Парная регрессия и корреляция. 6

Парная регрессия  и корреляция

Контрольные вопросы

  • Сформулируйте задачи, решаемые эконометрикой.

Эконометрика - наука,в которой на базе реальных статистичеких данных строятся,анализируются и совершенствуются модели реальных экономических явлений.

Задачи эконометрики можно  классифицировать по 3 признакам:

1. по конечным прикладным  целям

2. по уровню иерархии

3. по профилю анализируемой  экономической системы.

 

1. Прогноз экономических  и социальных показателей,характеризующих состояние и развитие системы. Имитация возможных сценариев социально-экономического развития системы для выявления того,как это скажется на выходных характеристиках.

2.

  • макроуровень (страна в целом)
  • мезоуровень (отрасль,регион,корпорация)
  • микроуровень (предприятие)

3. Задачи,направленные на решение проблем:

  • рынка
  • инвестиционной финансовой деятельности
  • ценообразования (большая доля государственного регулирования)
  • распределительных отношений
  • спроса и потребления

 

  • Дайте определение парной регрессии.

Парная регрессия –  это уравнение связи двух переменных у и х:  y=f(х),

где - независимая переменная, объясняющая, входная, предсказывающая,       экзогенная, фактор, регрессор, факторный признак.

 - зависимая переменная, функция отклика, объясняемая, выходная, результирующая, эндогенная переменная, результативный признак

 

Что такое  линия регрессии?

Вычисляемая с помощью  метода наименьших квадратов  прямая линия называется линией регрессии . Она характеризуется тем, что сумма квадратов расстояний от точек на диаграмме до этой линии минимальна (по сравнению со всеми возможными линиями). Линия регрессии дает наилучшее приближенное описание линейной зависимости между двумя переменными.

 

  • Поясните экономическую сущность параметров уравнения парной регрессии.

В общем случае коэффициент  регрессии показывает, как в среднем изменится результативный признак y, если факторный признак x увеличится на единицу . Коэффициент a может не иметь экономического содержания, интерпретировать можно только знак, он показывает направления связи. Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот.

 

  • Как производится оценка параметров уравнения парной регрессии.

Построение линейной регрессии  сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан  на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие  оценки параметров a и b, при которых  сумма квадратов отклонений фактических  значений результативного признака y от теоретических минимальна.

 

  • Что является показателем тесноты связи в парной линейной регрессии?

Тесноту связи изучаемых  явлений оценивает линейный коэффициент

парной корреляции rxy для линейной регрессии.

 

 

  • В каких пределах находится значение коэффициента корреляции?

Коэффициент корреляции принимает  значения в интервале от -1 до +1. Теснота  линейной связи между переменными  может быть оценена на основании  шкалы Чеддока:

 

 

 

Положительное значение коэффициента корреляции говорит о положительной связи между х и у, когда с ростом одной из переменных другая тоже растет. Отрицательное значение коэффициента корреляции означает, с ростом одной из переменных другая убывает, с убыванием одной из переменной другая растет.

 

  • Для чего рассчитывают коэффициент детерминации и что он характеризует?

Оценку качества построенной  модели дает коэффициент (индекс) детерминации R2.

Для оценки качества подбора  линейной функции рассчитывается квадрат  линейного коэффициента корреляции, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации показывает, сколько процентов приходится на долю учтенных в модели факторов:

Соответственно величина  1-R2 характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов. Коэффициентом детерминации, или долей объясненной дисперсии называется: 

.

В силу определения  .

 

 

Что такое  число степеней свободы и как  оно определяется для факторной  и остаточной суммы квадратов?

 

Любая сумма квадратов  отклонений связана с числом степеней свободы, т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Значит число  степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показывать, сколько независимых отклонений из возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так для общей суммы квадратов требуется независимое отклонение, ибо по совокупности из единиц после расчета среднего уровня , свободно варьируют лишь числом отклонений. Число степеней свободы в левой и правой частях соотношения (*) должно совпадать, то число степеней свободы второго слагаемого должно быть равно (n - 2).

