Погрешности измерительных преобразователей
Содержание
1. Погрешности измерительных преобразователей. Методы компенсации систематических погрешностей. Оценки случайных погрешностей. Законы распределения.
2. Пьезоэлектрические и магнитоупругие датчики динамических величин: принцип действия и характеристики.
3. Литература.
1. Погрешности
измерительных
Измерительные преобразователи
Согласно ГОСТ 16263 - 70 измерительный преобразователь
- это средство измерений, предназначенное
для выработки сигнала измерительной
информации в форме, удобной для передачи,
дальнейшего преобразования, обработки
и (или) хранения, но не поддающейся непосредственному
восприятию наблюдателем. Принцип их действия
основан на различных физических явлениях.
Измерительные преобразователи преобразуют
любые физические величины х (электрические, неэлектрические,
магнитные) в выходной электрический сигнал Y = f(х). Измерительные преобразователи
являются составными частями измерительных
приборов, установок и систем. Измерительные
преобразователи можно классифицировать
по характеру входной и выходной величин,
месту в измерительной цепи, физическим
явлениям, положенным в их принцип действия,
и другим признакам (рис.1).
Физические величины могут быть непрерывными
по значению и квантованными (они представляются
обычно кодовыми сигналами). Если входная
и выходная величины измерительного преобразователя
– непрерывные величины, такой преобразователь
называют – аналоговым. Измерительный
преобразователи одного кодового сигнала
в другой получили название кодовых. Преобразователи
аналог-код превращают непрерывную величину
в кодовый сигнал, а преобразователи код-аналог
- кодовый сигнал в сигнал, непрерывный
по значению (например, преобразователь
двоичного числа в постоянное напряжение).
Рис.1 Классификация измерительных преобразователей.
По месту, занимаемому в измерительной
цепи, средства измерения, преобразователи
подразделяются на первичные, передающие,
промежуточные, выходные и обратные. Первичный преобразователь
— это преобразователь, к которому
подведена измеряемая величина. Для первичных
преобразователей характерно то, что на
них воздействует непосредственно измеряемая
величина. Физическая величина, в которую
преобразует измеряемую величину первичный
преобразователь, может быть подведена
к измерительному механизму, может быть
подана на другой преобразователь или
использована, например, для целей телеизмерений.
Примером первичного преобразователя
может служить термопара в цепи термоэлектрического
термометра. Конструктивно обособленный
первичный измерительный преобразователь,
от которого поступают сигналы измерительной
информации, называется датчиком. Датчик может
быть вынесен на значительное расстояние
от средства измерений, принимающего его
сигналы. Например, датчики запущенного
метеорологического радиозонда передают
измерительную информацию о температуре,
давлении, влажности и других параметрах
атмосферы; тензопреобразователь, наклеенный
на упругий элемент и воспринимающий его
деформацию, также является датчиком. Передающий преобразователь
- измерительный преобразователь,
служащий для дистанционной передачи
измерительной информации. Для этих преобразователей
характерно назначение величины, образуемой
на его «выходе». Очевидно, что преобразователь
может одновременно выполнять функции
первичного и передающего.
Промежуточный преобразователь
— преобразователь, занимающий в измерительной
цепи место после первичного.
Выходной преобразователь
– преобразователь, стоящий последним
в измерительной цепи. Он снабжается отсчетным
или регистрирующим устройством, фиксирующим
значение измеряемой величины.
Измерительные приборы сравнения имеют
две цепи – прямого преобразования, начиная
от входной величины, и обратного преобразования
– к входной величине. Измерительные преобразователи,
стоящие в цепи обратного преобразования,
получили название обратных.
Для изменения в определенное число раз
значения одной из величин, действующих
в измерительной цепи, без изменения ее
физической природы используют масштабные преобразователи:
делители напряжения, измерительные трансформаторы
тока, измерительные усилители и т. п.
Полезно также все измерительные преобразователи
разделить на две группы: генераторные
(энергетические) и параметрические. Первые
характеризуются тем, что для осуществления
преобразования не требуется постороннего
источника энергии. Измерительный преобразователь
её вырабатывает сам за счет воздействия
преобразуемой величины. Параметрические
же преобразователи должны быть возбуждены
от постороннего источника энергии. Например,
преобразователь в виде термопары для
измерения температуры сам вырабатывает
электрическую энергию, а термометр сопротивления
(нагреваемая проволока) может осуществлять
преобразование температуры в сопротивление
только будучи нагретым источником электрического
тока. Измерительные преобразователи
могут быть встроены в корпус прибора
и вместе с другими его устройствами образовать
единую конструкцию. В этом случае метрологические
характеристики нормируются для измерительного
прибора в целом. В тех случаях, когда измерительные
преобразователи (один или несколько)
являются конструктивно обособленными
элементами, метрологические характеристики
нормируются на эти элементы. Это очень
важно при построении измерительных средств
на базе блочно-модульного принципа, при
построении измерительных установок и
систем, которые могут включать десятки
различных измерительных преобразователей.
Измерительные преобразователи бывают взаимозаменяемыми, ограниченно-взаимозаменяемыми
и невзаимозаменяемыми
или индивидуальными. Взаимозаменяемые преобразователи
могут без каких-либо ограничений заменять
друг друга. При такой замене свойства
прибора не должны измениться. Для того
чтобы обеспечивалась такая взаимозаменяемость,
нормируют ряд характеристик преобразователей.
Для них устанавливают и стандартизуют
рациональный ряд коэффициентов преобразования.
Под коэффициентом преобразования понимается
отношение значения величины на входе
преобразователя к значению соответствующей
ей величины на выходе. Важные характеристики
взаимозаменяемых преобразователей следующие:
- значение входной и выходной величин
каждой в отдельности. Так, например, государственными
стандартами устанавливаются следующие
диапазоны изменения входных и выходных
величин: сила постоянного электрического
тока I= = 0…5 мA; 0…20 мA, постоянное напряжение
U= = 0…10 В, переменное напряжение U~ = 0…2
В, частота электрических колебаний f = 1500…2500 Гц; 4000…8000 Гц.
Установление определенного ряда этих
значений и обеспечивает широкую взаимозаменяемость
преобразователей. Благодаря установлению
таких рядов значительно сокращается
количество разновидностей первичных
преобразователей и вторичных устройств
(конструктивно обособленная остальная
часть элементов измерительной цепи).
Для большинства взаимозаменяемых преобразователей
устанавливают классы точности. При выборе
преобразователя стремятся к тому, чтобы
его класс точности, если это возможно,
был выше класса точности измерительного
прибора, применяемого с преобразователем,
иначе говоря, чтобы применение преобразователя
как можно меньше снижало общую точность
измерения данным прибором. Требования,
предъявляемые к взаимозаменяемым преобразователям,
весьма высоки. В ряде случаев некоторые
из них невыполнимы или выполнение их
экономически нецелесообразно. Тогда
их применяют ограниченно, причем ограничение
накладывают на какое-либо одно требование.
Чаще всего взаимозаменяемые преобразователи
используют только для измерительного
прибора одного вида или типа, а иногда
даже только одной его конструкции, о чем
на преобразователе делается соответствующая
надпись. Применение индивидуальных (невзаимозаменяемых)
преобразователей позволяет улучшить
метрологические характеристики измерительного
прибора и установки за счет специальных
регулировок.
Погрешности средств измерений
Составляющая погрешности измерений,
обусловленная свойствами применяемых
средств измерений (далее СИ), называется инструментальной погрешностью
измерения. Эта погрешность является
важнейшей метрологической характеристикой
СИ и определяет, насколько действительные
свойства средств измерений близки к номинальным.
Согласно ГОСТ 8.009-84, следует различать
четыре составляющие погрешности средств
измерений: основную; дополнительную;
обусловленную взаимодействием средств
и объекта измерений; динамическую.
Основная
погрешность. Она обусловлена неидеальностью собственных
свойств средств измерений и показывает
отличие действительной функции преобразования
средств измерений в нормальных условиях
от номинальной функции преобразования.
