0.160 2.11 0.29 0.08    
53  6 1.89 0.50 0.25 -0.19 -0.095 2.06 -0.17 0.03    
54  7 1.94 1.50 2.25 -0.14 -0.210 2.00 -0.06 0.00    
55  8 1.72 2.50 6.25 -0.36 -0.900 1.95 -0.23 0.05    
56  9 1.75 3.50 12.25 -0.33 -1.155 1.89 -0.14 0.02    
57  10 2.01 4.50 20.25 -0.07 -0.315 1.84 0.17 0.03    
58  55 20.76 0.00 82.50 -0.04 -4.440 20.83 -0.07 0.36    
59    Используя данные итоговой строки таблицы и учитывая, что N =             10      
60  по ф-лам 1.3 и 1.4 находим                    
61        tcp= 5.50      Ycp  = 2.08            
62  Зная tcp и Ycp рассчитываем  графы 3-6 табл. 1.1 , а затем , используя значения                    
63  итоговой   строки стролбцов 4 и 6                    
64  по формулам 1.1 и 1.2 находим                    
65  a1= -4.44      / 82.50      = -0.054          
66  a0  = 2.08       -       ( -0.05      * 5.50 )      = 2.38      
67  Затем по формуле     рассчитываем значения Yр(t)  и заносим в столбец 7 табл.1.1            
68  а столбец 8 заполняем как разность  столбцов 2 и 7 - т.е. находим остаточную компоненту.                    
69  необходимую для определения среднего квадратического отклонения                    
70  Sy - CКОy     (средн. квадр. Отклонение от линии тренда) рассчитывают по формуле                    
71           Sy= корень[E(t)2 / (N-1)] =       0.36       / 9.00       = 0.20    
72  Точечный прогноз на k шагов вперед                    
73  Точечный прогноз на k шагов вперед делаем с использованием ф-лы 1.0, учитывая ,что                    
74  для одного шага     k=1, t=11 ,     а для   двух шагов   k=2, t=12      
75    Yp(11) = a0+a1*11   =     2.38        + -0.054 * 11 = 1.79  
76    Yp(12) = a0+a1*12   =     2.38        + -0.054 * 12 = 1.73  
77  Аналогично находим Xp(t)                    
78  Таблица 1.2 Промежуточные вычисления, необходимые для оценки параметров модели                    
79  t Факт Отклон (t-tср)^2 X(t)-Xср (t-tср)* Расч Отклон E(t)-Ecp    
80    X(t) t-tср     (X(t)-Xср) Xp(t) E(t) в квадр    
81  1 2 3 4 5 6 7 8 9    
82  1 0.27 -4.50 20.25 -1.59 7.155 -0.27 0.54 0.29    
83  2 -3.08 -3.50 12.25 -4.94 17.290 0.20 -3.28 10.76    
84  3 -6.72 -2.50 6.25 -8.58 21.450 0.68 -7.40 54.76    
85  4 8.58 -1.50 2.25 6.72 -10.080 1.15 7.43 55.20    
86  5 1.15 -0.50 0.25 -0.71 0.355 1.63 -0.48 0.23    
87  6 7.87 0.50 0.25 6.01 3.005 2.11 5.76 33.18    
88  7 5.92 1.50 2.25 4.06 6.090 2.58 3.34 11.16    
89  8 -3.10 2.50 6.25 -4.96 -12.400 3.06 -6.16 37.95    
90  9 13.61 3.50 12.25 11.75 41.125 3.53 10.08 101.61    
91  10 -5.86 4.50 20.25 -7.72 -34.740 4.01 -9.87 97.42    
92  55 18.64 0.00 82.50 0.04 39.250 18.68 -0.04 402.56    
93    Используя данные итоговой строки таблицы и учитывая, что N =             10      
94  по ф-лам 1.3 и 1.4 находим                    
95        tcp= 5.50      Ycp  = 1.86            
96  Зная tcp и Ycp рассчитываем  графы 3-6 табл. 1.1 , а затем , используя значения                    
97  итоговой   строки стролбцов 4 и 6                    
98  по формулам 1.1 и 1.2 находим                    
99  a1= 39.25      / 82.50      = 0.476          
100  a0  = 1.86       -       ( 0.48      * 5.50 )      = -0.75      
101  Затем по формуле       рассчитываем значения Xр(t) и заносим в столбец 7          
102                       
103  табл.1.2   а столбец 8 заполняем как разность  столбцов 2 и 7 - т.е. находим остаточную компоненту.                  