То есть   .

При расчете факторной  суммы квадратов - 1 степень свободы, и при расчете остаточной суммы  квадратов - (n-2) степени свободы.

 

  • Какова концепция F-критерия Фишера?

 

Разделив каждую сумму  квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что тоже самое, дисперсию на одну степень свободы D

.

Это приводит дисперсии к  сравнимому виду. Сопоставляя факторную  и остаточные дисперсии в расчете  на одну степень свободы, получим  величину F - отношения (F- критерия):

, где F- критерий для проверки нулевой гипотезы :  .

Если нулевая гипотеза справедлива, то и не отличаются друг от друга. Для необходимо опровержение, то есть, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

- это максимальная величина  отношения дисперсий, которая  может иметь место при случайном  их расхождении для данного  уровня вероятности.

F-критерий - это оценивание качества уравнения регрессии, которое состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого производится сравнение фактического и значений F критерия Фишера-Снедекора. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

.

- это максимально возможное  значение критерия под влиянием  случайных факторов при данных  степенях свободы и уровне  значимости  . Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно .

Если  < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Если  > , то - гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

 

  • В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется?

Cредняя ошибка аппроксимации дает оценку качества построенной модели. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических в процентах:

.

Предел значений считаем допустимым при построении модели.

 

  • Как оценивается значимость параметров уравнения регрессии?

Оценку статистической значимости коэффициента корреляции проводят с помощью t-критерия Стьюдента. Выдвигают гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии коэффициента от нуля. Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки значимости коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала. Для оценки значимости коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента:

, причем 

,причем  ,т.е .

 

которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости a и числе степеней свободы n-2. Если tфакт>tтабл, то делается вывод о значимости параметра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

От чего зависит  точность предсказания значения зависимой  переменной на основе уравнения парной регрессии?

 

 

  • Запишите все виды моделей, нелинейных относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

  1. Нелинейные по объясняющим параметрам:

 Полиномы различных степеней

                                Равносторонняя гипербола                                                         

 

 Полулогарифмическая  функция  

 

    1. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: 

                            Степенная:

                            Показательная: 

                            Экспоненциальная: 

                            Логарифмическая: 

                            Полулогарифмическая: 

                                                                     

                            Обратная:                   

  • Как осуществляется линеаризация модели?

 

Для нахождения параметров регрессии необходимо провести

ее линеаризацию:Y=A+bX

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Несколько иначе обстоит  дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не

приводятся).

 

 

  • Назовите показатели корреляции, используемые при нелинейных соотношениях рассматриваемых признаков.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (R):

 где

 

 Так как

то индекс корреляции можно  выразить как

Величина данного показателя находится в границах чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

 

 

  • Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей?

 

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько %  в среднем по совокупности изменится результат от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения

- характеризует соотношение  прироста результата и фактора  для соответствующей формы связи.

Т.к., коэффициент Э не всегда const, то используем среднее значение - .

В таблице представлены формулы  эластичности для наиболее употребительных  функций.

                       y

                    

                              


 

Иногда коэффициент Э экономического смысла не имеет. Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах. Например, изменение роста заработной платы с ростом стажа работы на 1%.

 

 

Тест 1

1. Графическое  изображение наблюдений на декартовой  плоскости координат называется  полем …

1. регрессии;

2. корреляции;

3. случайных воздействий;

4. автокорреляции.

2. В линейном  уравнении парной регрессии у=а+bx коэффициентом регрессии является значение

1. параметров а и b;

2. параметра a;

3. переменной x;

4. параметра b.

3. Величина параметра а в уравнении парной линейной регрессии у=а+bx характеризует значение …

1. факторной переменной  при нулевом значении результата;

2. результирующей переменной  при нулевом значении случайной  величины;

3. факторной переменной  при нулевом значении случайного  фактора;

4. результирующей переменной при нулевом значении фактора.

