Понятие и виды индексов

1.Понятие и виды индексов

Среди методов статистического  анализа особое и весьма важное место  занимает индексный метод.

Слово «индекс» в переводе с латинского означает показатель, указатель. В статистике поя индексом понимается относи- тельная величина, характеризующая соотношение значений определенного показателя во времени, пространстве, а также сравнение фактических данных с планом или иным нормативом.

В зависимости от базы сравнения индексы можно подразделить. на динамические (отражающие изменение  явления во времени) и территориальные (используемые для пространственных, межрегиональных сопоставлений различных показателей).

Чаще всего термин «индекс» ассоциируется с понятием относительного изменения какого-либо показателя во времени.

Показатель, изменение которого характеризуется индексом, называют индексируемой величиной. Последняя содержится в названии самого индекса, например: индекс цен, индекс заработной платы, индекс физического объема продукции и т.д.

Индекс- это относительный  показатель, который характеризует изменение исследуемого явления во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым эталоном (планируемым, нормативным уровнем и т.п.).

Если изучаемая совокупность включает соизмеримые элементы, то оценить изменение обобщающих показателей  можно и без использования индексов. Например, располагая данными о прибыли всех предприятий отрасли за 1999 и 2000 гг., можно рассчитать среднюю прибыль в расчете на одно предприятие в каждом году и вычислить темп роста средней прибыли. Располагая данными о доходах населения, в анализе динамики логично использовать среднедушевые доходы. Список подобных примеров можно продолжить. Индексы же являются незаменимым инструмент том исследования в тех случаях, когда необходимо сравнить во времени или в пространстве две совокупности, элементы которых являются несоизмеримыми величинами.

Например, при анализе  динамики цен нельзя рассчитать среднюю  цену, так как на потребительском  рынке реализуются совершенно различные  товары - продукты питания, одежда, мебель, транспортные средства, недвижимость. Нельзя рассчитать и среднюю цену продуктов, по крайней мере, из-за различных единиц измерения (килограммы, десятки, штуки, литры). Даже если рассматривать только продукты питания, измеряемые в килограммах, то любому человеку понятно, что «средняя цена 1 кг еды» - очень абстрактная категория, объединяющая мясо, рыбу, масло, картофель, фрукты, овощи и другие подчас несопоставимые продукты питания. Для анализа динамики показателей, характеризующих разнородные совокупности, и используются индексы.

Различают индексы динамические и пространственные (территориальные). Динамические индексы позволяют  исследовать изменение одной  и той же совокупности во времени, на основе сравнения показателей  за два периода и более. Пространственные индексы используются для сравнения показателей по двум совокупностям в пространстве. Это могут быть два предприятия, два региона, две страны. Если в качестве базы сравнения используется уровень за какой-либо предшествующий период - получают динамический

Индекс, если же базой является уровень того же явления по другой территории - индекс пространственный.

По охвату единиц совокупности индексы делятся на индивидуальные и сводные. Индивидуальные индексы  рассчитываются по одной единице - одному товару, одному виду продукции. Сводные шее индексы вычисляются по товарным группам или нескольким видам продукции, выпускаемым одним предприятием или всеми предприятиями отрасли. Сводные индексы могут быть представлены в агрегатной, среднеарифметической или среднегармонической формах.

Индивидуальные индексы

Оценить изменение объемов  продажи товара в натуральных  единицах измерения позволяет индивидуальный индекс физического объема реализации:

где q₁, q₀ - количество товара, реализованное соответственно в текущем и базисном периодах.

Изменение объема реализации товара в стоимостном выражении  отражает индивидуальный индекс товарооборота:

Приведенные в качестве примеров три индивидуальных индекса  взаимосвязаны между собой:

Сводные индексы и  их формы

Агрегатная форма является исходной формой выражения сводного индекса. При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общий показатель, в котором можно объединить все ее элементы. Вернемся к примеру с розничными ценами. Цены различных товаров, реализуемых в розничной торговле, складывать неправомерно, однако, с экономической точки зрения, вполне допустимо суммировать товарооборот по товарам.

