Понятие рядов динамики (временных рядов)

СОДЕРЖАНИЕ

1. РЯДЫ ДИНАМИКИ  В СТАТИСТИКЕ

1.1 Понятие  рядов динамики (временных рядов)                                        3

1.2 Виды рядов динамики                                                                              3

1.3 Показатели изменения  уровней ряда динамики                                    4

1.4 Средние показатели  ряда динамики                                                       6

2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ СВЯЗИ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ

2.1 Причинность, регрессия, корреляция                                                   10

2.2 Оценка тесноты связи                                                                             12

2.3 Методы регрессионного анализа                                                           13

3. Решить задачу:                                                                                                  15

По данным обследования 20 фирм проведите их группировку  по численности занятых, построив интервальный ряд с равными интервалами (создав 5-6 групп). Данные построенного интервального ряда отобразите графически в виде гистограммы.

4. Решить задачу:                                                                                                 17

Определить  средний процент выполнения плана  по объему реализации продукции двух предприятий вместе на основе приведенных  данных.

5. Список литературы                                                                                         18 
1. РЯДЫ ДИНАМИКИ В СТАТИСТИКЕ

1.1 Понятие  рядов динамики (временных рядов)

Одной из важнейших задач  статистики является изучение изменений анализируемых показателей во времени, то есть их динамика. Эта задача решается при помощи анализа рядов динамики (временных рядов).

Ряд динамики (или временной ряд) – это числовые значения определенного статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени (т.е. расположенные в хронологическом порядке).

Числовые значения того или иного статистического показателя, составляющего ряд динамики, называют уровнями ряда и обычно обозначают буквой y. Первый член ряда y₁ называют начальным или базисным уровнем, а последний y_n – конечным. Моменты или периоды времени, к которым относятся уровни, обозначают через t.

Ряды динамики, как  правило, представляют в виде таблицы или графика, причем по оси абсцисс строится шкала времени t, а по оси ординат – шкала уровней ряда y.

1.2 Виды рядов  динамики

Ряды динамики классифицируются по следующим основным признакам:

1. По времени — ряды моментные и интервальные (периодные), которые показывают уровень явления на конкретный момент времени или на определенный его период. Сумма уровней интервального ряда дает вполне реальную статистическую величину за несколько периодов времени, например, общий выпуск продукции, общее количество проданных акций и т.п. Уровни моментного ряда, хотя и можно суммировать, но эта сумма реального содержания, как правило, не имеет. Так, если сложить величины запасов на начало каждого месяца квартала, то полученная сумма не означает квартальную величину запасов.
2. По форме представления — ряды абсолютных, относительных и средних величин.
3. По интервалам времени — ряды равномерные и неравномерные (полные и неполные), первые из которых имеют равные интервалы, а у вторых равенство интервалов не соблюдается.
4. По числу смысловых статистических величин — ряды изолированные и комплексные (одномерные и многомерные). Первые представляют собой ряд динамики одной статистической величины (например, индекс инфляции), а вторые — нескольких (например, потребление основных продуктов питания).

1.3 Показатели  изменения уровней ряда динамики

Анализ рядов динамики начинается с определения того, как  именно изменяются уровни ряда (увеличиваются, уменьшаются или остаются неизменными) в абсолютном и относительном выражении. Чтобы проследить за направлением и размером изменений уровней во времени, для рядов динамики рассчитывают показатели изменения уровней ряда динамики:

• абсолютное изменение (абсолютный прирост);
• относительное изменение (темп роста или индекс динамики);
• темп изменения (темп прироста).

Все эти показатели могут  определяться базисным способом, когда уровень данного периода сравнивается с первым (базисным) периодом, либо цепным способом – когда сравниваются два уровня соседних периодов.

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i-того) периода больше или меньше первого (базисного) уровня, и, следовательно, может иметь знак «+» (при увеличении уровней) или «–» (при уменьшении уровней).

Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяется по формуле

Оно показывает, на сколько (в единицах показателей ряда) уровень одного (i-того) периода больше или меньше предыдущего уровня, и может иметь знак «+» или «–».

Базисное относительное изменение (базисный темп роста или базисный индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле

Цепное относительное изменение (цепной темп роста или цепной индекс динамики) представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле

.

Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при i>1) или какую его часть составляет (при i<1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов, то есть простого кратного отношения  (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100%.

Между базисными и цепными относительными изменениями существует взаимосвязь: произведение цепных относительных  изменений равно последнему базисному изменению, то есть

.

Темп изменения (темп прироста) уровней – относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100%, то есть по формуле:

,

или как процентное отношение  абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым  рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле:

.

