Парная регрессионная модель

Задание для типового расчёта  №1 по дисциплине  «Эконометрика»,

выполняемой по теме:

« Парная регрессионная  модель» 

  1. Подобрать исходя из теоретических представлений  о взаимосвязи между исследуемыми экономическими величинами зависимую  переменную и влияющий на неё факторный признак;
  2. Построить линейную, показательную, степенную и гиперболическую модели зависимости одного экономического показателя от другого. Выбрать из этих моделей наилучшую.
  3. Проверить качество построенной модели (оценить стат. значимость коэффициентов и дать им экономическую интерпретацию, оценить стат. значимость показателя тесноты связи,  определить точность модели). Сделать вывод о влиянии факторов на результативный показатель.
 

 

  1. По территории Российской Федерации (Сибирский федеральный округ) приводятся данные за 2011 год.
 
Район 1Среднедушевой прожиточный 
минимум в месяц, тыс.руб.,(x)		 1Средний размер назначенных ежемесячных пенсии, тыс. руб., (y)
  1. Республика Алтай
 6,299 7,517
  1. Алтайский край
 6,501 7,746
  1. Томская область
 7,175 7,737
  1. Красноярский край
 7,689 8,145
  1. Кемеровская область
 5,144 8,265
  1. Новосибирская область
 7,24 8,118
  1. Иркутская область
 6,581 9,068
  1. Республика Бурятия
 6,774 8,256
  1. Забайкальский край
 6,664 8,143
  1. Республика Хакасия
 6,505 8,139
 

1. http://gks.ru:8080/DDB/showcharts.jsp?report=UR000_1p&project=BIPortal_cen_2.bip (статистические данные Росстат)

 

Линейная  модель

      Для расчета параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно а и b: 

 

      По  исходным данным рассчитываем: среднее  значение ,среднее значение , дисперсию для х и у, ковариация (х; у), коэффициент корреляции. 

                                                     

Исходные  данные Полученные  данные
№ (x)  (y) х*у х^2 у^2
1 6,299 7,517 47,350 39,677 56,505
2 6,501 7,746 50,357 42,263 60,001
3 7,175 7,737 55,513 51,481 59,861
4 7,689 8,145 62,627 59,121 66,341
5 5,144 8,265 42,515 26,461 68,310
6 7,24 8,118 58,774 52,418 65,902
7 6,581 9,068 59,677 43,310 82,229
8 6,774 8,256 55,926 45,887 68,162
9 6,664 8,143 54,265 44,409 66,308
10 6,505 8,139 52,944 42,315 66,243
           
    Х сред.= 6,657    
    У сред.= 8,113    
    (х*у) сред.= 53,995    
    (Х^2) сред= 44,734    
    (У^2) сред.= 65,986    
           
    δ^2(х)=  0,4158     
    δ^2(у)=  0,1589     
           
  в= -0,0428       
  а= 8,3981       
           
R (корреляции)= -0,069     
R^2(детерминация)= 0,005    

             

Уравнение регрессии  .

      Параметр  регрессии позволяет сделать  вывод, что с увеличением среднедушевого прожиточного минимума среднее значение пенсии за месяц уменьшается на  на 0,05процетных пункта.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции |-0.069|=0.069<0.35 – зависимость слабая.

Коэффициент детерминации(r^2)=0,005 –получается, что наш результат меняется на 0,5% под воздействием х.

 

Подставляя в  уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчётные) значения.

          

(x)  (y) У^ Y - У^ |Y - У^| |(Y - Y^)/Y|*100%
6,2990 7,5170 8,1287 -0,6117 0,6117 8,1378
6,5010 7,7460 8,1201 -0,3741 0,3741 4,8293
7,1750 7,7370 8,0913 -0,3543 0,3543 4,5788
7,6890 8,1450 8,0693 0,0757 0,0757 0,9297
5,1440 8,2650 8,1781 0,0869 0,0869 1,0514
7,2400 8,1180 8,0885 0,0295 0,0295 0,3636
6,5810 9,0680 8,1167 0,9513 0,9513 10,4912
6,7740 8,2560 8,1084 0,1476 0,1476 1,7877
6,6640 8,1430 8,1131 0,0299 0,0299 0,3671
6,5050 8,1390 8,1199 0,0191 0,0191 0,2346
           
      сумма = 30,3817
           
    ср.ошибка аппроксим 3,038
        fфакт 0,0192
        fтабл 5,32
 

Найдём величину средней ошибки аппроксимации =3,04 

- допустима, т.к. не превышает  10%

F факт=0,019 , F табл.=5,32, F факт<F табл. –статистически значения не имеет. 