На величину индекса  товарооборота оказывают влияние  как изменение цен на товары, так  и изменение объемов их реализации. Для того, чтобы оценить изменение только цен (индексируемой величины), необходимо количество проданных товаров (веса индекса) зафиксировать на каком-либо постоянном уровне. При исследовании динамики таких показателей как цена, себестоимость, производительность труда, урожайность количественный показатель обычно фиксируют на уровне текущего периода. Таким способом получают сводный индекс цен (индекс цен Пааше).

Числитель данного индекса  содержит фактический товарооборот текущего периода. Знаменатель же представляет собой условную величину, показывающую, каким был бы товарооборот в текущем периоде при условии сохранения цен на базисном уровне, поэтому соотношение этих двух категорий и отражает имевшее место изменение цен.

Индекс цен Пааше  показывает, насколько товары в текущем периоде подорожали (подешевели) по сравнению с базисным периодом, а индекс цен Ласпейерса показывает, во сколько раз товары базисного периода дороже (дешевле) в результате изменений цен в отчетном периоде. Как правило, индекс цен, рассчитанный по формуле Пааше, несколько занижает, а по формуле Ласпейерса - завышает темпы инфляции.

Третьим индексом в данной индексной системе является сводный  индекс физического объема реализации. Он характеризует измерение количества проданных товаров не в денежных, а в физических единицах измерения.

Числитель и знаменатель  сводного индекса цен можно интерпретировать с точки зрения потребителей. Числитель  представляет собой сумму денег, фактически уплаченных покупателями за при обретенные в текущем периоде товары. Знаменатель же показывает, какую сумму покупатели заплатили бы за те же товары, если бы цены не изменились.

Отметим, что объем  товарной группы при расчете этих и последующих индексов значения не имеет. Аналогичные расчеты могут  быть выполнены для любой товарной группы. Мы рассмотрели применение агрегатных индексов в анализе товарооборота и цен. При анализе результатов производственной деятельности промышленного предприятия приведенные выше сводные индексы соответственно называются индексом стоимости продукции, индексом оптовых цен и индексом физического объема продукции.

Рассмотрим применение индексного метода при анализе изменения  затрат на производство и себестоимость  продукции. Для определения общего изменения уровня себестоимости  нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием, рассчитывается сводный индекс себестоимости. При этом себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видов продукции текущего периода.

Числитель этого индекса  отражает затраты на производство текущего периода, а знаменатель - условную величину затрат при сохранении себестоимости на базисном уровне. Разность числителя и знаменателя показывает сумму экономии или потерь предприятия от изменения себестоимости.

Сводный индекс физического  объема продукции, взвешенный по стоимости, имеет следующий вид:

Третьим показателем  в данной индексной системе является сводный индекс затрат на производство:

Все три индекса взаимосвязаны  между собой соотношением:

Еще одна область применения индексного метода - анализ изменений в производительности труда. При этом возможны два подхода к расчету индексов. Первый основан на учете количества продукции, вырабатываемого в единицу времени (w). При таких расчетах необходимо решить ряд методологических проблем - какой именно показатель продукции использовать, как оценивать продукцию работников непроизводственных отраслей и пр.

При втором подходе производительность труда определяется затратами рабочего времени на единицу продукции (t). На практике эти расчеты также сопряжены с определенными трудностями, так как не всегда имеется возможность оценить вклад конкретного работника в производство того или иного изделия.

Количество продукции w, вырабатываемое в единицу времени (в натуральном выражении), и затраты  времени t на единицу продукции взаимосвязаны между собой:

Располагая данными  о трудоемкости и различных видов  продукции (t= 1, 2,..., n) и объемах их производства, можно рассчитать вводный индекс производительности труда (по трудоемкости):

При расчете сводного индекса производительности труда в стоимостном выражении (по выработке) необходимо количество продукции, произведенной за каждый период, взвесить по каким-либо ценам, принятым за сопоставимые. В качестве сопоставимых могут выступать цены текущего или базисного периода, какого-либо я другого периода или средние цены. Индекс в этом варианте рассчитывается по формуле:

Первая часть этой формулы представляет собой среднюю  выработку в отчетном периоде, вторая часть - в базисном.

