План выпуска продукции

Содержание: 
 
 

Задача 1

По приведенным  ниже вариантам работ требуется:

1. Определить план выпуска продукции (Х), обеспечивающий максимальную выручку (прибыль) от реализации.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти оптимальные значения двойственных оценок единичных затрат ресурсов (Y).
3. Определить интервалы двойственности оптимальных двойственных оценок.
4. Выявить изменение выручки (прибыли) от реализации продукции, определяемой оптимальным планом ее производства при измерении объемов производственного потребления ресурсов (Db_i). Произвести анализ влияния изменений ресурсов по отдельности и одновременно.

B=(800 600 120)^T;  DB=(50 -10 70)^T;  C=(108 112 126);

Решение:

1. Определить план выпуска продукции (X), обеспечивающий максимальную выручку (прибыль) от реализации.

     Для определения плана выпуска продукции  требуется найти оптимальный  план прямой ЗЛП. Сформулируем ее:

Решаем поставленную задачу с помощью программного пакета MS Excel: 
 
 

     Отчеты, автоматически создаваемые МS Excel, приведены в приложении 1 к данной работе.

    Таким образом, получен оптимальный план выпуска изделий, гарантирующий  максимальную величину объема реализации  Fmax:  Х*=(100;0;1200), Fmax=162000 руб.

    При таком плане недоиспользование  сырья составляет:

    I вид сырья – 0 кг;

    II вид сырья – 200 кг;

    III вид сырья – 0 кг. 

2. Сформулировать  двойственную задачу и найти оптимальные  значения двойственных оценок единичных  затрат ресурсов (Y).

    Сформулируем  двойственную ЗЛП:

В соответствии с 1-й группой условий справедливы  соотношения:

    Из 2-й группы условий получится:

         Таким образом:

         Окончательно,

          Выполняется  утверждение 1-й  теоремы двойственности:

          ,

Fmax=Фmin =162000. 

3. Определить  интервалы устойчивости оптимальных двойственных оценок.

       Оптимальные двойственные оценки в определенных интервалах изменения объемов производственных ресурсов устойчивы. В пределах устойчивости оптимальных двойственных оценок, последние могут служить показателями эффективности использования ресурсов.

      где  искомые величины (изменение ресурсов, при которых оптимальные двойственные переменные неизменны).

     - матрица обратная матрице  P, составленной из компонент столбцов, соответствующих переменным целевой функции прямой задачи,  попавшим в оптимальный план со строго положительными значениями.

    С помощью пакета MS Excel вычисляем обратную матрицу :

    Получаем:

               (1)

    Решение системы неравенств в следующих  трех ситуациях приводит:

    1)  и ,       

    2)  и ,       

    3)  и ,         

    Согласно  первой и третьей ситуациям, если количество одного из двух видов сырья I или III вида принадлежит соответственно промежутку                           (800-80;800+400)=(720;1200) или (120-120;120+13 1/3)=(0;133 1/3), а количество сырья остальных видов остается первоначальным, то оптимальные двойственные оценки - неизменны. Они также неизменны, если количество сырья II вида принадлежит интервалу (400;¥), а количество остальных ресурсов остается первоначальным.

      Таким образом, в интервалах , и при поочередной неизменности остальных видов сырья оптимальные двойственные оценки , и служат показателями экономической эффективности использования ресурсов.

4. Выявить изменение выручки (прибыли) от реализации продукции, определяемой оптимальным планом её производства при изменении объёмов производственного потребления ресурсов (Db_i). Произвести анализ влияния изменений ресурсов по отдельности и одновременно.

    По  условию , , . Следует выяснить, остается ли  оптимальным решением двойственной ЗЛП при указанном изменении количества ресурсов или нет; для этого нужно проверить, удовлетворяют данные значения , и системе неравенств (1) или нет.

     При одновременном изменении  объемов ресурсов в указанных размерах, оптимальное решение двойственной задачи изменится. Найдем его с помощью программного пакета MS Excel.

    Таким образом объем реализации составит:

       при

    Это означает, что уменьшение количества сырья II вида на 10 кг. и увеличение количества сырья I и III видов соответственно на 50 и 70 кг. приведет к возможности формирования такого плана выпуска изделий, при котором суммарная величина их реализации возрастет на 186200-162000=      = 24200 руб.

      Влияния изменений количеств  ресурсов в отдельности на  суммарный объем реализации составят:

    I  вид сырья:  Þ руб.

    II вид сырья: Þ руб.

    III вид сырья: Þ для определения изменения объема реализации продукции определяем новый оптимальный план прямой ЗЛП при измененном количестве ресурса вида III.