По способу числового выражения основной
погрешности различают абсолютную, относительную
и приведенную погрешности. Абсолютная погрешность измерительного
прибора - разность между показанием
прибора Хп и истинным значением Хи измеряемой величины: DХ = Хп – Хи. Абсолютная погрешность,
взятая с обратным знаком, называется
поправкой: П = - DХ. Под абсолютной погрешностью
меры DХ понимается разность
между номинальным значением меры Хн и действительным значением
воспроизводимой ею величины Хд :
DХ = Хн—Хд. Относительная погрешность
измерительного прибора в процентах
- отношение абсолютной погрешности к
истинному значению измеряемой величины:
.
Относительная погрешность
обычно существенно изменяется вдоль
шкалы аналогового прибора, с уменьшением
значений измеряемой величины - увеличивается.
Если диапазон измерения прибора охватывает
и нулевое значение измеряемой величины,
то относительная погрешность обращается
в бесконечность в соответствующей ему
точке шкалы. В этом случае пользуются
понятием приведенной погрешности.
Приведенная погрешность
измерительного прибора в процентах
- отношение абсолютной погрешности к
нормирующему значению ХN :
.
За нормирующее значение
принимается значение, характерное для
данного вида измерительного прибора.
Это может быть, например, верхний предел
измерений, длина шкалы и т.д. Например,
приведенная погрешность вольтметра с
верхним пределом измерения 150 В при показании
его 100,0 В и действительном значении измеряемого
напряжения 100,6 В равна 0,4 % (нормирующее
значение в данном случае равно 150 В). Точность
ряда средств измерений с различными диапазонами
измерений может сопоставляться только
по их приведенным погрешностям.
Основная погрешность прибора
- погрешность при нормальных условиях
использования прибора. Нормальные условия
эксплуатации зависят от назначения прибора
и его метрологических характеристик.
Для основной массы приборов, используемых
в промышленности, нормальными условиями
эксплуатации СИ считаются : температура
окружающего воздуха (20±5) °С; относительная
влажность 30-80 %; атмосферное давление
630-795 мм рт. ст.; напряжение питающей сети
(220+4,4) В; частота питающей сети (50±0,5) Гц.
По характеру влияния на функцию преобразования
ее можно представить в виде аддитивной и мультипликативной
составляющих.
Аддитивная погрешность а
не зависит от чувствительности прибора
и является постоянной для всех значений
входной величины в пределах диапазона
измерений и поэтому её называют погрешностью
нуля. Мультипликативная погрешность
b×х зависит от чувствительности прибора
и изменяется пропорционально текущему
значению входной величины и поэтом её
называют погрешностью чувствительности. Суммарная абсолютная погрешность
выражается уравнением D = a + b×x, т.е. аддитивная
и мультипликативная погрешности присутствуют
одновременно.
К аддитивной погрешности прибора можно
отнести погрешность, вызванную трением
в опорах электроизмерительных приборов,
которая не зависит от значения входного
сигнала, а также помехи, шумы, погрешность
дискретности (квантования) в цифровых
приборах. Если прибору присуща только
аддитивная погрешность или она существенно
превышает другие составляющие, то целесообразно
нормировать абсолютную погрешность.
К мультипликативной погрешности можно
отнести погрешности изготовления добавочного
резистора в вольтметре или шунта в амперметре,
погрешности коэффициента деления делителя
и т. д. Мультипликативная составляющая
абсолютной погрешности увеличивается
с увеличением измеряемой величины, а
так как относительная погрешность остается
постоянной, то в этом случае целесообразно
нормировать погрешность прибора в виде
относительной погрешности. Аддитивная
и мультипликативная погрешности могут
иметь как систематический, так и случайный
характер. Систематическая погрешность
средства измерений - составляющая
погрешности средства измерения, остающаяся
постоянной или закономерно изменяющаяся
при многократных измерениях одной и той
же величины. К постоянным систематическим
погрешностям относят погрешности градуировки
шкалы аналоговых приборов; калибровки
цифровых приборов; погрешности, обусловленные
неточностью подгонки резисторов, температурными
изменениями параметров элементов в приборах
и т.д. К переменным систематическим погрешностям
относят погрешности, обусловленные нестабильностью
напряжения источника питания, влиянием
электромагнитных полей и других величин. Случайная погрешность средства
измерений - составляющая погрешности
средства измерений, изменяющаяся случайным
образом. Случайные погрешности могут
возникнуть из-за нестабильности переходного
сопротивления в контактах коммутирующих
устройств, трения в опорах подвижной
части приборов и т. д. К случайным погрешностям
относятся также погрешности от гистерезиса
-вариации показаний выходного сигнала
средства измерения.
Таким образом, при определении основной
погрешности абсолютная погрешность может
быть представлена ее составляющими -
систематической и случайной.
Дополнительная
погрешность. Дополнительная
погрешность обусловлена реакцией средства
измерений на отклонение условий эксплуатации
от нормальных. В эксплуатационных условиях
при установке прибора, например, на самолет,
ему приходится работать при изменении
температуры от - 60 до +60 °С, давления - от
1000 до 100 ГПа, напряжения питания - на ±20
%, коэффициента гармоник - от 1 до 10 % и т.
д. Это приведет к появлению погрешностей,
естественно, больших, чем в нормальных
(лабораторных) условиях или условиях
поверки.
Если статическая характеристика преобразования
средства измерений имеет вид y =F(x, x1, x2,…, xn), где y - выходная величина; х — входная величина;
x1, x2,…, xn - влияющие величины, то изменение
выходной величины Dy определяется не только
изменением измеряемой величины Dх, но и изменениями влияющих
величин Dx1, Dx2,…, Dxn. В этом случае
.
В этом выражении второй и последующие
члены правой части являются составляющими
погрешности. Если изменения влияющих
величин находятся в пределах нормальных
условий, то все указанные составляющие
входят в состав основной погрешности.
При отклонении влияющих величин за пределы
нормальных условий приращения указанных
составляющих образуют дополнительные
погрешности от изменения величин x1, x2,…,
xn. Функции называют функциями влияния, в которых
x1 норм , x2 норм , … xn норм - нормальные значения
влияющих величин; x1, x2,…, xn - влияющие величины,
для которых определяют дополнительные
погрешности. Производные
,
, … ,
называют коэффициентами влияния.
Дополнительные погрешности
нормируются указанием коэффициентов влияния
изменения отдельных влияющих величин
на изменение показаний в виде: yq , % / 10 К - коэффициент влияния
от изменения температуры на 10 К; yU, % / (10
% DU/U) – коэффициент влияния от изменения
напряжения питания на 10 % и т. д. Хотя фактически
эти функции влияния влияющих факторов,
как правило, нелинейны, для простоты вычислений
их приближенно считают линейными и возникающие
дополнительные погрешности определяют
как gдоп = y×Dq, где y - коэффициент
влияния; Dq - отклонение от нормальных
условий. Погрешность прибора в реальных
условиях его эксплуатации называется эксплуатационной и складывается
из его основной погрешности и всех дополнительных
и может быть, естественно, много больше
его основной погрешности. Таким образом,
деление погрешностей на основную и дополнительные
является чисто условным и оговаривается
в технической документации на каждое
средство измерений.
Погрешность, обусловленная взаимодействием средств измерений и объекта измерения. Подключение средства измерений к объекту измерений во многих случаях приводит к изменению значения измеряемой величины относительно того значения, которое она имела до подключения средства измерения к объекту измерений и определение которого является целью измерений. Эта составляющая зависит от свойств средства измерений и объекта измерений. В тех случаях, когда средство измерения используется для измерения постоянной или переменной во времени величины для его характеристики используют понятия статической и динамической погрешностей. Статическая погрешность - это погрешность средства измерения, используемого для измерения постоянной величины. Например, погрешности, возникающие при измерении постоянного напряжения или частоты генератора образцовых частот, являются статическими погрешностями.