104  необходимую для определения среднего квадратического отклонения                    
105  Sx - CКОx     (средн. квадр. Отклонение от линии тренда) рассчитывают по формуле                    
106           Sx= корень[E(t)2 / (N-1)] =       402.56       / 9.00       = 6.69    
107  Точечный прогноз на k шагов вперед                    
108  Точечный прогноз на k шагов вперед делаем с использованием ф-лы 1.0, учитывая ,что                    
109  для одного шага     k=1, t=11 ,     а для   двух шагов   k=2, t=12      
110    Хp(11) = a0+a1*11   =     -0.75        + 0.476 * 11 = 4.49  
111    Хp(12) = a0+a1*12   =     -0.75        + 0.48 * 12 = 4.96  
112  Определим для t=11 СКО переменных X(t)  и  У(t) по формуле                    
113                       
114                     
115                       
116                       
117                       
118                       
119  где m - число ценных бумаг, в нашем случае = 2, N=10, k = 1                    
120                       
121  Найдем Sу11   и Sх11 Учитывая, что              
122                       
123                       
124                     
125  для t=11                 1.28  
126                       
127                       
128  для t=12 этот множитель равен       1.26            
129                       
130                       
131                     
132                       
133                    1.21  
134                       
135  для t=12 этот множитель равен       1.27            
136  находим                    
137  Sу11  = 1.28*1.21*0.20=     0.31     Sх11  = 1.28*1.21*5.40=     10.36  
138  Sу12  = 1.26*1.27*0.20=     0.32     Sх12  = 1.26*1.27*5.40=     10.71  
139                       
140  Рассчитаем коэффициент корреляции между X(t) и У(t)                  
141                       
142                       
143  Таблица 1.3   Расчет коэффициента корреляции                
144  Y(t)-Ycp X(t)-Xcp Y(t)-Ycp X(t)-Xcp (Y(t)-Ycp)*            
145      в квадр. в квадр. (X1(t)-X1cp)            
146  1 2 4 5 7            
147  0.03 -1.59 0 2.53 -0.05            
148  0.08 -4.94 0.01 24.4 -0.4            
149  0.26 -8.58 0.07 73.62 -2.23            
150  0.36 6.72 0.13 45.16 2.42            
151  0.32 -0.71 0.1 0.5 -0.23            
152  -0.19 6.01 0.04 36.12 -1.14            
153  -0.14 4.06 0.02 16.48 -0.57            
154  -0.36 -4.96 0.13 24.6 1.79            
155  -0.33 11.75 0.11 138.06 -3.88            
156  -0.07 -7.72 0 59.6 0.54            
157    Сумма 0.61 421.07 -3.75            
158                       
159  rx.y  = -3.75       /   ( 0.61       * 421.07 ) ^ 0.5 = -0.23      
160  Для решения задачи нам понадобится таблица значений интеграла вероятностей Ф(z),                    
161  более точные значения можно найти линейной экстраполяцией                    
162  z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z)          
163  0.0 0.0000 1.0 0.6827 2.0 0.9643          
164  0.1 0.0797 1.1 0.7287 2.1 0.9722          
165  0.2 0.1585 1.2 0.7699 2.2 0.9786          
166  0.3 0.2368 1.3 0.8064 2.3 0.9836          
167  0.4 0.3108 1.4 0.8385 2.4 0.9876          
168  0.5 0.3829 1.5 0.8664 2.5 0.9907          
169  0.6 0.4515 1.6 0.8994 2.6 0.9931          
170  0.7 0.5161 1.7 0.9104 2.7 0.9949          
171  0.8 0.5763 1.8 0.9281 2.8 0.9963          
172  0.9 0.6319 1.9 0.9545 2.9 0.9973          
173                       
174  Для t = 11                    
175  Акционерное общество А                    
176  Sy Sx ky kx rxy   Yp(11)   Хp(11)        
177  0.31 10.36 0.75 0.25 -0.23 1.79 4.49        
178                     Доля облигаций ky =       0.75                        Доля акций kx =     0.25    
179  Ожидаемая доходность равна                    
180  d=Y(11)*ky + X(11)*kx     =              
