Парная регрессия и корреляция. 3

Парная регрессия и корреляция

Таблица 1

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.
2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной парной регрессии.
3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
5. Оцените качество уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации.
6. Оцените статическую надежность результатов регрессионного моделирования с помощью F-критерии Фишера. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4,5 и данном пункте, выберите лучше уравнение регрессии и дайте его обоснование.
7. Оцените полученные результаты; вывод оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Построим поле корреляции:

В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей, скорее всего гиперболический характер.

2. Рассчитайте параметры уравнение линейной и степенной парной регрессии.

а) Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

a, b — эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению.

При этом:

Расчёты произведём в таблице (см. табл. 2).

Таблица №2

б) Степенное уравнение парной регрессии имеет вид:

Прологарифмируем данное уравнение, чтобы привести его к линейному виду:

Приведём данное уравнение к линейному виду:

где Y = ;

C = ;

X = lg x

Расчёт коэффициентов b и C произведём в таблице (см. табл. 3). Используем формулы:

Таблица №3

Получаем:

а = 10с = 102,59 = 389,04

Тогда степенное уравнение парной регрессии получит вид:

у=389,04х-0.86

Задание 3. Оценить тесноту связей с помощью показателей корреляции и детерминации.

Линейная модель

            Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции, который определяется по формуле:

где:

Расчёты произведены в таблице 6.

Таблица 6 – Расчёт коэффициента корреляции для линейной связи

Определённое значение коэффициента корреляции по линейной связи

(rxy=-0,9) свидетельствует о том, что связь очень сильная. Сильная связь имеет место, если коэффициент корреляции приближается к 1 или -1.

Коэффициент детерминации равен: rxy2=-0,92=0,81

Это означает, что 81% вариации результативного признака (Средняя заработная плата и выплаты социального характера) объясняется вариацией фактора x – Прожиточный минимум в среднем на душу населения.

Степенная модель

Тесноту нелинейной связи оценит индекс корреляции:

где   - величина ошибки, то есть отклонение фактических значений зависимой переменной от рассчитанных по уравнению регрессии.

Индекс корреляции есть неотрицательная величина, не превосходящая единицу:

Связь тем сильнее, чем ближе индекс корреляции к единице.

Необходимые расчёты представлены в таблице 7

В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между расходами и заработной платы, носящей, скорее всего гиперболический характер.

Построить линейную модель.

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле, используя данные таблицы.

Расчеты в таблице №2

Т.к. Rxy=0,588, то связь является умеренной.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

Значения параметров линейной модели определим

Уравнение регрессии имеет вид:

Рассчитаем коэффициент детерминации:

Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера.

F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=15, то уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое.

Определим среднюю ошибку:

В среднем расчетные значения ý для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,04%.

Построение степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной регрессии имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим Y=lgŷ, X=lg x, A=lga.

Тогда уравнение примет вид: Y=A+bX-линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры.

A=0,001

Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=0,001+0,915X

Перейдем к исходным данным уравнения, выполнив потенцирование данного уравнения:

Ŷ=10-0,001*х0,915

Получим уравнение степенной модели регрессии: Ŷ=0,998*х0,915

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной. Коэффициент детерминации равен

R2=r2XY=0,728

Рассчитаем критерий Фишера.

F> Fтабл=4,54 для α=0,05; k1=m=1;k2=n-m-1=15

Средняя относительная ошибка

В среднем расчетные значения ý для степенной модели отличаются от фактических значений на 1,28%.

Выбор лучшей модели

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов

Таблица 2 –Выбор лучшей модели

Наибольшее значение коэффициента детерминации и критерия Фишера имеет степенная модель. Она же имеет практически наименьшую среднюю относительную ошибку, значит, ее можно взять в качестве лучшей для построения прогноза.

Полученные результаты, в целом удовлетворительные. Модель степенной парной регрессии описывает реальную зависимость рассматриваемыми показателями.

Список литературы

1. Леванова Л.Н. «Основы эконометрики», учебное пособие. Саратов, 2003.

2. Карп Д.Б. «Эконометрика: основные формулы с комментариями». Учебно-методическое пособие. Владивосток, 2004. 50 с.

3. Практикум по эконометрике: Учебное  пособие/И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. Елисеевой.-М.: Финансы и статистика, 2001.-192 с.

4. Эконометрия - Суслов В.И. – Учебник, 2005 г.