Динамическая
погрешность. Динамическая погрешность
средства измерения - это разность
между погрешностью средства измерений
в динамическом режиме и его статической
погрешностью, соответствующей значению
величины в данный момент времени. Она
обусловлена реакцией средства измерения
на скорость (частоту) изменения входного
сигнала. Эта погрешность зависит от динамических
свойств (инерционности) средства измерения,
частотного спектра входного сигнала,
изменений нагрузки и влияющих величин.
На выходной сигнал средства измерений
влияют значения входного сигнала и любые
изменения его во времени. Различают полную
и частную динамические характеристики. Полная динамическая характеристика
— характеристика, полностью описывающая
принятую математическую модель динамических
свойств средства измерений и однозначно
определяющая изменение выходного сигнала
средства измерений при любом изменении
во времени информативного или неинформативного
параметра входного сигнала или влияющей
величины. Полную динамическую характеристику
аналоговых средств измерений выбирают
из следующих характеристик: дифференциального
уравнения, передаточной функции, импульсной
и переходной характеристик, амплитудно-фазовой,
амплитудно-частотной характеристик.
При линейном, экспоненциальном и прямолинейном
изменении входной величины для нахождения
динамической погрешности используют
операторную форму записи. Абсолютная динамическая
погрешность при этом определяется
как
,
где Sp(p) и Sи(p) - операторные
чувствительности реального и идеального
средств измерений соответственно. Идеальным
в динамике принято считать линейное безинерционное
звено, т.е. звено, осуществляющее преобразование
изменения величины без искажений.
Относительная
динамическая погрешность имеет вид
.
При гармонических входных величинах
пользуются понятиями амплитудно-частотной и фазочастотной
погрешностей.
Амплитудно-частотная
,
где
и
- модули комплексной чувствительности
реального и идеального средств измерения
соответственно.
Фазочастотная погрешность
определяется как разность между фазочастотными характеристиками
реального и идеального средств измерения: Dj = jр (w) - jи (w). Частная динамическая характеристика
- любой функционал или параметр полной
динамической характеристики. К частным
динамическим характеристикам аналоговых
средств измерений можно отнести время
реакции, коэффициент демпфирования, значение
амплитудно-частотной характеристики
на резонансной частоте.
Для аналого-цифровых и цифроаналоговых
преобразователей используются другие
динамические характеристики. Ряд метрологических
характеристик подлежит нормированию
с целью единообразного определения результатов
измерений и оценки погрешностей измерений.
Компенсация систематической погрешности в процессе измерения.
В практике измерений применяется несколько методов, позволяющих за счет некоторого усложнения процедуры измерений получить результат измерения свободным от систематической погрешности. К ним относятся метод замещения, метод противопоставления и метод компенсации погрешности по знаку.
- Метод замещения
Этот метод дает наиболее полное решение задачи компенсации постоянной систематической погрешности и представляет собой разновидность метода сравнения. Сравнение производится путем замены измеряемой величины известной величиной и так, чтобы воздействием известной величины привести средство измерения в то состояние, которое оно имело при воздействии измеряемой величины.
Пример. Взвешивание на пружинных весах, у которых имеется постоянная систематическая погрешность (из-за смещения шкалы, например). Взвешивание производится в два приема. Вначале на чашу весов помещают взвешиваемое тело массой Мх и отмечают положение указателя. Затем взвешиваемое тело замещают гирями такой массы Мо, чтобы вновь добиться прежнего отклонения указателя. Разность между Мх и Мо - погрешность и ее следует учесть введением поправки. Поправка равна погрешности, взятой с обратным знаком, или в единицах измеряемой величины
- Метод противопоставления
Рассмотри данный метод на следующем примере:
При взвешивании на рычажных весах условие равновесия весов равенство произведений массы на длину плеча весов. Если длины плеч одинаковы, то масса груза и гирь одинаковы. Если длины плеч различны (из-за технологического разброса длин плеч при их изготовлении, например), то при взвешивании каждый раз возникает систематическая погрешность. Для исключения этой погрешности взвешивание производится в два этапа. Сначала взвешивают груз уравновешивая весы гирями (Мо1). Затем взвешиваемый груз перемещают на ту чашу весов, где прежде были гири и вновь уравновешивают весы (новой массой гирь Мо2). Как видно из формулы, длины плеч не входят в окончательный результат взвешивания.