181  1.79     * 0.75     + 4.49       * 0.25           = 2.47    
182  Среднее квадратическое отклонение S=                    
183       КОРЕНЬ[ (Sy*ky)^2 + 2*kx*ky*rxy*Sx*Sy + (Sx*kx)^2 ] =             2.55      
184  Оценим вероятность положительного дохода                    
185  z=  ( 2.4700       - 0      )  / 2.5500     = 0.9686      
186  Для z= 0.9000 Ф(z)= 0.63191    Для z= 1.0000   Ф(z)= 0.6827      
187       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.9686   Ф(z )= 0.66677    
188  Пример линейной экстраполяции                    
189  Допустим z=   1.06991                
190  Для z= 1.0000 Ф(1.0)= 0.68271    Для z= 1.1000   Ф(1.1)= 0.72871      
191  Следовательно Ф(1.06991)=Ф(1.0)+(Ф(1.1)-Ф(1.0))*(1.06991-1.0)/(1.1-1.0)=                    
192      = 0.6827      + 0.0460          * 0.06991          / 0.1000      = 0.71487  
193  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
194  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
195  0.5     + 0.5     * 0.66677      = 0.83339        
196  Оценим вероятность того, что случайное занчение доходности при t=11  будет больше                    
197  чем доходность облигации                    
198  z=  ( 2.4700       - 1.79      )  / 2.5500     = 0.2667      
199  Для z= 0.2000     Ф(z)= 0.15851    Для z= 0.3000     Ф(z)= 0.2368      
200       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.2667         Ф(z)= 0.21071    
201  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
202  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
203  0.5     + 0.5     * 0.21071      = 0.60535        
204  Акционерное общество В                    
205  Sy Sx ky kx rxy   Yp(11)   Хp(11)        
206  0.31 10.36 0.25 0.75 -0.23 1.79 4.49        
207                     Доля облигаций ky =       0.25                        Доля акций kx =     0.75    
208  Ожидаемая доходность равна                    
209  d=Y(11)*ky + X(11)*kx     =              
210  1.79     * 0.25     + 4.49       * 0.75           = 3.82    
211  Среднее квадратическое отклонение S=                    
212       КОРЕНЬ[ (Sy*ky)^2 + 2*kx*ky*rxy*Sx*Sy + (Sx*kx)^2 ] =             7.75      
213  Оценим вероятность положительного дохода                    
214  z=  ( 3.8200       - 0      )  / 7.7500     = 0.4929      
215  Для z= 0.4000     Ф(z)= 0.31081    Для z= 0.5000     Ф(z)= 0.3829      
216       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.4929         Ф(z)= 0.37779    
217  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
218  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
219  0.5     + 0.5     * 0.37779      = 0.68890        
220  Оценим вероятность того, что случайное занчение доходности при t=11  будет больше                    
221  чем доходность облигации                    
222  z=  ( 3.8200       - 1.79      )  / 7.7500     = 0.2619      
223  Для z= 0.2000     Ф(z)= 0.15851    Для z= 0.3000     Ф(z)= 0.2368      
224       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.26194         Ф(z)= 0.20700    
225  Вероятность того, что доходность будет больше чем доходность облигации                    
226  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
227  0.5     + 0.5     * 0.20700      = 0.60350        
228                       
229  Для t = 12 проведем аналогичные расчеты                    
230  Акционерное общество А                    
231  Sy Sx ky kx rxy   Yp(12)   Хp(12)        
232  0.32 10.71 0.75 0.25 -0.23 1.73 4.96        
233                     Доля облигаций ky =       0.75                        Доля акций kx =     0.25    
234  Ожидаемая доходность равна                    
235  d=Y(12)*ky + X(12)*kx     =              
236  1.73     * 0.75     + 4.96       * 0.25           = 2.54    
237  Среднее квадратическое отклонение S=                    