Полученное значение указывает на необходимость принять  гипотезу Н0 о случайной природе  выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения  и показателя тесноты связи.

 

 

Степенная модель

Строим аналогичным образом  степенную модель , проведя процедуру линеаризации переменных.

                    ;

                        ,

где

Рассчитаем С  и b:

x y   X Y XY X^2 Y^2
6,299 7,517   0,7993 0,8760 0,7002 0,6388 0,7675
6,501 7,746   0,8130 0,8891 0,7228 0,6609 0,7905
7,175 7,737   0,8558 0,8886 0,7605 0,7324 0,7896
7,689 8,145   0,8859 0,9109 0,8069 0,7848 0,8297
5,144 8,265   0,7113 0,9172 0,6524 0,5059 0,8413
7,24 8,118   0,8597 0,9094 0,7819 0,7392 0,8271
6,581 9,068   0,8183 0,9575 0,7835 0,6696 0,9168
6,774 8,256   0,8308 0,9168 0,7617 0,6903 0,8405
6,664 8,143   0,8237 0,9108 0,7502 0,6785 0,8295
6,505 8,139   0,8132 0,9106 0,7405 0,6614 0,8291
               
66,5720 81,1340 сумма 8,2111 9,0869 7,4607 6,7619 8,2616
6,6572 8,1134 ср.зн. 0,8211 0,9087 0,7461 0,6762 0,8262
               
    диспер= 0,0020        
    b= -0,0336        
    a= 0,9363        

Выполнив его  потенцирование, получим

.

 Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоретические значения результата .

y-y ср y-y ср в кв x y y=модель y-y^ |y-y^|  
6,6083 43,6697 6,299 7,517 8,1176 -0,6006 0,6006 7,9895
6,8373 46,7488 6,501 7,746 8,1176 -0,3716 0,3716 4,7969
6,8283 46,6258 7,175 7,737 8,1090 -0,3720 0,3720 4,8075
7,2363 52,3642 7,689 8,145 8,0821 0,0629 0,0629 0,7724
7,3563 54,1153 5,144 8,265 8,0633 0,2017 0,2017 2,4404
7,2093 51,9741 7,24 8,118 8,1731 -0,0551 0,0551 0,6784
8,1593 66,5743 6,581 9,068 8,0796 0,9884 0,9884 10,8994
7,3473 53,9829 6,774 8,256 8,1056 0,1504 0,1504 1,8215
7,2343 52,3352 6,664 8,143 8,0977 0,0453 0,0453 0,5558
7,2303 52,2774 6,505 8,139 8,1022 0,0368 0,0368 0,4521
               
сумма 520,6677   81,1340     сумма 35,2139
      8,1134     А 3,5214
               
               
инд.корр= 0,9984          
кооф.детерм= 0,9968          
  F факт 1230,0673          
 
 

 По ним  рассчитаем показатели: тесноты  связи – индекс корреляции  и среднюю ошибку аппроксимации :

                  ,

Индекс корреляции, так же как и в линейной модели показывает сильную зависимость. 

Характеристики  степенной модели указывают, что  она несколько лучшее линейной функции описывает зависимость.

- допустима, т.к. не превышает  10%

, F факт<F табл. –статистически значения не имеет. 
 

