Планирование эксперемента

Оглавление

Аннотация

 Данная работа выполнена  на 22 листах. В ней рассмотрены: задачи с несколькими выходными параметрами, принятие решений перед планированием эксперимента, дробная реплика, регрессионный анализ. Работа содержит две таблицы, одну блок-схему, а также  сделаны выводы, приведен список используемой литературы.

1 О задачах с несколькими выходными параметрами

Задачей планирования эксперимента является разработка рекомендаций или производственного процесса на основе исследования предварительных опытных данных для дальнейшей их реализации и построения математической модели исследуемого процесса с целью дальнейшего прогнозирования производства.

Выходные параметры – это реакции (отклики) на воздействие входных параметров (факторов). Отклик зависит от специфики исследования.

 Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные преимущества. Но на практике чаще всего приходиться учитывать несколько выходных параметров. Так, например, при производстве аппаратов воздушного охлаждения приходится учитывать, физико-механические, экономические, технико-технологические и другие параметры (надежность, долговечность, безопасность, рентабельность и так далее). Математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно.

Необходимо исследовать возможность уменьшения числа выходных параметров, то есть воспользоваться корреляционным анализом. Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки зрения цели исследования, при ограничениях, налагаемых другими функциями. В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. Ранговый параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В простейшем случае область содержит два значения: да, нет, хорошо, плохо. (2)

В ходе исследования могут меняться априорные представления об объекте исследования. Что приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации.

Корреляция – это статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции

Между всевозможными парами параметров необходимо вычислить коэффициент парной корреляции, который является общепринятой в математической статистике характеристикой связи между двумя случайными величинами. Если обозначить один параметр через у1, а другой – через у2, и число опытов, в которых они будут измеряться, - через N, так, что u =1,2,3…,

Где u – текущий номер опыта, то коэффициент парной корреляции r – вычисляется по формуле:

Здесь

     и    

где - средние арифметические соответственно для у1 и у2.

Значения коэффициента парной корреляции могут лежать в пределах от -1 до +1. Если с ростом значения одного параметра возрастает значение другого, у коэффициента будет знак плюс, а если уменьшается, то минус. Чем ближе найденное значение к единице, тем сильнее значение одного параметра зависит от того, какое значение примет другой, то есть  между такими параметрами существует линейная связь, и при изучении процесса можно рассматривать только один из них. Необходимо помнить, что коэффициент парной корреляции как мера тесноты связи имеет четкий математический смысл только при линейной зависимости между параметрами и в случае нормального их распределения.

Для проверки значимости коэффициента парной корреляции нужно сравнить его значение с критическими (табличными) значением r, которые приведены в таблице 1.1. Для пользования этой таблицей нужно знать число степеней свободы f=N-2 и выбрать определенный уровень значимости, например, равный 0,05. Такое значение уровня значимости называют еще     5%-ным уровнем риска, что соответствует вероятности верного ответа при проверке нашей гипотезы Р=1-α=0,95, или 95%. Это значит, что в среднем только в 5% случаев возможна ошибка при проверке гипотезы.

Таблица 1.1

В практических исследованиях 5%-ный уровень риска применяется наиболее часто, но возможны ситуации, в которых, например, требуется 1%-ный уровень риска. При этом возрастает надежность ответа. Проверка гипотезы сводится к сравнению абсолютной величины коэффициента парной корреляции с критическим значением. Если экспериментально найденное значение r меньше критического, то нет оснований считать, что имеется тесная линейная связь между параметрами, а если больше или равно, то гипотеза о корреляционной линейной связи не отвергается.

  При высокой значимости  коэффициента корреляции любой  из двух анализируемых параметров  можно исключить из рассмотрения  как не содержащий дополнительной информации об объекте исследования. Исключить можно тот параметр, который технически труднее измерять, или тот, физический смысл менее ясен. При планировании эксперимента целесообразно измерять все параметры, затем оценить корреляцию между ними и строить модели для их минимально возможного числа или же воспользоваться обобщенным параметром.