238       КОРЕНЬ[ (Sy*ky)^2 + 2*kx*ky*rxy*Sx*Sy + (Sx*kx)^2 ] =             2.63      
239  Оценим вероятность положительного дохода                    
240  z=  ( 2.5400       - 0      )  / 2.6300     = 0.9658      
241  Для z= 0.9000 Ф(z)= 0.63191    Для z= 1.0000   Ф(z)= 0.6827      
242       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.9658     Ф(z  )= 0.66532    
243  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
244  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
245  0.5     + 0.5     * 0.66532      = 0.83266        
246  Оценим вероятность того, что случайное занчение доходности при t=12  будет больше                    
247  чем доходность облигации                    
248  z=  ( 2.5400       - 1.73      )  / 2.6300     = 0.3080      
249  Для z= 0.3000     Ф(z)= 0.23681    Для z= 0.4000     Ф(z)= 0.3108      
250       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.3080         Ф(z)= 0.24272    
251  Вероятность того, что доходность будет больше  чем доходность облигации                    
252  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
253  0.5     + 0.5     * 0.24272      = 0.62136        
254  Акционерное общество В                    
255  Sy Sx ky kx rxy   Yp(12)   Хp(12)        
256  0.32 10.71 0.25 0.75 -0.23 1.73 4.96        
257                     Доля облигаций ky =       0.25                        Доля акций kx =     0.75    
258  Ожидаемая доходность равна                    
259  d=Y(11)*ky + X(11)*kx     =              
260  1.73     * 0.25     + 4.96       * 0.75           = 4.15    
261  Среднее квадратическое отклонение S=                    
262       КОРЕНЬ[ (Sy*ky)^2 + 2*kx*ky*rxy*Sx*Sy + (Sx*kx)^2 ] =             8.01      
263  Оценим вероятность положительного дохода                    
264  z=  ( 4.1500       - 0      )  / 8.0100     = 0.5181      
265  Для z= 0.5000     Ф(z)= 0.38291    Для z= 0.6000     Ф(z)= 0.4515      
266       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.5181         Ф(z)= 0.39533    
267  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
268  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
269  0.5     + 0.5     * 0.39533      = 0.69766        
270  Оценим вероятность того, что случайное занчение доходности при t=12  будет больше                    
271  чем доходность облигации                    
272  z=  ( 4.1500       - 1.73      )  / 8.0100     = 0.3021      
273  Для z= 0.3000     Ф(z)= 0.23681    Для z= 0.4000     Ф(z)= 0.3108      
274       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.30212         Ф(z)= 0.23838    
275  Вероятность того, что доходность будет больше  чем доходность облигации                    
276  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
277  0.5     + 0.5     * 0.23838      = 0.61919        

ПродолжЗадачи1

  A  B  C  D  E  F  G  H 
1  Решение оптимизационной задачи              
2            х1 х2  
3  бета1 = 0.733       0.329 0.671  
4  бета2 = 0.912       Целевая функция    
5            7.036    
6  Собств риск1    =   77.20267          
7  Собств риск2    =   29.13733     Ограничения
8 Дисперсия рынка =   38.51     х1+х2  = 1
9 Средняя доходность облигац =     2.75   1   1
10 Средняя доходность бумаги1 =     4.199    
11 Средняя доходность бумаги2 =     4.596   4.465 >= 2.75
12                

Реш.Задачи1

  A B C D E F G H I J K
1                      
2  Задача 1                    
3                       
4  t индекс  mf m1 mf-mfcp (mf-mfcp)^2 m1-m1cp (m1-m1cp)^2 (mf-mfcp)* (m1-m1cp) m1(t)  = e(t) e(t)^2
5 1 5.0 16 2.00 4.00 11.80 139.24 23.60 5.67 10.33 106.80
6 2 0.0 6 -3.00 9.00 1.80 3.24 -5.4 2.00 4.00 15.99
7 3 12.0 15 9.00 81.00 10.80 116.64 97.2 10.80 4.20 17.68
8 4 5.0 -3 2.00 4.00 -7.20 51.84 -14.40 5.67 -8.67 75.09
9 5 -4.6 -5 -7.60 57.76 -9.20 84.64 69.92 -1.37 -3.63 13.18
