Оценка и анализ рисков. 3

    ОЦЕНКА  И АНАЛИЗ РИСКОВ 
 

    Половников  

    Тема  один под номером два.

    Количественные  характеристики и  схемы оценки рисков в условиях полной неопределенности. 

1. Анализ  связанных решений в условиях полной неопределенности.
2. Оптимальность по Парето.

    Анализ  связанных решений в условиях полной неопределенности 

    При принятии решений в условиях ограниченности или неточности информации могут возникнуть два варианта:

1. Выбор решений при неопределенности, когда то или иное действие, или несколько действий, имеют своим следствием множество частных исходов, но вероятности этих исходов либо неизвестны, либо не имеют смысла. Т.е. решения принимаются в условиях полной неопределенности.
2. Выбор решения при риске, когда каждое действие приводит к одному из множества частных исходов, но каждый исход имеет вычисляемую, либо экспертно оцениваемую вероятность появления.

    Рассмотрим, какие существуют правила (рекомендации) при принятии решения по первому  варианту, т.е. в условиях полной неопределенности.

    Пример 1.

    Рассмотрим  три операции, каждая из которых имеет два исхода А и В. Эти исходы характеризуют доходы, которые может получать ЛПР (лицо, принимающее решение) – инвестор. Операции обозначим Q1, Q2, Q3.

      Все три операции считаются рискованными. Третья операция считается рискованной, т.к. инвестор может недополучить в случае исхода А. Т.е. доход 15 рассматривается как неудача.

    Рассмотрим  такую задачу в общем виде. Предположим, что рассматриваются m возможных операций. Каждую задачу обозначим через i.

    В каждом решении может быть реализовано  n вариантов. Каждый вариант обозначим через j.

    Если  инвестор примет i-тое решение, и при этом будет реализован j-тый вариант, то он получит доход, равный qij. Матрица qij называется матрицей последствий, или матрицей возможных решений.

    Спрашивается, как оценить риск в данной схеме.  

    Предположим, что мы хотим оценить риск, который  несет i-тое решение. При этом нам неизвестна реальная ситуация, но если бы мы ее знали, то выбрали бы решение, приносящее максимальный доход.

    Если  ситуация j-тая, то было бы принято решение, дающее доход qj = max qij, следовательно, принимая i-тое решение, мы рискуем получить не qj, а только qij. Следовательно, принятие i-того решения несет риск недобрать величину rij = qj-qij.

    Матрица R, составленная из значений rij, называется матрицей рисков.  
 

    Пример  другой (более такой..). Менее абстрактный. 

    Предположим, что инвестор намерен инвестировать 100 000 руб. сроком на один год. Альтернативные варианты инвестиций и возможные состояния экономики приведены в таблице.

    На  основании таблицы можно составить  матрицу последствий: 

    Наименее  рискованным является проект 2! 
 

    Рассмотрим  критерии или правила по принятию решений в ситуациях, когда отсутствует информация о возможности наступления того или иного варианта решения.

1. Критерий максимакса (крайнего, или розового оптимизма). По этому критерию наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш, равный MAXi(MAXj qij). Т.е. рассматривая i-тое решение предполагают самую хорошую, т.е. приносящую наибольший доход, ситуацию. Ai=max j qij. Для нашего примера а1 = 8, а2 = 12, а3 = 15, а4 = 26. Самый хороший вариант – 26.
2. Критерий, или правило Вальда. Его еще называют правило крайнего пессимизма, или максиминный критерий. При рассмотрении i-того решения предполагается, что ситуация будет самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход. Ai = min j qij. Далее выбирается решение ai0 с наибольшим значением аi. Ai0 = max i ai. A1=8, a2=8, a3=-3, a4=-2. Либо государственные облигации, либо в корпоративные ценные бумаги.
3. Правило Гуровица (альфа-критерий). Взвешивается пессимистический и оптимистический подходы к ситуациям. Принимается решение i , на котором достигается максимум следующего выражения: {α min j qij +(1- α )max j qij} Если альфа приближается к единице, то правило приближается к правилу Вальда, и если к нулю – то к правилу розового оптимизма. Пусть альфа равно 0,5. а1=8, а2=10, а3=8, а4=12. Лучший вариант – четвертый.
4. Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При использовании этого правила анализируется матрица рисков R. При рассмотрении i-того решения предполагается, что складывается ситуация максимального риска. Bi = max rij. Далее выбирается решение с наименьшим bi. Bi0=min i (max j rij). B1=18,b2=18,b3=15,b4=14. Принимается четвертое решение.