- Метод компенсации погрешности по знаку
Этот метод также предусматривает проведение измерения в два этапа выполняемых так, чтобы постоянная систематическая погрешность входила в показания средства измерения на каждом этапе с разными знаками. За результат измерения принимают полусумму показаний — систематические погрешности при этом взаимно компенсируются.
- Суммирование систематических погрешностей
Независимо от того, к какому виду относится измерение, является ли оно прямым, косвенным совместным или совокупным, систематическая погрешность результата; измерения оценивается, как правило, по ее известным составляющим. Поскольку в каждом конкретном случае каждая систематическая составляющая получает конкретную реализацию (она либо постоянная, либо известен закон ее изменения), то результирующая, суммарная систематическая погрешность представляет собой алгебраическую сумму составляющих.
- Оценка случайных погрешностей
Задача состоит в том, чтобы по полученным экспериментальным путем результатам наблюдений, содержащим случайные погрешности, найти оценку истинного значения измеряемой величины — результат измерения. Будем полагать, что систематические погрешности в результатах наблюдений отсутствуют или исключены. К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины. Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. В том случае, когда можно найти несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается та, которая имеет наименьшую дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считают эту оценку. Способы нахождения оценок результата зависят от вида функции распределения и от имеющихся соглашений по этому вопросу, регламентируемых в рамках законодательной метрологии. Распределения погрешностей результатов наблюдений, как правило, являются симметричными относительно центра распределения, поэтому истинное значение измеряемой величины может быть определено как координата центра рассеивания Хц, т.е. центра симметрии распределения случайной погрешности (при условии, что систематическая погрешность исключена). Отсюда следует принятое в метрологии правило оценивания случайной погрешности в виде интервала, симметричного относительно результата измерения (Хц ± DХ:). Координата Хц может быть найдена несколькими способами. Наиболее общим является определение центра симметрии из принципа симметрии вероятностей, т.е. нахождение такой точки на оси х, слева и справа от которой вероятности появления различных значений случайных погрешностей равны между собой и составляют Р1 = Р2 = 0,5. Такое значение Хц называется медианой. Координата Хц может быть определена и как центр тяжести распределения, т.е. как математическое ожидание случайной величины. При асимметричной кривой плотности распределения вероятностей оценкой центра распределения может служить абсцисса моды распределения, т.е. координата максимума плотности. Однако есть распределения, у которых не существует моды (например, равномерное), и распределения, у которых не существует математического ожидания. В практике измерений встречаются различные формы кривой закона распределения, однако чаще всего имеют дело с нормальным и равномерным распределением плотности вероятностей. Учитывая многовариантность подходов к выбору оценок и в целях обеспечения единства измерений, правила обработки результатов наблюдений обычно регламентируются нормативно-техническими документами (стандартами, методическими указаниями, инструкциями). Так, в стандарте на методы обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями указывается, что приведенные в нем методы обработки установлены для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению.
Законы распределения
Пусть некоторая случайная величина (СВ) является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом распределения.
Закон распределения СВ - это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.
При построении математической модели для проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели). Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет более широкую область применения. Точно также, как и для вероятности случайного события, для закона распределения СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности, либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.
- Биномиальное распределение (распределение Бернулли)
Возникает в тех случаях, когда ставится вопрос: сколько раз происходит некоторое событие в серии из определенного числа независимых наблюдений (опытов), выполняемых в одинаковых условиях. Для удобства и наглядности будем полагать, что нам известна величина p – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель окажется покупателем и (1– p) = q – вероятность того, что вошедший в магазин посетитель не окажется покупателем. Если X – число покупателей из общего числа n посетителей, то вероятность того, что среди n посетителей оказалось k покупателей равна
P(X= k) = , где k=0,1,…n
Формулу называют формулой Бернулли. При большом числе испытаний биномиальное распределение стремиться к нормальному.
