Показатели вариации. 3

Тема 4. Показатели вариации  

      Задача 1

      При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие  результаты:

      Определить:

      1)  для каждого банка:

      а) средний размер вклада за месяц;

      б) дисперсию вклада;

      2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе.

      3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;

      4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;

      5)  Общую дисперсию используя правило сложения;

      6)   Коэффициент детерминации;

      7)   Корреляционное отношение.

     Решение:

     Средний размер вклада по группам:

     (0+500)/2=250,

     (500+520)/2=510,

     (520+540)/2=530,

     (540+560)/2=550,

     (560+580)/2=570,

     (580+600)/2=590,

     (600+620)/2=610,

     (620+640)/2=630. 

1. средний размер вклада рассчитываем по формуле:

     а) Для банка с рекламой средний размер вклада за месяц составил:

     (550*11+570*13+590*18+610*6+630*2)/50=580 руб.

     Для банка без рекламы средний  размер вклада за месяц составил:

     (250*3+510*4+530*17+550*15+570*6+590*5)/50=528,4 руб.

     б)

     Для банка с рекламой дисперсия вклада будет:

      =((550-580)²*11+(570-580)²*13+(590-580)²*18+(610-580)²*6+

     +(630-580)²*2)/50=(900*11+100*13+100*18+900*6+2500*2)/50=23400

     /50=468

     Для банка без рекламы дисперсия  вклада будет:

      =((250-528,4)²*3+(510-528,4)²*4+(530-528,4)²*17+(550-528,4)²*15+

     +(570-528,4)²*6+(590-528,4)²*5)/50=

     = (232519,68+1354,24+43,52+6998,4+10383,36+18972,8)/50=

     = 270272/50=5405,44

     2) Средний размер вклада за месяц  для двух банков вместе:

     (250*3+510*4+530*17+550*(11+15)+570*(13+6)+590*(18+5)+610*6+63

     0*2)/(50+50)=(750+2040+9010+14300+10830+13570+3660+1260)/100=

     554,2 руб.

     или

     (580+528,4)/2=554,2 руб.

     3) Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от рекламы:

      =((550-554,2)²*11+(570-554,2)²*13+(590-554,2)²*18+

     +(610-554,2)²*6+(630-554,2)²*2)/50=

     =(17,64*11+249,64*13+1281,64*18+3113,64*6+5745,64*2)/50=

     =56682/50=1133,64

     4) Дисперсия вклада для 2-х банков, зависящая от всех факторов, кроме  рекламы:

      =((250-554,2)²*3+(510-554,2)²*4+(530-554,2)²*17+(550-554,2)²*15+

     +(570-554,2)²*6+(590-554,2)²*5)/50=

     =(92537,64*3+1953,64*4+585,64*17+17,64*15+249,64*6+1281,64*5)/50

     =303554/50=6071,08

     5) Определить общую дисперсию используя  правило сложения:

      =((250-554,2)²*3+(510-554,2)²*4+(530-554,2)²*17+(550-

     554,2)²*(11+15)+

     +(570-554,2)²*(13+6)+(590-554,2)²*(18+5)+(610-554,2)²*6+(630-

     554,2)²*2)/

     /100=(277612,92+7814,56+9955,88+458,64+4743,16+29477,72+18681,84+

     +11491,28)/100=360236/100=3602,36

     6) Коэффициент детерминации (эмпирически)

     где - общая дисперсия; - межгрупповая дисперсия

      Межгрупповая  дисперсия отражает систематическую  вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:

     7) Эмпирическое корреляционное отношение.

     чем больше это число тем  больше зависимость  средней величины от факторов положенных в основу

      Задача 2.

      Имеются данные о распределении населения  России по размеру денежного дохода в условном году 

      Определить:

      1) среднедушевой доход за изучаемый период в целом, используя упрощенный способ;

      2) среднедушевой доход в форме  моды и медианы для дискретного  и интервального рядов; 

      3) дисперсию способом моментов;

      4) среднее квадратическое отклонение;

      5) коэффициент вариации 

      х` = (x_max + x_min) / 2  x = = 480 / 100 = 4,8 (тыс.руб) – среднедушевой доход за изучаемый период в целом

     Для интервального вариационного ряда медиана вычисляется по формуле:

     где x_Me(min)-нижняя граница медианного интервала; h - величина этого интервала, или интервальная разность; q - частоты или частости; - накопленная сверху частота (или частость) интервала, предшествующего медианному; частота или частость медианного интервала.