10 6 -8.9 -17 -11.90 141.61 -21.20 449.44 252.28 -4.52 -12.48 155.73
11 7 12.0 15 9.00 81.00 10.80 116.64 97.2 10.80 4.20 17.68
12 8 5.0 8 2.00 4.00 3.80 14.44 7.60 5.67 2.33 5.45
13 9 6.0 -5 3.00 9.00 -9.20 84.64 -27.6 6.40 -11.40 129.93
14 10 4.0 -4 1.00 1.00 -8.20 67.24 -8.20 4.93 -8.93 79.80
15 11 -3.0 5 -6.00 36.00 0.80 0.64 -4.8 -0.20 5.20 27.01
16 12 -7.0 14 -10.00 100.00 9.80 96.04 -98.00 -3.13 17.13 293.38
17 13 4.0 9 1.00 1.00 4.80 23.04 4.80 4.93 4.07 16.54
18 14 6.5 -6 3.50 12.25 -10.20 104.04 -35.70 6.76 -12.76 162.94
19 15 9.0 15 6.00 36.00 10.80 116.64 64.8 8.60 6.40 41.00
20 Сумма 45.0 63.0 0.0 577.62 0.00 1468.40 423.30 63.00 0.00 1158.19
21 Среднее значение 3.00 4.20 0.00 38.51 0.00 97.89 28.22 Собств.риск 77.213
22                      
23  Дисперсия рынка =   577.62     / 15        = 38.51        
24  бета1 = 423.3    /     15       / 38.51       = 0.733      
25  а01   = 4.20         - 0.733       * 3       = 2.00      
26  m1(t)  = 2.00     + 0.733      * mf(t)          
27  Средняя доходность бумаги1 =     4.20              
28                       
29                       
30  t индекс  mf m2 mf-mfcp (mf-mfcp)^2 m1-m1cp (m1-m1cp)^2 (mf-mfcp)* (m1-m1cp) m1(t)  = e(t) e(t)^2
31 1 5.0 6 2.00 4.00 1.40 1.96 2.80 6.42 -0.42 0.18
32 2 0.0 10 -3.00 9.00 5.40 29.16 -16.2 1.86 8.14 66.19
33 3 12.0 7 9.00 81.00 2.40 5.76 21.6 12.81 -5.81 33.72
34 4 5.0 6 2.00 4.00 1.40 1.96 2.80 6.42 -0.42 0.18
35 5 -4.6 -9 -7.60 57.76 -13.60 184.96 103.36 -2.33 -6.67 44.49
36 6 -8.9 -12 -11.90 141.61 -16.60 275.56 197.54 -6.25 -5.75 33.05
37 7 12.0 16 9.00 81.00 11.40 129.96 102.6 12.81 3.19 10.20
38 8 5.0 3 2.00 4.00 -1.60 2.56 -3.20 6.42 -3.42 11.72
39 9 6.0 9 3.00 9.00 4.40 19.36 13.2 7.34 1.66 2.77
40 10 4.0 2 1.00 1.00 -2.60 6.76 -2.60 5.51 -3.51 12.33
41 11 -3.0 -7 -6.00 36.00 -11.60 134.56 69.6 -0.87 -6.13 37.56
42 12 -7.0 8 -10.00 100.00 3.40 11.56 -34.00 -4.52 12.52 156.71
43 13 4.0 9 1.00 1.00 4.40 19.36 4.40 5.51 3.49 12.17
44 14 6.5 7 3.50 12.25 2.40 5.76 8.40 7.79 -0.79 0.63
45 15 9.0 14 6.00 36.00 9.40 88.36 56.4 10.07 3.93 15.44
46 Сумма 45.0 69.0 0.0 577.62 0.00 917.60 526.70 69.00 0.00 437.33
47 Среднее значение 3.00 4.60 0.00 38.51 0.00 61.17 35.11 Собств.риск 29.155
48                      
49  Дисперсия рынка =   577.62     / 15        = 38.51        
50  бета2 = 526.7    /     15       / 38.51       = 0.912      
51  а01   = 4.60         - 0.912       * 3       = 1.86      
52  m1(t)  = 1.86     + 0.912      * mf(t)          
53  Средняя доходность бумаги1 =     4.600              

Реш.Задачи2

  A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K 
1                       
2                       
3       Задача2                    
4  Имеются данные, которые представлены в виде временных рядов  за 10 кварталов                    
5  о доходности (в %) по облигациям Y(t) и по акциям X(t)                    
6  t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 Y(t) 2.11 2.16 2.34 2.44 2.4 1.89 1.94 1.72 1.75 2.01
8 X(t) 0.27 -3.08 -6.72 8.58 1.15 7.87 5.92 -3.1 13.61 -5.86
9 Акционерное общество А предполагает разместить           75 % своех ресурсов в облигациях и      
10  25 % - в акциях.                  
11  Акционерное общество В предполагает разместить           25 % своех ресурсов в облигациях и      
12  75 % - в акциях.                  
13  ТРЕБУЕТСЯ                    
14    1) определить возможную доходность каждого из акционерных обществ в 11 и 12 кварталах,                    
15  подобрав для этого для каждого временного ряда наилучшую аппроксимирующую кривую:                    
16    2) для  11 и 12 кварталов для каждого из акционерных обзеств определить вероятность получения                    
17    а) положительного дохода                  
18    б) дохода, превышающего доход по облигациям.                  