4. Объем выборки  должен превышать число рассчитываемых  параметров при исследуемых факторах

1. в 2-3 раза;

2. в 20-25 раз;

3. в 10-12 раз;

4. в 7-8 раз.

5. Объем выборки  определяется …

1. числовыми значениями  переменных, отбираемых в выборку;

2. объёмом генеральной  совокупности;

3. числом параметров при  независимых переменных;

4. числом результативных переменных.

6. Основной задачей  эконометрики является …

1. установление связей  между различными процессами  в обществе и техническим процессом;

2. анализ технического  процесса на примере социально-экономических  показателей;

3. отражение особенности  социального развития общества;

4. исследование взаимосвязей экономических явлений и процессов.

7. Наиболее наглядным  видом выбора уравнения парной  регрессии является:

1. аналитический;

2. графический;

3. экспериментальный (табличный).

8. Суть метода  наименьших квадратов состоит  в:

1. минимизации суммы остаточных  величин;

2. минимизации дисперсии  результативного признака;

3. минимизации суммы квадратов остаточных величин.

9. Коэффициент  линейного парного уравнения  регрессии:

1. показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу;

2. оценивает статистическую  значимость уравнения регрессии;

3. показывает, на сколько  процентов изменится в среднем  результат, если фактор изменится  на 1%.

10. Классический  метод к оцениванию параметров  регрессии основан на:

1. методе наименьших квадратов;

2. методе максимального  правдоподобия;

3. шаговом регрессионном  анализе.

11. Простая линейная  регрессия предполагает …

1. наличие двух и более  факторов и нелинейность уравнения  регрессии;

2. наличие одного фактора и линейность уравнения регрессии;

3. наличие одного фактора  и нелинейность уравнения регрессии;

4. наличие двух и более  факторов и линейность уравнения  регрессии.

12. Метод наименьших  квадратов позволяет оценить  уравнений регрессии:

1. переменные и случайные  величины;

2. параметры;

3. переменные;

4. параметры и переменные.

13. Коэффициент  регрессии в линейной регрессии  совокупного спроса на мобильные  телефоны (тыс. руб.) по цене (руб.) оказался равным -1 Это означает:

1. увеличение цены на 1% снижает спрос на мобильные  телефоны на 1%;

2. увеличение цена на 1 рубль снижает спрос на мобильные  телефоны на 1%;

3. увеличение цены на 1% снижает спрос на мобильные  телефоны на 1 тысячу рублей;

4. увеличение цены на 1 рубль снижает спрос на мобильные  телефоны на 1 тысячу рублей;

5. полученное число никак не интерпретируется.

 

 

 

 

Тест 2

1. Значение коэффициента  корреляции составило 2, следовательно

1. значение коэффициента корреляции рассчитано с ошибкой;

2. теснота связи в 2 раза сильнее, чем для функциональной  связи;

3. связь функциональная;

4. при увеличении фактора  на единицу значение результата  увеличивается в 2 раза.

2. Значение коэффициента  корреляции не характеризует  …

1. статистическую значимость уравнения;

2. корень из значения  коэффициента детерминации;

3. тесноту связи;

4. силу связи.

3. Для уравнения зависимости  выручки от величины оборотных  средств получено значение коэффициента  детерминации, равное 0,7.

Следовательно, _______ процентов  дисперсии обусловлено случайными факторами.

1. 30%;

2. 100%;

3. 70%;

4. 0%.

4. Значения коэффициента  корреляции может находиться  в отрезке:

1. [-1;0];

2. [0;1];

3. [-1;1];

4. [-2;2].

5. Качество подбора  уравнения оценивает коэффициент

1. корреляции;

2. детерминации;

3. эластичности;

4. регрессии.

6. Расчётное значение  критерия Фишера определяется  как отношение

1. дисперсий;

2. результата к фактору;

3. математических ожиданий;

4. случайных величин.

7. При хорошем  качестве модели допустимым значением  средней ошибки аппроксимации  является

1. 5-7%;

2. 50%;

3. 90-95%;

4. 20-25%.