- Распределение Пуассона
Играет важную роль в ряде вопросов физики, теории связи, теории надежности, теории массового обслуживания и т.д. Всюду, где в течение определенного времени может происходить случайное число каких-то событий (радиоактивных распадов, телефонных вызовов, отказов оборудования, несчастный случаях и т.п.). Рассмотрим наиболее типичную ситуацию, в которой возникает распределение Пуассона. Пусть некоторые события (покупки в магазине) могут происходить в случайные моменты времени. Определим число появлений таких событий в промежутке времени от 0 до Т. Случайное число событий, происшедших за время от 0 до Т, распределено по закону Пуассона с параметром l=аТ, где а>0 – параметр задачи, отражающий среднюю частоту событий. Вероятность k покупок в течение большого интервала времени, (например, – дня) составит
P(Z=k) =
- Нормальное (гауссовское) распределение
Нормальное (гауссовское) распределение занимает центральное место в теории и практике вероятностно-статистических исследований. В качестве непрерывной аппроксимации к биномиальному распределению его впервые рассматривал А.Муавр в 1733 г. Через некоторое время нормальное распределение снова открыли и изучили К.Гаусс (1809 г.) и П.Лаплас, которые пришли к нормальной функции в связи с работой по теории ошибок наблюдений. Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна:
где совпадает с математическим ожиданием величины Х: =М(Х), параметр s совпадает со средним квадратическим отклонением величины Х: s =s(Х). График функции нормального распределения, имеет вид куполообразной кривой, называемой Гауссовой, точка максимума имеет координаты (а; ). Значит, эта ордината убывает с возрастанием значения s (кривая «сжимается» к оси Ох) и возрастает с убыванием значения s (кривая «растягивается» в положительном направлении оси Оу). Изменение значений параметра (при неизменном значении s) не влияет на форму кривой, а лишь перемещает кривую вдоль оси Ох. Нормальное распределение с параметрами =0 и s=1 называется нормированным. Функция распределения СВ в этом случае будет иметь вид:
.
Эта кривая при μ=0, σ=1 получила статус стандарта, ее называют единичной нормальной кривой, то есть любые собранные данные стремятся преобразовать так, чтобы кривая их распределения была максимально близка к этой стандартной кривой. Нормализованную кривую изобрели для решения задач теории вероятности, но оказалось на практике, что она отлично аппроксимирует распределение частот при большом числе наблюдений для множества переменных. Можно предположить, что не имея материальных ограничений на количество объектов и время проведения эксперимента, статистическое исследование приводится к нормально кривой.
- Равномерное распределение
Равномерное распределение вероятностей является простейшим и может быть как дискретным, так и непрерывным. Дискретное равномерное распределение – это такое распределение, для которого вероятность каждого из значений СВ одна и та же, то есть:
, где N – количество возможных значений СВ.
Распределение вероятностей непрерывной CВ Х, принимающие все свои значения из отрезка [а;b] называется равномерным, если ее плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю:
- Распределение Стьюдента
Это распределение связано с нормальным. Если СВ x1, x2, … xn – независимы, и каждая из них имеет стандартное нормальное распределение N(0,1), то СВ имеет распределение, называемое распределением Стьюдента:
2. Пьезоэлектрические и магнитоупругие датчики динамических величин: принцип действия и характеристики.