19  Решение                    
20    1.  Линейная   модель     имеет вид            
21                    1.0  
22                       
23                       
24        Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного                    
25  уравнения a1 и a0 по формулам 1.1-.1.4 :                    
26    Промежуточные вычисления значений переменных и математических выражений,                  
27  необходимых для расчетов по формулам 1.1-1.4 приведены в табл. 1.1                    
28  Таблица 1.1 Промежуточные вычисления, необходимые для оценки параметров модели                    
29                       
30  Таблица 1.1 Промежуточные вычисления, необходимые для оценки параметров модели                    
31  t Факт Отклон (t-tср)^2 Y(t)-Yср (t-tср)* Расч Отклон E(t)-Ecp    
32    Y(t) t-tср     (Y(t)-Yср) Yp(t) E(t) в квадр    
33  1 2 3 4 5 6 7 8 9    
34  1 2.11 -4.5 20.25 0.03 -0.153 2.318 -0.21 0.07    
35  2 2.16 -3.5 12.25 0.08 -0.294 2.264 -0.10 0.02    
36  3 2.34 -2.5 6.25 0.26 -0.66 2.211 0.13 0.01    
37  4 2.44 -1.5 2.25 0.36 -0.546 2.157 0.28 0.06    
38  5 2.40 -0.5 0.25 0.32 -0.162 2.103 0.30 0.06    
39  6 1.89 0.5 0.25 -0.19 -0.093 2.049 -0.16 0.04    
40  7 1.94 1.5 2.25 -0.14 -0.204 1.995 -0.06 0.01    
41  8 1.72 2.5 6.25 -0.36 -0.89 1.941 -0.22 0.07    
42  9 1.75 3.5 12.25 -0.33 -1.141 1.888 -0.14 0.03    
43  10 2.01 4.5 20.25 -0.07 -0.297 1.834 0.18 0.02    
44  55 20.76 0.00 82.50 -0.00 -4.44 20.76 0.00 0.39    
45  5.5 2.076 0         0.000      
46                       
47  Зная tcp и Ycp рассчитываем  графы 3-6 табл. 1.1 , а затем , используя значения                    
48  итоговой   строки стролбцов 4 и 6                    
49  по формулам 1.1 и 1.2 находим                    
50  a1= -4.44      / 82.50      = -0.054          
51  a0  = 2.08       -       ( -0.054      * 5.50 )      = 2.37      
52  Затем по формуле   рассчитываем значения Yр(t)  и заносим в столбец 7 табл.1.1                
53  а столбец 8 заполняем как разность  столбцов 2 и 7 - т.е. находим остаточную компоненту.                    
54  необходимую для определения среднего квадратического отклонения                    
55  Sy - CКОy     (средн. квадр. Отклонение от линии тренда) рассчитывают по формуле                    
56           Sy= корень[E(t)2 / (N-1)] =       0.39       / 9.00       = 0.04    
57  Точечный прогноз на k шагов вперед                    
58  Точечный прогноз на k шагов вперед делаем с использованием ф-лы 1.0, учитывая ,что                    
59  для одного шага     k=1, t=11 ,     а для   двух шагов   k=2, t=12      
60    Yp(11) = a0+a1*11   =     2.37        + -0.054 * 11 = 1.78  
61    Yp(12) = a0+a1*12   =     2.37        + -0.054 * 12 = 1.73  
62  Аналогично находим Xp(t)                    
63                       
64  Таблица 1.2 Промежуточные вычисления, необходимые для оценки параметров модели                    
65  t Факт Отклон (t-tср)^2 X(t)-Xср (t-tср)* Расч Отклон E(t)-Ecp    
66    X(t) t-tср     (X(t)-Xср) Xp(t) E(t) в квадр    
67  1 2 3 4 5 6 7 8 9    
68  1 0.27 -4.5 20.25 -1.59 7.17 -0.28 0.55 0.25    
69  2 -3.08 -3.5 12.25 -4.94 17.30 0.20 -3.28 11.07    
70  3 -6.72 -2.5 6.25 -8.58 21.46 0.67 -7.39 55.39    
71  4 8.58 -1.5 2.25 6.72 -10.07 1.15 7.43 54.49    
72  5 1.15 -0.5 0.25 -0.71 0.36 1.63 -0.48 0.27    
73  6 7.87 0.5 0.25 6.01 3.00 2.10 5.77 32.72    
74  7 5.92 1.5 2.25 4.06 6.08 2.58 3.34 10.85    
75  8 -3.10 2.5 6.25 -4.96 -12.41 3.05 -6.15 38.46    
76  9 13.61 3.5 12.25 11.75 41.11 3.53 10.08 100.66    
77  10 -5.86 4.5 20.25 -7.72 -34.76 4.00 -9.86 98.27    
78  55 18.64 0.00 82.50 0.00 39.25 18.64 0.00 402.43    
79  5.5 1.864 0         0.000      
80                       
81  Зная tcp и Ycp рассчитываем  графы 3-6 табл. 1.2 , а затем , используя значения                    
82  итоговой   строки стролбцов 4 и 6                    
83  по формулам 1.1 и 1.2 находим                    
84  a1= 39.25      / 82.50      = 0.476          
85  a0  = 1.86       -       ( 0.476      * 5.50 )      = -0.75      
86  Затем по формуле   рассчитываем значения Xр(t)  и заносим в столбец 7 табл.1.2                
87  а столбец 8 заполняем как разность  столбцов 2 и 7 - т.е. находим остаточную компоненту.                    
