Парная регрессия и корреляция. 5

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И  КОРРЕЛЯЦИЯ

Задача 1. По территориям региона приводятся данные за 200X г.

Требуется:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной для линейной, гиперболической парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции, детерминации.

4. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи прожиточного минимума x со значением заработной платы y .

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F – критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4,5,6, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

8. Рассчитайте прогнозное значение заработной платы y , если прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума x увеличится на 10 % от его среднего значения.

9. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05.

10. Оцените полученные результаты, сделайте выводы.

Цель работы - овладеть навыками определения параметров линейной регрессии и корреляции с использованием формул и табличного процессора MS Excel.

Рисунок 1 - Поле корреляции

Линейная модель парной регрессии и корреляции: ŷ = a₀ + a₁∙ x.

Таблица 1 Расчет показателей  парной линейной регрессии и корреляции

Решим систему по формуле:

Система нормальных уравнений  составит:

12 ∙ a₀ + a₁∙ 1030 = 1699

a₀ ∙ 1030 + a₁∙ 89896 =  147240

Параметры уравнения  определяются  по следующим формулам:

a₀ = y - a₁ ∙ x; a₁ = (y ∙ x)/(x² - (x)²)

Получим: a₁ = 0,947; a₀ = 60,279.

Уравнение линейной регрессии  имеет вид: ŷ = 60,279 + 0,947 ∙ x.

Величина коэффициента регрессии a₁ = 0,947 означает, что с ростом среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличится в среднем на 0,947 руб.

Линейный коэффициент  парной корреляции: r_xy = σ_x/σ_y.

Показатель тесноты  связи = 0,838. (коэффициент корреляции > 0,7, значит связь сильная (выше средней)).

Коэффициент детерминации: r²_xy = 1- σ²_ост./σ²_y = 0,702.

Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 70,2% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 29,8% от вариации приходится влияние факторов, не включенных в модель. Коэффициент характеризует долю дисперсии результативного признака y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Средняя ошибка аппроксимации характеризует качество модели:

Ā = 1/n ∙ ∑|(y - ŷ)/y| = 4,264 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования:

F _факт. = r²_xy∙ (n - 2)/(1- r²_xy)

F_факт = 23,579; F_табл = 4,96. Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Степенная модель парной регрессии и корреляции: ŷ = a₀ ∙ x ^a1.

Таблица 2 Расчет показателей парной степенной модели линейной регрессии и корреляции

Параметры уравнения определяются по следующим формулам:

a₀ = Y - a₁ ∙ X; a₁ = (Y∙ X - X∙ Y)/(X² - (X)²)

Получим: a₁ = 0,582; a₀ = 2,361.

Уравнение степенной модели регрессии имеет вид: ŷ = 2,361 ∙ x ^0,582.

Индекс корреляции: r_xy = √ 1 -σ²_ост/σ²_y.

Показатель тесноты  связи = 0,838. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь хорошая.

σ²_y - общая дисперсия результативного признака  = 158,410.

σ²_ост - остаточная дисперсия = 47,126.

Коэффициент детерминации = 0,703

Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 70,3% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 29,7% от вариации приходится влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 1/n ∙ ∑|y - ŷ|/y ∙ 100% = 4,216 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 23,614; F_табл = 4,96. Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Экспоненциальная  модель парной регрессии и корреляции: ŷ = e^{a0 +x ∙a1}.

Таблица 3 Расчет показателей экспоненциальной нелинейной регрессии и корреляции

Параметры уравнения: a₁ = 0,007; a₀ = 4,385.

Уравнение экспоненциальной регрессии имеет вид: ŷ = e ^{4,385+x ∙ 0,007}.

Величина коэффициента эластичности = 0,564 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0,564%.

Индекс корреляции: r_xy = √ 1 - ∑(y - ŷ)² /∑(y -ȳ)²

Показатель тесноты  связи = 0,835. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,698.

Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 69,8% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 30,2% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = ∑|(y - ŷ_x)|/y ∙ 100% = 4,350 %

Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 23,090; F_табл = 4,96. Так как F_факт > F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Полулогарифмическая модель парной регрессии и корреляции: ŷ = a₀ +ln x ∙a₁.

Таблица 4 Расчет показателей парной полулогарифмической регрессии и корреляции

Параметры уравнения: a₁ = 83,776; a₀ = -230,745.

Уравнение полулогарифмической модели имеет вид:

ŷ = -230,745 + ln x ∙ 83,776.

Величина коэффициента эластичности = 0,589 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0, 589%.