Умножение индекса производительности труда по выработке на индекс затрат рабочего времени дает индекс физического объема продукции, взвешенный по цене.

 2.Понятия и классификация  рядов динамики

1. Понятие о статистических рядах динамики

Ряды  динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами [1].    

В каждом ряду динамики имеется два  основных элемента: показатель времени (t или иногда используют i); соответствующие  им уровни развития изучаемого явления (y).    

В качестве показаний времени в  рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).    

Уровнями ряда называют показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды. Они отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.    

Ряды  динамики различаются по следующим признакам:    

1) по времени. В зависимости  от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.    

Моментные ряды динамики отображают состояние  изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 2009 г. (таблица-1):

Таблица-1 Списочная численность  работников магазина в 2009 г.

Особенностью  моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, - величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Так, основная часть персонала магазина, составляющая списочную численность на 1.01.2009 г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.     

Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.    

Интервальные  ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.    

Примером  интервального ряда могут служить  данные о розничном товарообороте магазина в 2005 – 2009 гг. (таблица- 2):    

Таблица- 2 Объем розничного товарооборота  магазина в 2005 - 2009 гг.

Каждый  уровень интервального ряда уже  представляет собой сумму уровней  за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней.     

Особенностью  интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а суммируя товарооборот за четыре квартала, получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится.    

Свойство суммирования уровней  за последовательные интервалы времени  позволяет получить ряды динамики более  укрупненных периодов.    

Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени  поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателе, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды.     

Статистическое  отображение изучаемого явления  во времени может быть представлено рядами динамики с нарастающими итогами. Их применение обусловлено потребностями отображения результатов развития изучаемых показателей не только за данный отчетный период, но и с учетом предшествующих периодов. При составлении таких рядов производится последовательное суммирование смежных уровней. Этим достигается суммарное обобщение результата развития изучаемого показателя с начала отчетного периода (года, месяца, квартала и т. д.).    

Ряды  динамики с нарастающими итогами  строятся при определении общего объема товарооборота в розничной торговле. Так, обобщением товарно-денежных отчетов за последние операционные периоды (пятидневки, недели, декады и т. д.).    

2) по форме представления уровней.  Могут быть построены также  ряды динамики, уровни которых представляют собой относительные и средние величины. Они также могут быть либо моментными,  либо интервальными.    

В интервальных рядах динамики относительных  и средних величин непосредственное суммирование уровней само по себе лишено смысла, так как относительные и средние величины являются производными и исчисляются через деление других величин.

3. по расстоянию между датами или интервалам времени выделяют полные или неполные ряды динамики.

    Полные  ряды динамики имеют место тогда, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается.

4. по числу показателей можно выделить изолированные и комплексные

(многомерные) ряды динамики.  Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики. Комплексный ряд динамики получается в том случае, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса или явления [3]. 

1.2. Требования, предъявляемые  к рядам динамики     

Существуют  требования, предъявляемые к рядам динамики:

1.Сопоставимость статистических  данных.    

Основным  условием для получения правильных выводов при анализе рядов  динамики является сопоставимость его элементов.    

Ряды  динамики формируются в результате сводки и группировки материалов статистического наблюдения. Повторяющиеся во времени (по отчетным периодам) значения одноименных показателей  в ходе статистической сводки систематизируются в хронологической последовательности.    

При этом каждый ряд динамики охватывает отдельные обособленные периоды, в которых могут происходить изменения, приводящие к несопоставимости отчетных данных с данными других периодов. Поэтому для анализа ряда динамики необходимо приведение всех составляющих его элементов к сопоставимому виду. Для этого в соответствии с задачами исследования устанавливаются причины, обусловившие несопоставимость анализируемой информации, и применяется соответствующая обработка, позволяющая производить сравнение уровней ряда динамики.    

Несопоставимость  в рядах динамики вызывается различными причинами. Это могут быть разновеликость показаний времени, неоднородность состава изучаемых совокупностей во времени, изменения в методике первичного учета и обобщения исходной информации, различия применяемых в различное время единиц измерения и т.д. [12].    