1.4 Средние  показатели ряда динамики

Каждый ряд динамики можно рассматривать как некую  совокупность n меняющихся во времени показателей, которые можно обобщать в виде средних величин. Такие обобщенные (средние) показатели особенно необходимы при сравнении изменений того или иного показателя в разные периоды, в разных странах и т.д.

Обобщенной характеристикой  ряда динамики может служить прежде всего средний уровень ряда. Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный (периодный).

В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической величины из уровней ряда, т.е.

=  
Если имеется моментный ряд, содержащий n уровней (y1, y2, …, yn) с равными промежутками между датами (моментами времени), то такой ряд легко преобразовать в ряд средних величин. При этом показатель (уровень) на начало каждого периода одновременно является показателем на конец предыдущего периода. Тогда средняя величина показателя для каждого периода (промежутка между датами) может быть рассчитана как полусумма значений у на начало и конец периода, т.е. как  . Количество таких средних будет  . Как указывалось  ранее, для рядов средних величин средний уровень рассчитывается по средней арифметической. Следовательно, можно записать 
. 
После преобразования числителя получаем 
,

где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда;   Yi  —  промежуточные уровни.

Эта средняя   известна в статистике как средняя хронологическая для моментных рядов. Такое название она получила от слова «cronos» (время, лат.), так как рассчитывается из меняющихся во времени показателей.

В случае неравных промежутков между датами среднюю хронологическую для моментного ряда можно рассчитать как среднюю арифметическую из средних значений уровней на каждую пару моментов, взвешенных по величине расстояний (отрезков времени) между датами, т.е. 
. 
В данном случае предполагается, что в промежутках между датами уровни принмали разные значения, и мы из двух известных (yi и yi+1) определяем средние, из которых затем уже рассчитываем общую среднюю для всего анализируемого периода. 
Если же предполагается, что каждое значение yi  остается неизменным до следующего (i+1)-го момента, т.е. известна  точная дата изменения уровней, то расчет можно осуществлять по формуле средней арифметической взвешенной: 
,

где  – время, в течение которого уровень  оставался неизменным. 

Кроме среднего уровня в  рядах динамики рассчитываются и  другие средние показатели – среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Б =

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений, то есть

Ц =

По знаку средних  абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными.

Наряду со средними абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное тоже базисным и цепным способами.

Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле

Б= = 

Цепное среднее относительное изменение определяется по формуле

Ц=

Естественно, базисное и  цепное среднее относительное изменения  должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения  явления в среднем: рост, спад или стабильность. 
Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.

2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ  СВЯЗИ МЕЖДУ ЯВЛЕНИЯМИ

2.1  Причинность, регрессия, корреляция

В процессе статистического  исследования зависимостей вскрываются  причинно-следственные отношения между  явлениями, что позволяет выявлять факторы (признаки), оказывающие основное влияние на вариацию изучаемых явлений и процессов. Причинно-следственные отношения – это связь явлений и процессов, когда изменение одного из них – причины, ведет к изменению другого – следствия.

Признаки по их значению для изучения взаимосвязи делятся на два вида: факторные и результативные.

Социально-экономические  явления представляют собой результат  одновременного воздействия большого числа причин. Следовательно, при  изучении этих явлений необходимо выявлять главные, основные причины, абстрагируясь от второстепенных.

В основе первого этапа  статистического изучения связи  лежит качественный анализ изучаемого явления, т.е. исследование его природы  методами экономической теории, социологии, конкретной экономики. Второй этап –  построение модели связи. Третий, последний этап – интерпретация результатов, вновь связан с качественными особенностями изучаемого явления.

В статистике различают  функциональную связь и стохастическую. Функциональной называют такую связь, при которой определенному значению факторного признака соответствует одно и только одно значение результативного признака. Такая связь проявляется во всех случаях наблюдения и для каждой конкретной единицы исследуемой совокупности. Если причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем, среднем при большом числе наблюдений, то такая зависимость называется стохастической. Частным случаем стохастической связи является корреляционная связь, при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.

Связи между признаками и явлениями ввиду их большого разнообразия классифицируются по ряду оснований: по степени тесноты связи, направлению и аналитическому выражению.

По направлению выделяют связь прямую и обратную.

При прямой связи с увеличением или уменьшением значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи с увеличением значений факторного признака значения результативного убывают, и наоборот.

По аналитическому выражению выделяют связи: прямолинейные (или просто линейные) и нелинейные. Если статистическая связь между явлениями может быть приближенно выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной; если же она выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, показательной, экспоненциальной и т.п.), то такую связь называют нелинейной или криволинейной.