2 Принятие решений  перед планированием эксперимента

При выборе области эксперимента, прежде всего надо оценить границы областей определения факторов. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов.

Первый тип – принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор – температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитность отдельных компонентов, временем введения процесса.

Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.

Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже подвергался некоторым исследованиям. Информацию, содержащеюся в результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (полученной до начала эксперимента). Мы можем использовать априорную информацию для получения представления о параметре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере поверхности отклика, то есть о том, как сильно меняется параметр оптимизации при небольших изменениях значений факторов, а также о кривизне поверхности. Для этого можно использовать графики однофакторных экспериментов, осуществляющихся в предыдущих исследованиях. Если однофакторную зависимость нельзя представить линейным уравнением. То в многомерном случае, несомненно, будет существенная кривизна.

 Итак, выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

Теперь в области определения надо найти локальную подобласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти включает два этапа

1. Выбор основного уровня
2. Выбор интервалов варьирования

Выбор основного уровня.

Лучшим условиям, определенным из анализа априорной информации, соответствует комбинация уровней факторов. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Назовем ее нулевым уровнем(основным). Построение плана эксперимента сводиться к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

Если имеются сведения о координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.

Положение усложняется, если эта точка лежит на границе (или весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.

Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные процессы, из теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.

Возможен случай с несколькими эквивалентными точками, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополнительные данные выбор произволен. Если эксперимент недорог и требует немного времени, можно приступить к построению планов экспериментов вокруг нескольких точек.

Для наглядности построим блок – схему о принятии решений при выборе основного уровня

блок – схема о принятии решений при выборе основного уровня

после того как нулевой уровень выбран, выбираем интервалы варьирования.

Выбор интервалов варьирования.

Выбираются для каждого фактора два уровня, верхний уровень и нижний уровень, на которых фактор будет варьироваться в эксперименте.

Интервалом варьирования факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого дает верхний, а вычитание – нижний уровни фактора, то есть интервал варьирования – это расстояние на координатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем. Таким образом, задача выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала варьирования.

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний -1, а основной – нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда можно сделать с помощью преобразования:

Где – кодированное значение фактора,

- натуральное значение  фактора

- натуральное значение  основного уровня

- интервал варьирования

- номер фактора

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень обозначается +1, а другой -1; порядок уровней не имеет значения.

На выбор интегралов варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается значительная неопределенность выбора, которая устраняется с помощью интуитивных решений.

Выбор интервалов варьирования – это задача, связанная с неформализованным этапом планирования эксперимента. Априорная информация, которая может быть полезна на данном этапе – это сведения о точности, с которой экспериментатор фиксирует значения факторов, о кривизне поверхности отклика и о диапазоне изменения параметра оптимизации. В ходе эксперимента эти сведения часто приходится корректировать.

Точность фиксирования факторов определяется точностью приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы принятия решений вводят приближенную классификацию, пологая, что есть низкая, средняя и высокая точности.

Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут служить графики однофакторных зависимостей, а также теоретические соображения. Из графиков сведения о кривизне можно получить визуально. Некоторые представления о кривизне дает анализ табличных данных, так как наличию кривизны соответствует непропорциональное изменение параметра оптимизации при равномерном изменении фактора.

Различают три случая:

- функция отклика линейна

- функция отклика существенно не линейна

- информация о кривизне  отсутствует

Также необходимо знать, в каких диапазонах меняются значения параметра оптимизации в разных точках факторного пространства. Если имеются результаты некоторого множества опытов, то всегда можно найти наибольшее или наименьшее значение параметра оптимизации. Разность между этими значениями называется диапазоном изменения параметра оптимизации для данного множества опытов. Различают широкий и узкий диапазоны. Диапазон будет узким, если он несущественно отличается от разброса значений параметра оптимизации в повторных опытах. В противном случае диапазон                                                                                                                                                                             считается широким. Учитывается также случай, когда информация отсутствует. Итак, для принятия решений используется априорная информация о точности фиксирования факторов, кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оптимизации. Каждое сочетание градаций перечисленных признаков определяет ситуации, в которой нужно принимать решение.