    Таким образом объем реализации составит:

       при , т.е. увеличение количества сырья III вида соответственно на 70 кг приведет к возможности формирования такого плана выпуска изделий, при котором суммарная величина реализации возрастет на 177333 1/3 -162000= 15333 1/3  руб.

    Задача 2.

По заданным матрицам выигрышей требуется:

1. Определить оптимальные значения вероятностей применения стратегии фирмами А и В.

2.  Самостоятельно  обозначить проблему и стратегии  ее решения.

3. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам решения.

            B₁ B₂  B₃   B₄  B₅

     Решение:

    Определяем  нижнюю цену игры:

    Определяем  верхнюю цену игры:

    Так как  , то игра не решается в чистых стратегиях.

    Составим  симметричную пару ЗЛП для фирм В и А соответственно:

     С применением  программного пакета MS Excel, получаем следующие результаты (расчеты и отчеты MS Excel приведены в приложении 2):

    (оптимальный  размер выигрыша фирмы А и проигрыша фирмы В, % ). Выполняется требование основной теоремы:

    16<27<35

    Вывод: Фирмы А и В с применением оптимальных смешанных стратегий улучшают свое положение по отношению  нижних и верхних цен игры. Улучшение состоит в том, что фирма А, придерживаясь своих оптимальных стратегий, овладеет на 11% больше рынка сбыта продукции y фирмы В, чем при реализации максиминной стратегии. В свою очередь, фирма В снижает цену игры на 8% по сравнению с ценой, достигаемой при минимаксной чистой стратегии.

    Так как оптимальные вероятности  применения стратегии находят отражение  в степени риска, вводим процентную шкалу измерения риска в интервале [0;100]: 0% - отсутствие риска,  100% - максимальный (абсолютный) риск.

      Риск для фирмы А, состоящий в применении стратегии А_i, соответствует R_i %, а для фирмы В – r_j %.

    Если  фирма А будет применять стратегии А1 и А2 риск будет максимальным R₁=R₂=100%, и будет состоять в том, что фирма выиграет меньше 27% доли рынка.

    Если  фирма В будет пользоваться стратегиями В₁, В₂, В₅ (R₁=R₂=R₅=100%), то она проиграет более чем 27% доли рынка сбыта своей продукции. 

    Задача  3.

     Рассчитать  значение коэффициентов полных затрат, валовых выпусков отраслей и составить МОБ для 3-отраслевой экономики (цифры условные) по следующим данным:

     Решение:

     Простейшая  базовая модель МОБа В. Леонтьева  в векторно-матричной записи выглядит так:

    где - вектор – столбец валовой продукции отраслей. 

           - вектор – столбец конечной продукции отраслей.

           А=(a_ij) – матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

1. Определяем матрицу коэффициентов полных материальных затрат, которая имеет вид:

Расчеты выполняем с помощью программного пакета MS Excel:

2. Определяем величины валовых выпусков отраслей, т.е. значения вектора-столбца по формуле:

         где, Е – единичная матрица размерности n x n.

Получаем:    

3. Выпуск  продукции прямо пропорционален затратам:

Получаем  значения :

Пусть V_j : m_j=1 : 4,  j=1;3, тогда:

    Составляем таблицу МОБ для 3-отраслевой экономики:

    Задача  4.

     В соответствии с динамической моделью  МОБа для замкнутой производственной системы составить прогнозную таблицу МОБа по двум укрупнённым отраслям с глубиной прогнозирования t=2 года.

     Решение:

    Динамическая  модель замкнутой производственно  – экономической системы, представляющей собой линейную однородную систему дифференциальных уравнений выглядит так (в матричной записи):

                                        (2)

    где  - вектор – столбец конечного использования продукции отраслей в году t;

     - матрица коэффициентов прямых  материальных затрат;

     - матрица коэффициентов капиталоемкости  приростов производства.

Общее решение системы (2) имеет следующий аналитический вид:

                                                 (3)

    Выполняем расчет параметров аналитического решения (3): , , .

    1. Вычисляем матрицы  и (расчеты выполняем с помощью программного пакета MS Excel):

                 ,      .

    2.  Находим корни  характеристического уравнения:

    3. Рассчитываем - соответствующие собственные векторы матрицы , , которые являются решениями (бесконечными) алгебраической системы однородных уравнений:

    Получаем:           Þ    ; 

                           Þ  

4. Определяем значения постоянных   и   из системы уравнений  

    где, Y(0) – вектор – столбец конечного  использования продукции отраслей в базисном году.

      и  .

    5.  Аналитическое решение приобретает  вид:

                  .

    6.  Глубина прогнозирования  t=2 года, поэтому

    7. Составляем таблицу МОБа на 2003 г.

Валовые выпуски отраслей:   ,

Выпуск  продукции по отраслям:   .

    Таблица МОБ для 2-отраслевой экономики: