Министерство образования и науки Российской Федерации

     Федеральное государственное автономное образовательное  учреждение

     высшего профессионального образования

     «ЮЖНЫЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» 

Институт  экономики и внешнеэкономических  связей 
 
 

ПИСЬМЕННАЯ  РАБОТА

по дисциплине математика «Линейная алгебра» 
 

Студентки

гр. 2010 – ЗБУ – С Коноревой О.В.

Научный руководитель:  

к.т.н. доцент  

Косолапова  Н.А.                                                             

                                        Ростов-на-Дону  – 2010

1. Векторное пространство

     N - мерное векторное пространство R n определяется как множество  всех n-мерных векторов, для которых  определены операции умножения на действительные числа и сложение.

  Линейное, или векторное пространство над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый и
2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу и любому элементу ставится в соответствие элемент из , обозначаемый .

При этом на операции накладываются следующие  условия:

1. , для любых  (коммутативность сложения);
2. , для любых (ассоциативность сложения);
3. существует такой элемент , что для любого (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;
4. для любого существует такой элемент , что (существование противоположного элемента).
5. (ассоциативность умножения на скаляр);
6. (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
7. (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы  множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

2. Основные свойства  векторов

     Как известно, существует взаимно однозначное  соответствие между вещественными  числами и точками числовой прямой. Если рассматривать точки координатной плоскости, то для их определения потребуется уже пара чисел, для точки в трехмерном пространстве – тройка и т.д. Таким образом, если рассматривать упорядоченные наборы действительных чисел, то, обозначив  упорядоченный набор из  чисел:  , можно сказать, что  это множество точке числовой прямой или множество действительных чисел.  - множество пар действительных чисел или множество точек плоскости,  - множество троек вещественных чисел или множество точек трехмерного пространства.

     В данном пространстве можно определить операции сложения элементов и умножения  их на действительное число: для любых  и любого  выполняется:  При  этом выполняются все традиционные ( простейшие) свойства этих операций:

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
3. для любого .
4. Для любого противоположный элемент является единственным, что вытекает из групповых свойств.
5. для любого .
6. для любых и .
7. для любого .                                                            

3. Операции над векторами

 Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис.1).         

 Рис.1.Сложение векторов 

 Сложение  векторов в соответствии с рисунком 1 называется сложением по правилу параллелограмма. Однако бывает более удобным использовать для сложения правило треугольника. Результаты сложения по правилу параллелограмма и по правилу треугольника одинаковы.

 Рис.2. Правило треугольника         

 Вектор  b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .         

 Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .         

 Разностью векторов a и b называется сумма .         

 Разность  обозначается , то есть .         

 Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

 1) и, если , то еще двумя условиями:

 2) вектор  b коллинеарен вектору a;

 3) векторы  b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .         

 Произведение  вектора a на число обозначается (рис 3).

 Рис.3.Умножение вектора на число 
 
 
 
 
 

3. Скалярное произведение векторов. Норма вектора

     Скаля́рное  произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно  используется одно из следующих обозначений:

,

,

,

или (обозначение Дирака, часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

.

Обычно  предполагается что скалярное произведение положительно определено, то есть

для всех .

Если  этого не предполагать, то произведение называется индефинитным 

Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция , принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для  любых трех элементов  и пространства и любых чисел справедливо равенство [линейность скалярного произведения по первому аргументу];

2. для  любых  и справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];

3. для  любого  имеем , причем только при [положительная определенность скалярного произведения].

Действительное  линейное пространство со скалярным  произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

 
Заметим, что из п.2 определения следует, что  действительное. Поэтому п.3 имеет смысл несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения.

     Норма — функция, заданная на векторном пространстве и обобщающая понятие длины вектора.

     Норма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел является функционалом , удовлетворяющим следующим условиям:

3. (неравенство треугольника);

Эти условия  являются аксиомами нормы.

     Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1-3) — также аксиомами нормированного пространства.

Чаще  всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента x векторного пространства . 
Вектор с единичной нормой ( ) называется нормальным или нормированным.

Любой ненулевой вектор x можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. 

5. Линейная  зависимость и  независимость векторов

   Следующие теоремы дают несколько критериев  линейной зависимости и соответственно линейной независимости систем векторов.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие  линейной зависимости системы векторов.)

     Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система   линейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

,

где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть , .

Разделим  обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на :

.

Обозначим: , где .

Тогда

или         ,

т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно  выражается через другие вектора  этой системы:

.

Перенесем вектор  в правую часть этого равенства:

.

Так как  коэффициент при векторе   равен , то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов , что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

  Следствие.

1. Система  векторов векторного пространства  является линейно независимой  тогда и только тогда, когда  ни один из векторов системы  линейно не выражается через  другие вектора этой системы.

2. Система  векторов, содержащая нулевой вектор  или два равных вектора, является  линейно зависимой.

6. Базис и ранг системы  векторов. Разложение вектора по базису

   Вектор. Базис и координаты. Тройка e 1 , e 2 , e 3 некомпланарных векторов в R 3 называется базисом, а сами векторы e 1 , e 2 , e 3 - базисными. Любой вектор a может быть единственным образом разложен по базисным векторам, то есть представлен в виде а = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3,  числа x 1, x 2, x 3 в разложении называются координатами вектора a в базисе e 1 , e 2 , e 3 и обозначаются a (x 1, x 2, x 3 ).  

   Определение: Система векторов называется базисом  пространства  если:

1. Векторы  этой системы линейно независимы.

2. Всякий  вектор из  линейно выражается  через векторы данной системы.

Если  среди векторов системы  существует такой набор векторов, что 

1) векторы,  составляющие этот набор, являются  линейно независимыми;

2) любой  вектор системы линейно выражается  через векторы этого набора, то  тогда этот набор называется  максимально независимой подсистемой системы векторов  или базисом.  

     Вектора, входящие в эту подсистему, называются базисными, а их количество называют рангом системы векторов.

     Теорема: Линейно независимая система  векторов в  является базисом тогда  и только тогда, когда число векторов этой системы равно.

     Предположим, что исходная система векторов является базисом, а вектор  их линейная комбинация, тогда можно доказать, что разложение любого вектора в базисе, если оно  существует, является единственным.

     Таким образом, в любом базисе пространства  произвольный вектор этого пространства можно представить в виде разложения по базисным векторам. Причем коэффициенты разложения  называются координатами вектора  в базисе, причем набор этих коэффициентов будет единственным для любого вектора в этом базисе. 
 

7. Матрицы с действительными  элементами

     Действительная  матрица может не иметь действительных собственных значений.

Дана  действительная матрица размера / гхт, в которой не все элементы равны  нулю. Получить новую матрицу путем  деления всех элементов данной матрицы на ее наибольший по модулю элемент.

Дана  действительная матрица размера  яхт, все элементы которой различны. В каждой строке выбирается элемент  с наименьшим значением, затем среди  этих чисел выбирается наибольшее.

Для действительной матрицы А последовательность вычислений следующая.

Найти все действительные матрицы М  порядка п, у которых все элементы неотрицательны и существует обратная матрица М 1 также с неотрицательными элементами.

     Определение 23.11. Действительная матрица С, удовлетворяющая равенству ( 3), называется ортогональной. Комплексная матрица С, удовлетворяющая условию ( 4), называется унитарной.

     Собственные векторы действительной матрицы  А с различными собственными значениями в общем случае комплексные и  не обладают свойством ортогональности. Однако, привлекая собственные векторы транспонированной матрицы А, можно получить так называемые соотношения биортогональности, которые для случая симметрической матрицы эквивалентны обычным соотношениям ортогональности.

На практике действительную матрицу Н в форме  Хессенберга обычно получают из матрицы  А, используя одну из трех процедур elmhes, dirhes или orthes ( алг.

     Теорема 24.20. Всякая невырожденная действительная матрица А порядка п есть произведение ортогональной и симметрической матриц.

Здесь ai - невырожденная действительная матрица размера mXm, соответствующая указанным элементарным преобразованиям; CTI - матрица размера ry m и ранга г; 0 - нулевая матрица размера ( т - г) хт.

Очевидно, для действительной матрицы наибольшее по модулю собственное значение Xj действительно. Заметим, что такой случай имеет место, если матрица А-действительная и элементы ее положительны ( гл.

Ги i является действительной матрицей.

Так как  А - действительная матрица, то Ax ( t) и Ay ( t) представляют собой действительные вектор-функции.

Хорошо  известно, что действительную матрицу  А можно при помощи преобразований подобия А САС - привести к блочно-диагональному  виду, когда на диагонали стоят  блоки следующего вида.

Свойство  унитарности аналогично свойству ортогональности  действительных матриц. 

     Матрицей  размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости  матрицу можно обозначать одной  заглавной буквой, например, А или В.

В общем  виде матрицу размером m×n записывают так

.

     Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

     Если  в матрице число строк равно  числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

     Матрица, в которой число строк не равно  числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

     Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

     Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

     Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

     Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

     Квадратная  матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

     Квадратная  матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной  диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

     Диагональная  матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид . 
 
 

8. Линейные  операции над матрицами. Транспонирование матриц. Умножение матриц

     Рассмотрим  произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу  B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

     Таким образом, транспонирование – это  перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

   Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых  чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

3. .

Примеры.

1. .
2. Найти 2A-B, если , .

.

3. Найти C=–3A+4B.

Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

     Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

.

     Таким образом, например, чтобы получить у  произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

     В общем случае, если мы умножаем матрицу  A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

     Из  этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

     Другим  важным случаем является умножение  матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна  высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

. 

9. Собственные значения  и собственные  векторы матриц 

     Матрица называется симметричной, если она совпадает с транспонированной (со своей транспозицией): A = A^T, или a_i,j = a_j,i.Она называется эрмитовой, или самосопряженной, если она равна комплексно-сопряженной матрице от своей транспозиции (эрмитово-сопряженной от нее): A = A^H, или a_i,j = a_j,i^*.Она называется ортогональной, если ее транспозиция является обратной к ней: AA^T = A^TA = 1.Она называется унитарной, если эрмитово-сопряженная от нее равна обратной. Наконец, матрица называется нормальной, если она является перестановочной с эрмитово-сопряженной: AA^H = A^HA.Для действительных матриц эрмитовость означает симметрию, унитарность совпадает с ортогональностью, и оба этих класса являются нормальными.

При поиске собственных значений матрицы, "эрмитовость" является весьма важной концепцией: все  собственные значения эрмитовых  матриц действительны. С другой стороны, собственные значения действительных несимметричных матриц могут быть либо действительными, либо парами комплексно - сопряженных чисел. Собственные значения комплексной неэрмитовой матрицы в общем случае комплексные.

     Концепция "нормальности" важна при поиске собственных векторов. Система собственных векторов нормальной матрицы с невырожденными (несовпадающими) собственными значениями является полным и ортогональным базисом N-мерного векторного пространства. Для нормальной матрицы с вырожденными собственными значениями имеется свобода в определении собственных векторов, соответствующих вырожденным собственным значениям, связанная с заменой их любой линейной комбинацией. Это означает, что мы всегла можем провести процесс ортогонализации Грама - Шмидта и найти полный ортогональный набор собственных векторов, как и в невырожденном случае. Очевидно, что матрица с колонками из ортонормированного множества собственных векторов является унитарной. Для матрицы собственных векторов, полученных из действительной симметричной матрицы, выполняется свойство ортогональности.