Выбрав основной уровень и интервалы варьирования строят план проведения эксперимента.

3 Дробная реплика

Дробный факторный эксперимент применяется для облегчения поиска коэффициентов математической модели.

Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, пользуются половиной полного факторного эксперимента 23, или «полурепликой». Если *3 приравнять к –*1*2, то получим вторую половину матрицы 23. В этом случае: b1→β1−β23; b2→β2−β13; b3→β3−β12. При реализации обеих полуреплик можно получить раздельные оценки для линейных эффектов взаимодействия.

Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 23.

Матрица из восьми опытов для четырех факторного планирования будет полурепликой от полного факторного эксперимента 24, а для пятифакторного планирования – четверть – репликой от 25. В этом случае два линейных эффекта приравниваются к эффектам взаимодействия. Для обозначения дробных реплик, в которых pлинейных эффектов приравнены к эффектам взаимодействия, удобно пользоваться условным обозначением 2k-p. Так полуреплика от 26 запишется в виде 26-1, а четверть реплика от 25 – в виде 25-2.

Условные обозначения дробных реплик и количество опытов приведины в таблице 3.1

Таблица 3.1

 Дробные реплики находят широкое применение при получении линейных моделей. Целесообразность их применения возрастает с ростом количества факторов. В таблице 3.1 показано, что при исследовании влияния 15 факторов можно в 2048 раз сократить число опытов, применяя реплику большей дробности (16 опытов вместо 32768). Эффективность применения дробных реплик зависит от удачного выбора системы смешивания линейных эффектов с эффектами взаимодействия, а также от умелой стратегии экспериментирования в случае значимости некоторых взаимодействий. Априорные сведения о взаимодействиях могут оказать большую услугу экспериментатору.

При построении дробных реплик используют следующее правило: для того чтобы сократить число опытов при введении в планирование нового фактора, нужно поместить этот фактор в вектор – столбец матрицы, принадлежащий взаимодействию, которым можно пренебречь.

Реплики, которые используются для сокращения опытов в 2m раз, где m=1,2,3, 4…, называются регуляторами.

При применении дробных реплик линейные эффекты смешиваются с эффектами взаимодействия. Чтобы определить систему смешивания, нужно знать определяющие контрасты и генерирующие соотношения. Определяющим контрастом называется символическое обозначение произведения любых столбцов, равное 1.

Чтобы определить, какие взаимодействия смешаны с данным линейным эффектом, нужно умножить определяющий контраст на этот линейный эффект и получить генерирующие соотношения.

Эффективность реплики зависит от системы смешивания. Реплики, у которых линейные эффекты смешены с взаимодействиями наивысшего порядка, является наиболее эффективными, так как обладают наибольшей разрешающей способностью.

Для освобождения линейных эффектов от взаимодействий первого порядка можно использовать метод «перевала». Смысл метода в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны исходной реплике.

С ростом числа факторов быстро увеличивается число реплик различной дробности. Эти реплики характеризуются обобщающими определяющими контрастами, которые получаются перемножением по два, по три и т.д. исходных определяющих контрастов.

4 Регрессионный  анализ

Регрессионный анализ, как всякий статистический метод, применим при определенных предположениях, постулатах.

Первый постулат.

Параметр оптимизации y - есть случайная величина с нормальным знаком распределения. Дисперсия воспроизводимости – одна из характеристик закона распределения.

При наличии большого экспериментального материала (десятки параллельных опытов) гипотезу о нормальном распределении можно проверить стандартными тестами.

В том, что у величина случайная величина сомневаться не приходится.