Для выявления наличия  связи, ее характера и направления  в статистике используются методы: приведения параллельных данных; аналитических группировок; статистических графиков; корреляции.

Корреляция – это статистическая взаимосвязь между случайными величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение одной из случайных величин приводит к изменению математического ожидания (средней величины) другой.

В статистике принято  различать следующие виды зависимостей.

1. Парная корреляция  – связь между двумя признаками (результативным и факторным или  двумя факторными).

2. Частная корреляция  – зависимость между результативным и одним факторным признаками при фиксированном значении других факторных признаков.

3. Множественная корреляция  – зависимость результативного  и двух или более факторных  признаков, включенных в исследование.

Задачей корреляционного  анализа является количественное определение тесноты связи между двумя признаками (при парной связи) и между результативным и множеством факторных признаком (при многофакторной связи).

Теснота связи количественно  выражается величиной коэффициентов  корреляции, которые дают возможность определить «полезность» факторных признаков при построении уравнений множественной регрессии. Кроме того, величина коэффициента корреляции служит оценкой соответствия уравнения регрессии выявленным причинно-следственным связям.

2.2 Оценка тесноты связи

Теснота корреляционной связи между факторным и результативным признаками может исчисляться с  помощью таких коэффициентов: эмпирический коэффициент корреляционной связи (коэффициент Фехнера); коэффициент ассоциации; коэффициент взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова; коэффициент контингенции; ранговые коэффициенты корреляции Спирмэна и Кендэла; линейный коэффициент корреляции; корреляционное отношение и др.

Наиболее совершенно тесноту связи характеризует  линейный коэффициент корреляции:  , где   – средняя из произведений значений признаков ху;   – средние значения признаков х и у;   - средние квадратические отклонения признаков х и у. Он используется в том случае, если связь между признаками линейная.

Линейный коэффициент  корреляции может быть положительным  или отрицательным.

Положительная его величина свидетельствует о прямой связи, отрицательная – об обратной. Чем  ближе   к ±1, тем связь теснее. При функциональной связи между признаками  = ±1. Близость   к 0 означает, что связь между признаками слабая.

2.3 Методы регрессионного  анализа

С понятием корреляции тесно  связано понятие регрессии. Первая служит для оценки тесноты связи, вторая - исследует ее форму. Корреляционно-регрессионный анализ, как общее понятие, включает в себя измерение тесноты и направления связи (корреляционный анализ) и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ*).

После того, как с помощью  корреляционного анализа выявлено наличие статистических связей между переменными и оценена степень их тесноты, переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа. Для этого подбирают класс функций, связывающий результативный показатель у и аргументы х₁ , х₂ ,… х_k , отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров связи и анализируют свойства полученного уравнения.

Функция, описывающая  зависимость среднего значения результативного  признака у от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии. Регрессия – линия, вид зависимости средней результативного признака от факторного.

Наиболее разработанной  в теории статистики является методология  парной корреляции, рассматривающая  влияние вариации факторного признака х на результативный у

Уравнение прямолинейной  корреляционной связи имеет вид:  .

Параметры а₀ и а₁ называют параметрами уравнения регрессии.

Для определения параметров уравнения регрессии используется способ наименьших квадратов, который  даёт систему двух нормальных уравнений:

.

Решая эту систему в общем виде, можно получить формулы для определения параметров уравнения регрессии:   , 

3. Решить задачу:

По данным обследования 20 фирм проведите их группировку  по численности занятых, построив интервальный ряд с равными интервалами (создав 5-6 групп). Данные построенного интервального  ряда отобразите графически в виде гистограммы.

Решение

Разобьем фирмы на 5 групп.

Определим величину интервала  по формуле

h=(Xmax - Xmin)/n

h=(1420-100)/5=264

Представим группировку  в виде таблицы:

«Численность занятых»

Распределение численности  занятых.

4. Решить задачу:

Определить  средний процент выполнения плана  по объему реализации продукции двух предприятий вместе на основе приведенных  данных.

Решение:

Cгр= Σmi/(Σmi/xi) = (m1+m2)/(m1/x1+m2/x2) = (620+480)/(620/103+480/101,2)= = 1100/10,762 = 102,2%

Ответ: средний процент  выполнения плана по объему реализации продукции двух предприятий вместе составляет 102,2%

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. – М.: Мир, 1976
• Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998
• Ефимова М.Р., Ганченко О.И., Петрова Е.В. Практикум по общей теории статистики. М. Финансы и статистика – 2005.
• Елисеева Е.И. Общая теория статистики - М.: 2009
• Елисеева И.И. Статистика. Учебник для ВУЗов. М.: 2006.