    Оптимальность по Парето 

    Принимается в условиях частичной неопределенности, когда для каждого решения  имеются две характеристики –  средний ожидаемый доход и  средний ожидаемый риск. Т.е. должна решаться оптимизационная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения.

    Рассмотрим  такую задачу в общем виде.

    Пусть А суть некоторое множество операций, причем каждая операция а имеет две  числовые характеристики Е(а) и r(a). Это эффективность (или максимальный доход) и риск. Причем все операции отличаются друг от друга хотя бы одной характеристикой. В нашем случае при выборе лучшей операции целесообразно, чтобы E(a) была как можно больше и r(a) как можно меньше.

    Будем считать, что операция а доминирует операцию b, a>b, если E(a)>=E(b) и r(a)<=r(b), и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Тогда операция а называется доминирующей, а операция b – доминируемой.

    Очевидно, что доминируемая операция ни при  каких обстоятельствах не может быть лучше. Таким образом, наилучшую операцию надо искать среди доминирующих операций. Множество таких операций называется множеством Парето, или множеством оптимальностей по Парето.

    Существует  утверждение, что на множестве Парето каждая из характеристик (Е и r) – одназначная функция другой. Если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике однозначно можно определить другую. Например, пусть а и b –операции из множества Парето. Тогда r(a) и r(b) это какие-то числа . Предположим, что r(a)<=r(b). Тогда E(a) не может быть равно E(b), поскольку обе точки a и b принадлежат множеству Парето.  

    Дадим каждому возможному состоянию экономики  какую-то вероятность

    С учетом этих вероятностей посчитаем ожидаемый доход и ожидаемый риск. 

    Решение по Парето можно получить либо графически, либо аналитически.

    При графическом решении каждую операцию отмечают как точку на плоскости. Оси – средний риск и средний доход. 
 
 
 
 

    Чем выше точка, тем более доходной является операция. И чем она правее, тем  более рисковая. Следовательно, точку  надо выбирать выше и левее. У нас  множество Парето состоит из одной  точки 4, потому что эта точка доминирует над всеми остальными.

    Аналитическим путем среднему ожидаемому доходу и  среднему ожидаемому риску присваиваются  определенные веса. В результате каждое решение будет иметь одну величину, одну характеристику, по которой и  определяется наилучшая операция.

    Например, F(Q) = 2Qср-Rср.  

    Правило Лапласа (правило равновозможности).

    Данное  правило  применяют в условиях полной неопределенности, т.е. когда  все вероятности исходов считают  равными. Для выбора решения в  этом случае применяют либо правило максимизации среднего ожидаемого дохода, либо правило минимизации среднего ожидаемого риска. 
 
 
 

    Вторая  тема. Вообще по номеру она третья. Дышите глубже. 

    Измерители  и показатели финансовых рисков в условиях частичной неопределенности. 

1. Общеметодические  подходы к количественной оценке риска.
2. Универсальные, или общие критерии оценки рисков.
3. Специализированные критерии оценки рисков.

Будут рассмотрены критерии и методы принятия решения для случаев, когда предполагается, что распределение вероятностей возможных исходов либо известно, либо может быть определено. В последнем случае не всегда необходимо задавать в явном виде плотность распределения.  

    Общеметодические  подходы к количественной оценке риска 

    Поскольку риск – категория вероятностная, методы его количественной оценки базируются на фундаментальных понятиях теории вероятности и математической статистики.

    Главными  инструментами статистического  метода являются:

1. Математическое ожидание. В нашем случае такой случайной величины, как результат финансовой операции. μ = E(K)
2. Дисперсия – характеристика степени вариации значения случайной величины К вокруг центра группирования μ.
3. Стандартное отклонение. Квадратный корень из дисперсии.
4. Коэффициент вариации. Стандартное отклонение / μ. Характеризует риск, приходящийся на единицу среднего дохода.
5. Полудисперсия.