При нарушении нормальности мы лишаемся возможности установления вероятностей, с которыми справедливы те или иные высказывания. Поэтому нужно очень внимательно относится к возможным нарушениям предпосылок.

Второй постулат.

Дисперсия у не зависит от абсолютной величины у.

Выполнимость этого постулата проверяется с помощью критериев однородности дисперсии в различных точках факторного пространства. Нарушение этого постулата недопустимо. Если однородность дисперсий все же отсутствует, то необходимо такое преобразование у, которое делает дисперсии однородными. Для этого пользуются логарифмическим преобразованием.

Третий постулат.

Значение факторов – неслучайные величины. Это означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем ошибка во производимости.

Нарушение этого постулата приводит к трудностям при реализации матрицы планирования.

Четвертый постулат.

Налагает ограничения на взаимосвязь между значениями факторов. Он выполняется автоматически в силу ортогональности матрицы планирования.

Если с постулатами все в порядке, то можно проверять статистические гипотезы.

5 Выводы

Планирование эксперимента – это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При этом необходимо придерживаться следующих ограничений:

1. общее число опытов  должно быть по возможности  минимальным;

2. необходимо одновременно  изменять все переменные, определяющие (влияющие) процесс. Причем это изменение  должно происходить по определенным  правилам - алгоритмам;

3. при описании исследований  необходимо использовать математический  аппарат, формализующий действия  экспериментатора;

4. в процессе проведения  и планирования эксперимента  необходимо придерживаться четкой  стратегии, позволяющей принимать  обоснованные

решения после каждой серии экспериментов.

Задачей ≪Планирования эксперимента≫ является разработка рекомендаций или производственного процесса на основе исследования предварительных опытных данных для дальнейшей их реализации и построения математической модели исследуемого процесса с целью дальнейшего прогнозирования производства.

При планировании экстремального эксперимента важно определить параметр, который нужно оптимизировать.

Параметр оптимизации является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение выбранной системы.

Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные преимущества. Но на практике чаще всего приходиться учитывать несколько выходных параметров.

Математические модели можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать несколько функций невозможно.

Всегда полезно использовать возможность уменьшения числа выходных параметров. Для этого пользуются корреляционным анализом.

В тех случаях, когда возникают трудности с количественной оценкой параметров оптимизации, приходится обращаться к ранговому подходу. В ходе исследования могут манятся априорные представления об объекте исследования, что приводит к последовательному подходу при выборе параметра оптимизации.

Из многих параметров, характеризующих объект исследования, только один, часто обобщенный, может служить. Остальные рассматриваются как ограничения.

При выборе области эксперимента учитываются три типа ограничений

- первый тип – принципиальные  ограничения для значений факторов

- второй тип – ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями

- третий тип – определяется конкретными условиями эксперимента

Выбор экспериментальной области факторного пространства связан с тщательным анализом априорной информации.

Проанализировав априорную информацию определяют локальную подобласть для планирования эксперимента. Выбор этой подобласти происходит в два этапа:

- выбор основного(нулевого) уровня -  это многомерная точка  в факторном пространстве, задаваемая  комбинацией уровней факторов.

- выбор интервалов варьирования  факторов. Для каждого фактора определяется два уровня, на которых он варьируется в эксперименте. Один из уровней – верхний, другой – нижний. Интервалом варьирование называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний, а вычитание – нижний уровень.

 Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней, называется полным факторным экспериментом. Условия эксперимента представляют в виде таблицы - матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов.

Коэффициенты, вычисленные по результатам эксперимента, указывают на силу влияния факторов. Эффект фактора численно равен удвоенному коэффициенту. В тех случаях, когда эффект, одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, говорят о наличии эффекта взаимодействия двух факторов. Для его количественной оценки получают столбец произведений этих факторов и обращаются с ним как с вектор-столбцом любого фактора. В полном факторном эксперименте разность между числом опытов и числом коэффициентов велика. Возникает проблема уменьшения числа опытов.