     Медианному  интервалу соответствует первая из накопленных частот или частостей, превышающая половину всего объема совокупности. В нашем случае объем  совокупности равен 100%, первая из накопленных  частостей, превышающая половину всего объема совокупности, - 62. Следовательно, интервал 3-5 будет медианным. Далее, x_me(min)=3, h=2, =21, q_Me=41. Воспользуемся формулой:

     М_е = 3 + 2 * = 4,415

     Таким образом, серединный размер среднедушевого дохода равен примерно 4,4 тыс.руб.

     Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. В данном случае полусумма частот равна 50. Ей наиболее соответствует значение варьирующего признака (х) 3-5.

     Для дискретного ряда модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. В данном случае наибольшая частота составляет 41, что соответствует значению варьирующего признака (х) 3-5.

     Найдем  моду для интервального ряда по формуле 

     М₀ = х₀ + i  

     где: х₀ - нижняя граница модального интервала;

     i - величина модального интервала;

     q_M0 - частота модального интервала;

     q_M0-1 - частота интервала, предшествующего модальному;

     q_M0+1 - частота интервала, следующего за модальным;

     М₀ = 3 + 2 * = 4,026

     Рассчитаем  дисперсию методом моментов, дисперсия - это центральный момент второго  порядка.

     σ² = 7,84*0,21+0,64*0,41+1,44*0,22+10,24*0,1+27,04*0,05+51,84*0,01 = 5,12

     Найдем  среднее квадратическое отклонение

     σ = = 2,263

     Найдем  коэффициент вариации

      = %

     V = 2,263 / 4,8 = 47,146 

      Задача 3.

      Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:

      Определить:

      1) дисперсию величины товарной  продукции; 

      2) среднее квадратическое отклонение;

      3) коэффициент вариации

      Решение:

      Данный  ряд сгруппирован по величине товарной продукции. Интервалы групп являются открытыми.  Величина смежных интервалов (шаг интервала) равна 200. Перепишем данную таблицу, принимая для первого и последнего интервала шаг интервала, равный 200.

      Вычислим  среднюю величину товарной продукции, тыс.руб. Средней величиной в статистике называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления в конкретных условиях места и времени, отражающий величину варьирующего признака в расчете на единицу качественно однородной совокупности. Выбор средней определяется экономическим содержанием показателя и исходных данных. В данной задаче в каждую группу объединены одинаковые варианты, т.е. варианты имеют различный вес, поэтому вычисляется средняя арифметическая взвешенная:

     Получаем (руб.).

     Среднее квадратическое отклонение (s) показывает, на сколько в среднем отличаются индивидуальные значения признака от среднего его значения

     Среднее квадратическое отклонение (s) и дисперсия (s²) определяются по формулам: 

     s² = (186,94)² = 34945,22

     Коэффициент вариации

     Показатель  вариации отражает тенденцию развития явления, т.e. действие главных факторов. Показатель вариации выражается в процентах.

      Задача 4.

      Имеются следующие данные о расходах граждан в январе условного года:

      Определить:

      1) среднедушевой расход городских  и сельских жителей;

      2) дисперсии душевого расхода: среднюю  из групповых, межгрупповую, общую; 

      3) зависимость расходов от места  жительства, исчислив коэффициент  детерминации и эмпирическое  корреляционное отношение. 

      Решение:

      1) Среднедушевой расход городских и сельских жителей рассчитываем по формуле средней арифметической взвешенной

      2) ,

      где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий;  - межгрупповая дисперсия.

      Величина  общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

      где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; - значение признака (варианта).

      Средняя из групповых дисперсий характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;

      где - число единиц в определенной i - й группе; - дисперсия по определенной i - й группе:

      где - средняя по определенной i - й группе.

      Межгрупповая  дисперсия отражает систематическую  вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают  под влиянием фактора, положенного  в основу группировки:

      Находим среднюю из групповых дисперсий. Дисперсия по каждой группе нам известна.

      Рассчитываем  среднюю из групповых дисперсий:

      Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 242,02 ден.ед.

      Находим межгрупповую дисперсию.

      Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.

       .

      Так, из-за вида поселения, среднедушевой расход в среднем отклоняется от среднего значения на 1128,96 ден.ед.

      Находим общую дисперсию:

      Так, под влиянием всех факторов среднедушевой расход отклоняется от среднего значения на 1371,04 ден.ед.

     3) Находим зависимость расходов от места жительства, исчислив коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение

     Коэффициент детерминации (эмпирически)

     Эмпирическое  корреляционное отношение.

     чем больше это число тем  больше зависимость  средней величины от факторов положенных в основу

      Таким образом, величина расходов на 91% зависит от места жительства.