8. Случайными воздействиями  обусловлено 12% дисперсии результативного  признака, следовательно, значение  коэффициента детерминации составило:

1. 88;

2. 0,12;

3. 0,88;

4. 12.

9. Значение линейного  коэффициента корреляции характеризует  тесноту … связи.

1. нелинейной;

2. линейной;

3. случайной;

4. множественной линейной.

10. В качестве  показателя тесноты связи для  линейного уравнения парной регрессии  используется:

1. множественный коэффициент  линейной корреляции;

2. линейный коэффициент корреляции;

03. линейный коэффициент регрессии;

4. линейный коэффициент  детерминации.

11. Значение коэффициента  корреляции равно 0,9. Следовательно,  значение коэффициента детерминации  составит …

1. 0,3;

2. 0,81;

3. 0,95;

4. 0,1.

12. Если средняя  ошибка аппроксимации равна 12%, то говорят, что

1. качество построенной модели плохое;

2. связь между признаком  и фактором слабая;

3. качество построенной  модели хорошее;

4. связь между признаком  и фактором сильная.

13. Если 0≤ │rxy│≤ 0,3, то о связи между фактором и признаком можно сказать, что она

1. умеренная;

2. сильная;

3. отсутствует;

4. слабая.

14. О сильной  связи между фактором и признаком  говорит то, что

Правильный  ответ: 2

15. "Необъяснённую"  сумму квадратов отклонений иначе  называют:

1. остаточной суммой квадратов отклонений;

2. факторной суммой квадратов  отклонений;

3. общей суммой квадратов  отклонений;

4. средней суммой квадратов  отклонений.

16. О слабой  связи между фактором и признаком  говорит то, что

Правильный  ответ: 3

17. "Объяснённую"  сумму квадратов отклонений иначе  называют:

1. общей суммой квадратов  отклонений;

2. факторной суммой квадратов отклонений;

3. остаточной суммой квадратов  отклонений;

4. средней суммой квадратов  отклонений.

18. Коэффициент  уравнения парной регрессии показывает:

1. тесноту связи между  зависимой и независимой переменными;

2. на сколько процентов  изменится зависимая переменная, если независимая переменная  изменится на единицу;

3. на сколько процентов  изменится зависимая переменная, если независимая переменная  изменится на 1%;

4. на сколько единиц изменится зависимая переменная, если независимая переменная изменится на 1 ед.

19. Степень влияния  неучтённых факторов в рассматриваемой  модели можно определить на  основе:

  • парного линейного коэффициента корреляции;

2. частного коэффициента  корреляции;

3. индекса корреляции;

4. коэффициента детерминации

 

5. коэффициента регрессии.

20. Дисперсионный  анализ уравнения парной регрессии  проверяет:

1. значимость коэффициента  корреляции;

2. значимость уравнения регрессии;

3. значимость коэффициента  регрессии;

4. значимость свободного  члена уравнения регрессии.

21. Коэффициент  корреляции больше нуля, это означает, что

1. связь между переменными тесная;

2. связь между переменными  прямая;

3. связь между переменными  обратная;

4. связь между переменными  отсутствует.

22. Оценка значимости  уравнения в целом осуществляется  по критерию:

1. Фишера;

2. Дарбина-Уотсона;

3. Пирсона;

4. Стьюдента.

23. Если расчётное  значение критерия Фишера меньше  табличного значения, то гипотеза  о статистической незначимости уравнения

1. незначима;

2. несущественна;

3. отвергается;

4. принимается.

24. Табличное значение  критерия Фишера определяется  по:

1. уровню значимости и степеням свободы факторной и остаточной дисперсий;

2. уровню значимости и  степени свободы общей дисперсии;

3. уровню значимости;

4. степени свободы факторной  и остаточной дисперсий.

25. Общая дисперсия  служит для оценки влияния

1. учтённых явно в модели  факторов;

2. как учтённых факторов, так и случайных воздействий;

3. величины постоянной  составляющей в уравнении;

4. случайных воздействий.