    Поскольку совокупности, по которым определяются все перечисленные характеристики небольшие, то речь может идти не об их истинных значениях, а лишь об их оценках. Таким образом, средним ожидаемым значением выборки, или выборочным аналогом математического ожидания является величина К’=Сумм(Кi Pi), где Pi  - вероятность реализации случайной величины K. Если все значения Ki равновероятны, то ожидаемое значение выборки вычисляется K’ = Сумм(Ki)/n

    Аналогичным образом дисперсию выборки рассчитывают по формуле σ2k = Сумм(Pi(Ki-K’)²)

    Дисперсия, вычисляемая по этой формуле, дает смещенную  оценку. Несмещенная оценка Sk² = Сумм(Ki-K’)²/n-1

    Коэффициент вариации CV = Sk/K’ 

    Универсальные, или общие критерии оценки рисков 

    Принятие  решений в условиях риска чаще всего основывается на одном из следующих  критериев:

1. Ожидаемого значения K’. Под ним понимается доходность, прибыль или расходы.
2. Комбинации ожидаемого значения K’ с дисперсией, либо средним квадратическим отклонением, или с полудисперсией.

    Критерий  ожидаемого значения.

    Использование данного критерия обусловлено стремлением  максимизировать ожидаемую прибыль  или минимизировать ожидаемые затраты. Количественно этот критерий можно  выразить в денежных единицах или  в единицах полезности денег.

    Предположим, что инвестиции в 2 000 руб. дают с равными  вероятностями либо нулевой доход, либо доход в 10 000 руб. В денежных единицах чистый доход составит K’ = 0,5 0 + 0,5 10 000 – 2 000 = 3 000. Подобное вложение денег на первый взгляд кажется оптимальным. В то же время такое решение приемлемо не для всех инвесторов. Например, для инвестора А, имеющего ограниченные средства, потеря 2 000 может привести к банкротству. И, напротив, инвестор Б, капитал которого значительно превосходит данную сумму, может пойти на такой риск.

    Таким образом, этот пример показывает отношение  инвестора к ценности или полезности денег. Следовательно, полезность необязательно  пропорциональна массе денег.

    На  практике влияние полезности может  быть выражено с помощью дополнительных ограничений, например, путем введения максимально уровня потерь в рублях, на который согласен пойти инвестор. Иными словами, нецелесообразно использовать ожидаемые значения стоимостного выражения в качестве единственного критерия для принятия решений.

    Данный  критерий служит только ориентиром. Окончательное  же решение принимается инвестором с учетом других существенных факторов, в том числе и его отношения  к полезности денег.

    Использование данного критерия целесообразно лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз. Если же какое то решение приходится принимать эпизодически, то использовать данный критерий нецелесообразно.

    Возвращаясь к нашему примеру можно сказать, что по государственным облигациям доходность 8% имеет вероятность 1. Все остальные вложения связаны с риском.

      Распределение значений доходности проекта 2 симметрично, а проект 1 имеет левостороннюю асимметрию.  

    Критерий  комбинации ожидаемого значения с дисперсией, или среднеквадратическим отклонением, или с полудисперсией.

    Данный  критерий можно использовать для  принятия решений в редко повторяющихся  ситуациях. Использования дисперсии, или среднего квадратического отклонения ожидаемого дохода в финансовых операциях  на сегодняшний день является одной из главных оценок рискованной операции. Т.е. количественной оценкой меры риска.

    Рассмотрим  пример.

    Рассчитаем  для каждого проекта ожидаемую  среднюю норму доходности.

    По  обоим проектам ожидаемая доходность – 20%.

    Диапазон  возможных норм доходности значительно  различается. У проекта А от -50 до +90, у В – от 15 до 25.

    Рассчитаем  дисперсию и среднеквадратическое отклонение для каждого проекта.

    S²a = 2450,25

    S²b = 12,25

    Sa = 43,5

    Sb = 3,5

    В случае нормального распределения  вероятность попадания в пределы  K’+-S составляет 68,26%. Таким образом для проекта А с вероятностью 68,26 можно получить доходность от -29,5 до 9,5, а для проекта В от 16,5 до 23,5. Проект А является более рисковым.

    Из  статистики финансовых операций получено, что средней рисковой операции соответствует  значение стандартного отклонения не более 30%. 

    Полудисперсия.

    Анализируя  риск, логично сосредоточиться на вероятностях тех значений доходности, которые меньше ожидаемого значения. Если распределение является симметричным, то дисперсия и среднеквадратическое отклонение будут точно измерять риск получения доходности ниже ожидаемого значения, которое составляет половину общего риска. Однако, если распределение ассиметрично, то эти показатели неверно отражают действительный риск.

    Если  распределение обладает правосторонней асимметрией, то дисперсия и среднеквадратическое отклонение завышают риск получения доходности ниже ожидаемого значения.

    Если  левостороннее – то занижают.

    Статистической  характеристикой, устраняющей эти  искажения, является полудисперсия. Она  рассчитывается: SV = Сумм от 1 до m(Ki – K’)²Pi

    m – множество исходов, которые лежат ниже ожидаемого значения.