88  необходимую для определения среднего квадратического отклонения                    
89  Sy - CКОy     (средн. квадр. Отклонение от линии тренда) рассчитывают по формуле                    
90           Sy= корень[E(t)2 / (N-1)] =       402.43       / 9.00       = 44.71    
91  Точечный прогноз на k шагов вперед                    
92  Точечный прогноз на k шагов вперед делаем с использованием ф-лы 1.0, учитывая ,что                    
93  для одного шага     k=1, t=11 ,     а для   двух шагов   k=2, t=12      
94  Хp(11) = a0+a1*11   =     -0.75        + 0.476 * 11 = 4.48  
95    Чp(12) = a0+a1*12   =     -0.75        + 0.476 * 12 = 4.96  
96                       
97  Определим для t=11 СКО переменных X(t)  и  У(t) по формуле                    
98                       
99  где m - число ценных бумаг, в нашем случае = 2, N=10, k = 1                    
100                       
101  Найдем Sу11   и Sх11                
102  Sу11  = 1.28*1.21*0.04=     0.062     Sх11  = 1.28*1.21*44,71=     69.247  
103  Sу12  = 1.26*1.27*0.04=     0.061     Sх12  = 1.26*1.27*44,71=     68.165  
104                       
105  Рассчитаем коэффициент корреляции между X(t) и У(t)                    
106                       
107                       
108  Таблица 1.3   Расчет коэффициента корреляции                
109                       
110  Y(t)-Ycp X(t)-Xcp Y(t)-Ycp X(t)-Xcp (Y(t)-Ycp)*            
111      в квадр. в квадр. (X1(t)-X1cp)            
112  0.03 -1.59 0.00 2.54 -0.05            
113  0.08 -4.94 0.01 24.44 -0.42            
114  0.26 -8.58 0.07 73.69 -2.27            
115  0.36 6.72 0.13 45.10 2.44            
116  0.32 -0.71 0.10 0.51 -0.23            
117  -0.19 6.01 0.03 36.07 -1.12            
118  -0.14 4.06 0.02 16.45 -0.55            
119  -0.36 -4.96 0.13 24.64 1.77            
120  -0.33 11.75 0.11 137.97 -3.83            
121  -0.07 -7.72 0.00 59.66 0.51            
122      0.61 421.08 -3.74            
123                       
124                       
125  rx.y  = -3.74       /   ( 0.61       * 421.08 ) ^ 0.5 = -0.23      
126  Для решения задачи нам понадобится таблица значений интеграла вероятностей Ф(z),                    
127  более точные значения можно найти линейной экстраполяцией                    
128  z Ф(z) z Ф(z) z Ф(z)          
129  0.0 0.0000 1.0 0.6827 2.0 0.9643          
130  0.1 0.0797 1.1 0.7287 2.1 0.9722          
131  0.2 0.1585 1.2 0.7699 2.2 0.9786          
132  0.3 0.2368 1.3 0.8064 2.3 0.9836          
133  0.4 0.3108 1.4 0.8385 2.4 0.9876          
134  0.5 0.3829 1.5 0.8664 2.5 0.9907          
135  0.6 0.4515 1.6 0.8994 2.6 0.9931          
136  0.7 0.5161 1.7 0.9104 2.7 0.9949          
137  0.8 0.5763 1.8 0.9281 2.8 0.9963          
138  0.9 0.6319 1.9 0.9545 2.9 0.9973          
139                       
140  Для t = 11                    
141  Акционерное общество А                    
142  Sy Sx ky kx rxy   Yp(11)   Хp(11)        
143  0.061 68.165 0.75 0.25 -0.23 1.78 4.48        
144                     Доля облигаций ky =       0.75                        Доля акций kx =     0.25    
145  Ожидаемая доходность равна                    
146  d=Y(11)*ky + X(11)*kx     =              
147  1.78     * 0.75     + 4.48       * 0.25           = 2.45517    
148  Среднее квадратическое отклонение S=                    