26. Остаточная дисперсия  служит для оценки влияния

1. случайных воздействий;

2. величины постоянной  составляющей в уравнении;

3. учтённых явно в модели  факторов;

4. как учтённых факторов, так и случайных воздействий.

27. Расчётное значение  критерия Фишера определяется  как

1. разность факторной  дисперсии и остаточной, рассчитанных на одну степень свободы;

2. отношение факторной  дисперсии к остаточной;

3. отношение факторной дисперсии к остаточной, рассчитанных на одну степень свободы;

4. суммы факторной дисперсии  к остаточной, рассчитанных на одну степень свободы.

28. Факторная дисперсия  служит для оценки влияния:

1. как учтённых факторов, так и случайные воздействия;

2. учтённых явно в модели факторов;

3. величины постоянной  составляющей в уравнении;

4. случайных воздействий.

29. Расчётное значение  критерия Фишера определяется  как …факторной дисперсии и  остаточной, рассчитанных на одну степень свободы

1. произведение;

2. разность;

3. сумма;

4. отношение.

30. Парный линейный коэффициент  корреляции характеризует наличие  слабой обратной связи, значит он принимает следующее значение:

1. 1,2;

2. –0,82;

3. 0,23;

4. 0,92;

5. –0,24.

31. Коэффициент  корреляции равен нулю, это означает, что

1. связь между переменными  тесная;

2. связь между переменными  прямая;

3. связь между переменными  обратная;

4. связь между переменными отсутствует.

32. Коэффициент  корреляции меньше нуля, это означает, что

1. связь между переменными  тесная;

2. связь между переменными  прямая;

3. связь между переменными обратная;

4. связь между переменными  отсутствует.

33. Остаточная  сумма квадратов равна нулю:

1. когда правильно подобрана  регрессионная модель;

2. когда между признаками  существует точная функциональная  связь;

3. никогда.

34. Табличное значение F-критерия Фишера меньше расчётного F-критерия Фишера. Это значит:

1. уравнение регрессии значимо;

2. уравнение регрессии  незначимо;

3. все коэффициенты уравнения  регрессии равны нулю;

4. не все коэффициенты  уравнения регрессии равны нулю.

35. Остаточная  сумма квадратов отклонений вычисляется  по формуле:1

Тест 3

1. Критерий Стьюдента  предназначен для определения  значимости

1. построенного уравнения  в целом;

2. коэффициента детерминации;

3. уравнения;

4. параметров регрессии.

2. Если доверительный  интервал для параметра проходит  через точку ноль, то

1. значение параметра  может принимать как отрицательные,  так и положительные значения;

2. параметр является несущественным;

3. параметр является существенным;

4. параметр признается  статистически значимым.

3. Параметр является  существенным, если

1. доверительный интервал не проходит через ноль;

2. доверительный интервал  проходит через ноль;

3. расчётное значение  критерия Стьюдента меньше табличного  значения;

4. стандартная ошибка  превышает половину значения  самого параметра.

4. Стандартная  ошибка рассчитывается для проверки  существенности

1. параметра;

2. коэффициента детерминации;

3. случайной величины;

4. коэффициента эластичности.

5. Для существенного  параметра расчётное значение  критерия Стьюдента

1. равно нулю;

2. больше табличного значения критерия;

3. не больше табличного  значения критерия;

4. меньше табличного значения  критерия.

6. Назовите показатель  корреляции для нелинейных моделей  регрессии:

1. парный коэффициент  линейной корреляции;

2. индекс детерминации;

3. линейный коэффициент  корреляции;

4. индекс корреляции.

7. Линеаризация  подразумевает процедуру …

1. приведения уравнения  множественной регрессии к парной;

2. приведения нелинейного  уравнения к линейному виду;

3. приведения линейного  уравнения к нелинейному виду;

4. приведения нелинейного уравнения относительно параметров к уравнению, линейному относительно результата.

8. К линейному  виду нельзя привести:

Парная регрессия и корреляция. 6