Индекс корреляции: r_xy = 0,837. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,701. Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 70,1% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 29,9% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 4,207 %. Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 23,401 F_табл = 4,96. Так как F_факт >  F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Обратная модель парной нелинейной регрессии и корреляции: ŷ = 1/(a₀ + x ∙a₁).

Таблица 5 Расчет показателей обратной парной нелинейной регрессии и корреляции

Параметры уравнения: a₁ = - 0,00005; a₀ = 0,011.

Уравнение обратной модели регрессии имеет вид: ŷ = 1/(0,011 - x ∙ 0,00005).

Величина коэффициента эластичности = 0,553 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0, 553%.

Индекс корреляции: r_xy = 0,830. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,688. Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 68,8% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 31,2% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 4,446%. Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 22,078; F_табл = 4,96. Так как F_факт >  F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Гиперболическая модель парной регрессии и корреляции: ŷ = 1/(a₀ + x ∙a₁).

Таблица 6 Расчет показателей гиперболической нелинейной регрессии и корреляции

Параметры уравнения: a₁ = -7229,170; a₀ = 227,148.

Уравнение гиперболической модели регрессии имеет вид:

ŷ = 1/(227,148 - x ∙ 7229,170).

Величина коэффициента эластичности = 0,589 означает, что при увеличении среднедушевого прожиточного минимума в день одного трудоспособного на 1%, среднедневная заработная плата увеличится на 0,589%.

Индекс корреляции: r_xy = 0,830. Так как коэффициент корреляции > 0,7, между исследуемыми факторами связь сильная.

Коэффициент детерминации = 0,690. Таким образом, вариация величины среднедневной заработной платы на 69,0% зависит от вариации уровня среднедушевого прожиточного минимума, а на остальные 31,0% от вариации приходится  влияние факторов, не включенных в модель.

Средняя ошибка аппроксимации: Ā = 4,221 %. Так как допустимый предел значений не более 8-10%, качество модели по данному показателю удовлетворительное.

С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования: F _факт. = 22,226; F_табл = 4,96. Так как F_факт >  F_табл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.

Выберем наилучшую модель, для чего объединим результаты построения парных регрессий в одной таблице.

Таблица 7 Сводная таблица результатов

Предпочтение можно отдать степенной функции, для которой значения коэффициентов корреляции и детерминации и F-критериев Фишера наибольшие.

Если прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума увеличится на 10 % от его среднего значения (94,42 рублей), прогнозное значение заработной платы = 2,367.

Интервал прогноза: -15,4818 ≤ ŷ _р≤ 20,216

Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его  доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05

Стандартная ошибка прогноза:

M r_xy = √ (1 - r²_xy)/ (n - 2) =  0,055.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  и корреляции рассчитывается t- критерий Стьюдента:

ta₀ = a₀/ma₀; ta₁ = a₁/ma₁;   tr_xy = r_xy/ M r_xy; t факт = S _ост/ σ²∙√n

ta₀ = 0,140, ta₁ = 2,987; tr_xy = 15,367.

Таким образом,  t a₀ < t _табл. (2,2281), значит, коэффициент не значим; ta_1, tr_xy > t _табл  - коэффициенты значимы.

Доверительный интервал для уровня значимости α = 0,05:

γa₀ = a₀ ± ∆ a₀; γa₁ = a₁ ± ∆ a₁; ∆ a₀ = ma₀ ∙ t_табл; ∆ a₁ = ma₁ ∙ t_табл;

Получим -35,271 ≤ a₀≤ 39,993;         0,148 ≤ a₁≤ 1,017.

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Задача 2. По 10 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов  x₁ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих x₂ (%)

Требуется:

1. Построить линейную модель множественной регрессии.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти коэффициент множественной детерминации.

4. С помощью F -критерия Фишера и коэффициента детерминации R²_yx1x2 оценить статистическую надежность уравнения регрессии.

5. Найти также интервальные оценки параметров a₁, a₂ и показать значимость уравнения регрессии.

6. Оценить качество уравнения через среднюю ошибку аппроксимации.

7. Определить частные коэффициенты эластичности, β-коэффициенты и Δ-коэффициенты. Проанализировать, какой из факторных признаков оказывает наибольшее влияние на результативный признак.

8. Определить доверительный интервал прогноза.

9. Проверить результаты с помощью инструментов анализа данных Регрессия и Корреляция ППП Excel.

Таблица 8 Исходные данные для корреляционно-регрессионного анализа

Цель работы – овладеть методикой построения линейных моделей  множественной регрессии, оценки их существенности и значимости, расчетом показателей множественной регрессии и корреляции.

Таблица 9 Расчет параметров уравнения множественной регрессии