Так, при изучении динамики товарооборота  по внутригодовым периодам несопоставимость возникает при неодинаковой продолжительности показаний времени (месяцев, кварталов, полугодий).    

При отсутствии информации о фактическом  времени работы для получения  сопоставимых среднесуточных показателей используется режимное время работы. Последнее различно в зависимости от выполняемых торговлей функций и обслуживаемого контингента.     

Для розничной торговли возможны следующие варианты режимного времени:    

а) предприятия, работающие без перерыва в праздничные и выходные дни (например, дежурные продуктовые и  хлебобулочные магазины, рестораны, кафе). Их фонд рабочего времени соответствует календарному;    

б) предприятия, не работающие в праздничные  дни (например, городские рынки). Их фонд рабочего времени меньше календарного на число ежегодных праздничных  дней;    

в) предприятия, не работающие в праздничные и общевыходные дни (например, городские промтоварные магазины, предприятия общественного питания на фабриках, в учреждениях и т. д.). Величина их рабочего времени зависит от размещения в каждом календарном году праздничных и выходных дней;    

г) предприятия, работающие в отдельные  периоды времени, сезоны года (например, городские овощные базары, торговля в местах массового летнего отдыха и т. д.).

2. Величины временных  интервалов должны соответствовать  интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно для стабильных процессов интервалы можно увеличить.    

Так, переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет; учет национального дохода, урожая ведется один раз в год; ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют, и т. д.    

3. Числовые уровни рядов динамики  должны быть упорядоченными во  времени. Не допускается анализ  рядов с пропусками отдельных  уровней, если же такие пропуски  неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями [4]. 

1.3. Тенденция и колеблемость  в рядах динамики     

При сравнении уровней разных лет можно отметить, что в целом показатель растет. Однако нередки случаи, когда, например, уровень урожайности предыдущего года оказывается выше, чем в последующем году. Иногда рост по сравнению с предыдущим годом велик, иногда мал. Следовательно, рост наблюдается лишь в среднем, как тенденция. В остальные же годы происходят колебания, отклоняясь от данной основной тенденции [7].    

Если  рассматривать динамические ряды месячных уровней производства молока, мяса, ряды объема продаж разных видов обуви или одежды, ряды заболеваемости населения, выявляются регулярно повторяющиеся из года в год сезонные колебания уровней. В силу солнечно – земных связей частота полярных сияний, интенсивность гроз, те же изменения урожайности отдельных сельскохозяйственных культур и ряд других процессов имеют циклическую 10 – 11 летнюю колеблемость. Колебания числа рождений, связанные с потерями в войне, повторяются с угасающей амплитудой через поколения, то есть через 20 – 25 лет.    

Тенденция динамики связана с действием  долговременно существующих факторов, причин и условий развития, хотя, конечно, после какого – то периода условия могут измениться и породить уже другую тенденцию развития изучаемого объекта. Колебания же, напротив, связаны с действиями краткосрочных или циклических факторов, влияющих на отдельные уровни динамического ряда, и отклоняющих уровни тенденции то в одном, то в другом направлении.    

Например, тенденция динамики урожайности  связана с прогрессом агротехники, с укреплением экономики данной совокупности хозяйств  совершенствованием организации производства. Колеблемость урожайности вызвана чередованием благоприятных по погоде и неблагоприятных лет, циклами солнечной активности и т. д. [6].    

При статистическом изучении динамики необходимо четко разделить два ее основных элемента – тенденцию и колеблемость, чтобы дать каждому из них количественную характеристику с помощью специальных показателей. Смешение тенденции и колеблемости ведет к неверным выводам о динамике [8].  
  
 

 
3.Ряды динамики — это ряды статистических показателей, характеризующих развитие явлений природы и общества во времени. Публикуемые Госкомстатом России статистические сборники содержат большое количество рядов динамики в табличной форме. Ряды динамики позволяют выявить закономерности развития изучаемых явлений.