Пьезоэлектрические преобразователи
Пьезоэлектрические преобразователи - преобразователи генераторного типа. Принцип действия их основан на явлении пьезоэлектричества, характерного для определенного класса кристаллов, не имеющих центра симметрии. Пьезоэлектрические кристаллы обладают прямым пьезоэффектом, заключающимся в появлении поляризации при действии давления, и обратным, заключающимся в том, что кристаллы деформируются в электрическом поле. На использовании прямого пьезоэффекта строятся преобразователи усилий, ускорений, давлений; обратного - вибраторы, ультразвуковые излучатели и другие устройства. В пьезоэлектрических трансформаторах и преобразователях на их основе используется совместное действие прямого и обратного пьезоэффектов. В настоящее время получено большое число пьезоэлектрических материалов, которые подразделяют на две основные группы: пьезоэлектрические монокристаллы и поликристаллические материалы или пьезокерамика. Среди монокристаллических пьезоэлектриков особое место занимает кварц. Он обладает высокими значениями добротности и стабильности характеристик. Недостаток кварца — низкое значение диэлектрической проницаемости и коэффициента электромеханической связи, что ограничивает его применение в пьезоэлектрических преобразователях некоторых типов. В последнее время широкое применение находят искусственно выращиваемые монокристаллы ниобита лития, германата висмута и силиката висмута, которые имеют более высокие значения коэффициента электромеханической связи и диэлектрической проницаемости по сравнению с кварцем. Кроме того, ниобит лития обладает очень высокой температурой Кюри, а германосилиниты не имеют температуры фазового перехода, поэтому они успешно используются в условиях высоких температур. Пьезокерамические материалы получены трех разновидностей: титанат бария, соединения ниобата свинца и соединения цирконата, титаната свинца. Пьезокерамика имеет высокие значения пьезоэлектрических характеристик. Вместе с тем пьезо-элементы из пьезокерамики дешевы в изготовлении и технологичны. Недостатки пьезокерамики - более низкие по сравнению с монокристаллами временная и температурная стабильности. Пьезоэлектрический преобразователь в обычном исполнении представляет собой пьезоэлектрическую пластинку, к электродам которой подключен вольтметр, а к граням прикладывается измеряемое усилие (рис.2).
Рис.2 Пьезоэлектрический преобразователь динамических усилий
Такие преобразователи применяют только для измерения динамических усилий и не применяют для измерения статических и медленно меняющихся нагрузок. В системах автоматики промышленных производств приходится иметь дело, как правило, с медленно изменяющимися технологическими параметрами, поэтому они не нашли широкого применения в промышленности. Воздействие на преобразователь измеряемой величины осуществляется следующими способами: изменением размеров, плотности и упругих свойств самого пьезоэлемента, а также изменением акустического сопротивления (импеданса) среды, контактирующей с пьсэоэлементом, которое определяется ее плотностью, скоростью звука, контактной жесткостью и площадью контакта пьезоэлемента со средой.
В зависимости от вида воздействия на преобразователь измеряемой величины существуют различные виды пьезоэлектрических преобразователей статических нагрузок. На основе изменения размеров, плотности и упругих свойств пьезоэлемента от воздействия измеряемой величины строятся тензочувствитсльные, термочувствительные и масс-чувствительные преобразователи. На основе изменения акустического сопротивления среды, контактирующей с пьезоэлементом, строятся пьезоэлектрические преобразователи с изменяющимся акустическим импедансом. Выходной сигнал тензочувствительных, термочувствительных и масс-чувствительных преобразователей - изменение частоты колебаний автогенератора, в частотозадающую цепь которого включен резонатор (рис. 3).
Рис.3 Схема включения тензочувствительных пьезоэлектрических преобразователей.
Пьезоэлектрические преобразователи с изменяющимся акустическим импедансом строят на основе пьезоэлектрических резонаторов и пьезоэлектрических трансформаторов. Об измеряемом усилии судят либо по изменению тока в цепи пьезорезонатора либо по изменению выходного напряжения или сдвига фаз между входным и выходным напряжениями пьезотрансформатора. Пьезорезонаторы и пьезотрансформаторы включаются также в частотозадающую цепь автогенератора. В этом случае об измеряемом усилии судят по изменению частоты колебаний или напряжения на выходе автогенератора. Измеряемая нагрузка прикладывается либо непосредственно к пьезорезонатору или пьезотрансформатору, либо к сочлененному с ними акустическому чувствительному элементу. В первом случае преобразователи называют контактными преобразователями, во втором - преобразователями с акустическими чувствительными элементами. Пьезоэлектрические преобразователи с изменяющимся акустическим импедансом применяют для измерения широкого круга механических величин, параметров жидкостей и газов, а также электрических и магнитных величин.