149       КОРЕНЬ[ (Sy*ky)^2 + 2*kx*ky*rxy*Sx*Sy + (Sx*kx)^2 ] =             2.55      
150  Оценим вероятность положительного дохода                    
151  z=  ( 2.4552       - 0      )  / 2.5500     = 0.9628      
152  Для z= 0.9000 Ф(z)= 0.6319    Для z= 1.0000   Ф(z)= 0.6827      
153       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.9628   Ф(z )= 0.66382    
154  Пример линейной экстраполяции                    
155  Допустим z=   1.06991                
156  Для z= 1.0000 Ф(1.0)= 0.68271    Для z= 1.1000   Ф(1.1)= 0.72871      
157  Следовательно Ф(1.06991)=Ф(1.0)+(Ф(1.1)-Ф(1.0))*(1.06991-1.0)/(1.1-1.0)=                    
158      = 0.6827      + 0.0460          * 0.06991          / 0.1000      = 0.71487  
159  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
160  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
161  0.5     + 0.5     * 0.66382      = 0.83191        
162  Оценим вероятность того, что случайное занчение доходности при t=11  будет больше                    
163  чем доходность облигации                    
164  z=  ( 2.4552       - 1.78      )  / 2.5500     = 0.2648      
165  Для z= 0.2000     Ф(z)= 0.1585    Для z= 0.3000     Ф(z)= 0.2368      
166       Линейной экстраполяцией находим, что для z=           0.2648         Ф(z)= 0.20922    
167  Вероятность того, что доходность будет больше 0                    
168  P(d>0)=0.5+0.5*Ф(z)=                    
169  0.5     + 0.5     * 0.20922      = 0.60461        

Реш.Оптим

  A  B  C  D  E  F  G  H 
1                 
2                 
3                 
4                 
5                 
6                 
7                 
8                 
9                 
10                 
11                 
12                 
13                 
14                 
15  Решение оптимизационной задачи              
16            х1 х2  
17  бета1 = 0.73283       0.329 0.671  
18  бета2 = 0.912       Целевая функция    
19            7.036    
20  Собств риск1    =   77.21274          
21  Собств риск2    =   29.15541     Ограничения
22 Дисперсия рынка =   38.51     х1+х2  = 1
23 Средняя доходность облигац =     2.75   1   1
24 Средняя доходность бумаги1 =     4.20    
25 Средняя доходность бумаги2 =     4.6   4.468 >= 2.75
26                

Лист

  A B C D E F G H I J K
1                      
2                       
3  t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4 Y(t) 2.85 1.88 1.90 2.00 2.22 2.11 2.16 2.34 2.44 2.40
5 X(t) 14.14 24.96 3.71 10.65 -0.22 0.27 -3.08 -6.72 8.58 1.15
6                      
7  t Факт Отклон (t-tср)^2 Y(t)-Yср (t-tср)* Расч Отклон E(t)-Ecp    
8    Y(t) t-tср     (Y(t)-Yср) Yp(t) E(t) в квадр    
9  1 2 3 4 5 6 7 8 9    
10  1 2.85 -4.50 20.25 0.62 -2.79          
11  2 1.88 -3.50 12.25 -0.35 1.23          
12  3 1.90 -2.50 6.25 -0.33 0.83          
13  4 2.00 -1.50 2.25 -0.23 0.35          
14  5 2.22 -0.50 0.25 -0.01 0.01          
15  6 2.11 0.50 0.25 -0.12 -0.06          
16  7 2.16 1.50 2.25 -0.07 -0.11          
17  8 2.34 2.50 6.25 0.11 0.28          
18  9 2.44 3.50 12.25 0.21 0.74          
19  10 2.40 4.50 20.25 0.17 0.77          
20  55 22.30 0.00 82.50 0.00 1.22          
21                       
22                       
23                       
24      tcp= 5.5        Ycp  = 2.23            
25                       
26  a1= 0.01479