Ряды динамики содержат два вида показателей. Показатели времени (годы, кварталы, месяцы и др.) или моменты времени (на начало года, на начало каждого месяца и т.п.).Показатели уровней ряда. Показатели уровней рядов динамики могут быть выражены абсолютными величинами (производство продукта в тоннах или рублях), относительными величинами (удельный вес городского населения в %) и средними величинами (средняя заработная плата работников отрасли по годам и т. п.). В табличной форме ряд динамики содержит два столбца или две строки.

Правильное  построение рядов динамики предполагает выполнение ряда требований:

1. все показатели ряда динамики должны быть научно обоснованными, достоверными;
2. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по времени, т.е. должны быть исчислены за одинаковые периоды времени или на одинаковые даты;
3. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по территории;
4. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по содержанию, т.е. исчислены по единой методологии, одинаковым способом;
5. показатели ряда динамики должны быть сопоставимы по кругу учитываемых хозяйств. Все показатели ряда динамики должны быть приведены в одних и тех же единицах измерения.

Статистические показатели могут характеризовать либо результаты изучаемого процесса за период времени, либо состояние изучаемого явления на определенный момент времени, т.е. показатели могут быть интервальными ( периодическими ) и моментными. Соответственно первоначально ряды динамики могут быть либо интервальными, либо моментными. Моментные ряды динамики в свою очередь могут быть с равными и неравными промежутками времени.

Первоначальные ряды динамики могут  быть преобразованы в ряд средних  величин и ряд относительных  величин (цепной и базисный). Такие  ряды динамики называют производными рядами динамики.

Методика расчета среднего уровня в рядах динамики различна, обусловлена  видом ряда динамики. На примерах рассмотрим виды рядов динамики и формулы  для расчета среднего уровня.

Интервальные  ряды динамики

Уровни интервального  ряда характеризуют результат изучаемого процесса за период времени: производство или реализация продукции ( за год, квартал, месяц и др. периоды), число принятых на работу, число родившихся и.т.п. Уровни интервального ряда можно суммировать. При этом получаем такой же показатель за более длительные интервалы времени.

Средний уровень  в интервальных рядах динамики ( ) исчисляется по формуле средней арифметической простой:

• y — уровни ряда (y₁, y₂ ,...,y_n),
• n — число периодов (число уровней ряда).

Рассмотрим методику расчета среднего уровня интервального  ряда динамики на примере данных о  продаже сахара в России.

- это среднегодовой  объем реализации сахара населению  России за 1994-1996 гг. Всего за три  года было продано 8137 тыс.тонн  сахара.

Моментные ряды динамики

Уровни моментных рядов  динамики характеризуют состояние  изучаемого явления на определенные моменты времени. Каждый последующий  уровень включает в себя полностью  или частично предыдущий показатель. Так, например, число работников на 1 апреля 1999 г. полностью или частично включает число работников на 1 марта.

Если сложить эти  показатели, то получим повторный  счет тех работников, которые работали в течение всего месяца. Полученная сумма экономического содержания не имеет, это расчетный показатель.

В моментных  рядах динамики с равными интервалами  времени средний уровень ряда исчисляется по формуле средней хронологической:

• y -уровни моментного ряда;
• n -число моментов (уровней ряда);
• n — 1 — число периодов времени (лет, кварталов, месяцев).

Рассмотрим методику такого расчета по следующим данным о списочной численности работников предприятия за 1 квартал.

Необходимо вычислить  средний уровень ряда динамики, в  данном примере — среднюю списочную численность работников предприятия:

Расчет выполнен по формуле средней  хронологической. Средняя списочная  численность работников предприятия  за 1 квартал составила 155 человек. В  знаменателе — 3 месяца в квартале, а в числителе (465) — это расчетное число, экономического содержания не имеет. В подавляющем числе экономических расчетов месяцы, независимо от числа календарных дней, считаются равными.

В моментных рядах динамики с  неравными интервалами времени  средний уровень ряда исчисляется  по формуле средней арифметической взвешенной. В качестве весов средней принимается продолжительность времени ( t- дни, месяцы ). Выполним расчет по этой формуле.