 

 

Показательная модель.

x y   X Y Y*x
6,299 7,517   0,7993 0,8760 5,5182
6,501 7,746   0,8130 0,8891 5,7799
7,175 7,737   0,8558 0,8886 6,3755
7,689 8,145   0,8859 0,9109 7,0038
5,144 8,265   0,7113 0,9172 4,7183
7,24 8,118   0,8597 0,9094 6,5844
6,581 9,068   0,8183 0,9575 6,3014
6,774 8,256   0,8308 0,9168 6,2102
6,664 8,143   0,8237 0,9108 6,0695
6,505 8,139   0,8132 0,9106 5,9233
           
66,5720 81,1340 сумма 8,2111 9,0869 60,4845
6,6572 8,1134 ср.зн 0,8211 0,9087 6,0484
           
    дисп 1,4388 0,4217  
    b -0,0006    
    a 0,9128    
           
           
  инд.корр 0,0409    
  коэфф детерм 0,0017    
 

Из найденных  значений запишем показательную  модель 
 

x y y^ y-y^ |y-y^| |(y-y^)/y|*100
6,299 7,5170 8,1080 -0,5910 0,5910 7,8622
6,501 7,7460 8,1057 -0,3597 0,3597 4,6432
7,175 7,7370 8,0979 -0,3609 0,3609 4,6640
7,689 8,1450 8,0919 0,0531 0,0531 0,6519
5,144 8,2650 8,1214 0,1436 0,1436 1,7373
7,24 8,1180 8,0971 0,0209 0,0209 0,2575
6,581 9,0680 8,1047 0,9633 0,9633 10,6227
6,774 8,2560 8,1025 0,1535 0,1535 1,8593
6,664 8,1430 8,1038 0,0392 0,0392 0,4817
6,505 8,1390 8,1056 0,0334 0,0334 0,4102
           
         сумма 33,1900
         A 3,0173
         F крит 0,0067

 Связь слабая, зависимость обратная.

Показательная функция чуть лучше, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

 

Гиперболическая модель.

Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: . Тогда

Значения параметров a и b  составили:            

                           

             (x)    (y) z y*z z^2
  6,299 7,517  0,1588  1,1934  0,0252
  6,501 7,746  0,1538  1,1915  0,0237
  7,175 7,737  0,1394  1,0783  0,0194
  7,689 8,145  0,1301  1,0593  0,0169
  5,144 8,265  0,1944  1,6067  0,0378
  7,24 8,118  0,1381  1,1213  0,0191
  6,581 9,068  0,1520  1,3779  0,0231
  6,774 8,256  0,1476  1,2188  0,0218
  6,664 8,143  0,1501  1,2219  0,0225
  6,505 8,139  0,1537  1,2512  0,0236
              
сумма 66,5720 81,1340  1,5179  12,3203  0,2331
ср.знач 6,6572 8,1134  0,1518  1,2320  0,0233
диспер   дисперс z  0,0003      
    b  1,8636      
    a  7,8305      
    инд.кор  0,0769      

Из найденных  значений запишем гиперболическую  модель

           (x)    (y) y^ y-y^ |y-y^|  
6,299 7,517 8,1264 0,6094 0,6094 8,11%
6,501 7,746 8,1172 0,3712 0,3712 4,79%
7,175 7,737 8,0903 0,3533 0,3533 4,57%
7,689 8,145 8,0729 -0,0721 0,0721 0,89%
5,144 8,265 8,1928 -0,0722 0,0722 0,87%
7,24 8,118 8,0879 -0,0301 0,0301 0,37%
6,581 9,068 8,1137 -0,9543 0,9543 10,52%
6,774 8,256 8,1056 -0,1504 0,1504 1,82%
6,664 8,143 8,1102 -0,0328 0,0328 0,40%
6,505 8,139 8,1170 -0,0220 0,0220 0,27%
          32,61%
           
        A= 3,26%
        F= 0,0208
 

Связь слабая, зависимость  прямая.

      Следовательно принимается гипотеза Н0  о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений 

 
 

Результирующая  таблица 

модель А(ош.кор) R/P F
линейная 3,0400 -0,0690 0,0192
степенная 3,5214 0,9980 1,2300
показательная 3,0200 0,0409 0,0670
гиперболическая 3,2600 0,0679 0,0208
 

      В каждой модели индекс корреляции имеет  слабую зависимость, но в степенной модели получена наибольшая оценка тесноты связи.

      F кр < F табл в каждой модели, следовательно принимается гипотеза   о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

        в каждой модели все  остаются на допустимом уровне.

     Сравнивая полученные ошибки аппроксимации и построенные графики можно увидеть, что ни одна из полученных моделей не характеризует зависимость наилучшим образом. Также можно выбрать степенную модель, т.к. у нее самый высокий F-критерий Фишера

Парная регрессионная модель