    Для нашего примера полудисперсия:

    Для государственных бумаг SV=0

    Корпоративные бумаги SV=0,19

    Для проекта 1 SV=12,54

    Для проекта 2 SV= 11,6 

    Полудисперсия проекта 1 составляет более половины дисперсии, поскольку распределение его доходности имеет левостороннюю асимметрию и его дисперсия занижает риск получения доходности ниже ожидаемого значения.

    Полудисперсия корпоративных бумаг меньше половины дисперсии, поскольку распределение  доходности имеет правостороннюю асимметрию и его дисперсия завышает рис получения доходности ниже ожидаемого значения.  

      Специализированные критерии оценки рисков. 

    Риск  разорения.

    Так называется вероятность столь больших  потерь, которые инвестор не может  компенсировать и которые приводят к его разорению.

    Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения:

    Потери  в 35 единиц и более ведут к разорению  инвестора.

    Следовательно, риск разорения инвестора в результате данной операции равен 0,8.  

    Показатели  риска в виде отношений.

    Если  средства инвестора равны (с), то при  превышении убытков (у) над средствами возникает реальный риск разорения. Для предотвращения разорения отношение  к1=у/с, это отношение еще называют коэффициентом разорения, ограничивают каким-то числом Е1.

    Операции, для которых этот коэффициент  превышает Е1, считают особо рискованными. При вычислении такого коэффициента часто учитывают вероятности убытков. И в этом случае рассматривается коэффициент к2=Ру/с. Р – вероятность убытка. Этот коэффициент также ограничивают величиной Е2, Е2<=Е1.

    В финансовом менеджменте чаще применяют  обратное отношение – с/у, с/Ру (1/к1, 1/к2). Эти коэффициенты называют коэффициентами покрытия рисков. К ним относится  часто употребляемый коэффициент Кука. Он равен отношению собственные средства / активы, взвешенные с учетом риска.  

    Кредитный риск.

    Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита.

    Пример.

    Статистика запросов кредитов в банке следующая: 10% - государственные органы, 30% - другие коммерческие банки и остальные 60% - физические лица. Вероятность невозврата взятого кредита такова: государственными органами – 0,01, коммерческими банками – 0,05, физическими лицами – 0,2.

    Требуется определить вероятность невозврата очередного запроса на кредит.

    Р(А) = 0,1*0,01+0,3*0,05+0,6*0,2=0,136 

    В реальной действительности вероятности  невозврата определяют по частоте невозврата кредита для соответствующей  группы клиентов.  

    Депозитный  риск.

    Так называется вероятность досрочного отзыва депозита. Причем массовый отток депозитов вполне может привести к банкротству банка.

    В общем случае депозитный риск зависит  от длины анализируемого периода, частоты  изъятия вкладов и ряда других обстоятельств. Если в банке много  мелких клиентов и вероятность отзыва депозитов для каждого из них примерно одна и та же, тогда вероятность отзыва за определенный срок можно определять по формуле Муавра-Лапласа. Эта вероятность равна:  Р(К1<=K<=K2)≈Ф[K2-np/SQRT(npq)]-Ф[K1-np/SQRT(npq)]

    N – число клиентов

    P – вероятность отзыва

    Q=1-P

    K1,K2 – границы числа отзываемых вкладов

    Ф – функция Лапласа.  
 

    Тема 4.

    Задачи  формирования портфелей  ценных бумаг. 

1. Основные  характеристики портфеля ценных бумаг
2. Диверсификация портфеля
3. Постановка задачи об оптимальном портфеле.
4. Формирование оптимального портфеля с использованием ведущего фактора финансового рынка.

    Основные  характеристики портфеля ценных бумаг 

    В 1952 году американский ученый Марковиц опубликовал работу, которая положила начала теории формирования портфеля. Он предположил, что инвестор в какой-то момент времени tо должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг. Эти бумаги будут находиться в его портфеле до момента t1. Поскольку портфель представляет собой набор различных ценных бумаг, то это решение эквивалентно выбору оптимального портфеля из возможного набора портфелей. Поэтому такую задачу часто называют проблемой выбора инвестиционного портфеля. Принимая решение в момент времени tо, инвестор точно не знает, чему будет равна доходность ценных бумаг, а следовательно и портфеля в целом. В то же время он может оценить ожидаемую, или среднюю доходность каждой ценной бумаги и затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью.