Теоретическая часть. Вариант №17.

Понятие вариации. Этапы статистического  анализа вариации.

     Вариация – это такие количественные изменения величины исследуемого признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов. Различают вариацию случайную и систематическую. Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих её факторов. Показатель вариации – это колеблемость отдельных значений признака. Степень близости данных отдельных единиц  к средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей. К абсолютным и средним относятся: вариационный размах, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение, дисперсия. К относительным: коэффициент осцилляции, относительное линейное отклонение, коэффициент вариации.

     Вариационный  размах – это разница между максимальным и минимальным значениями признака: . Он характеризует диапазон вариации. Его достоинства: простота вычисления и толкования.

     Обобщающую  характеристику может дать только средняя  величина, в частности, средняя из отклонений вариантов от их средней, которая называется среднее линейное отклонение. Оно учитывает различия всех единиц изучаемой совокупности и определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учёта знака этих отклонений:

      ,

     или для сгруппированных данных:

     Среднее линейное отклонение показывает, на сколько  в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности.

     Дисперсия ( ) – средний квадрат отклонений, определяется как средняя из отклонений, возведённых в квадрат :

       или 

     Формулу для расчёта дисперсии можно  преобразовать следующим способом:

     где - среднее значение квадратов признака,

      - среднее значение признака.

     Среднее квадратическое отклонение – это  корень квадратный из дисперсии, это  мера надёжности средней.

     Размах  вариации, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются всегда величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.

     Относительные показатели вариации:

     1. Коэффициент осцилляции отражает  относительную колеблемость крайних  значений признака вокруг средней:

     2. Относительное линейное отклонение  характеризует долю усреднённого  значения абсолютных отклонений  от средней величины:

      .

     3. Коэффициент вариации:

     Можно определить три показателя колеблемости признака в совокупности: общую дисперсию, межгрупповую дисперсию, внутригрупповую  и среднюю из внутригрупповых  дисперсий.

     1) Общая дисперсия характеризует  вариацию признака, которая зависит  от всех условий в данной  совокупности.

      ,

     где - общая средняя для всей изучаемой совокупности.

     2) Межгрупповая дисперсия отражает  вариацию изучаемого признака, возникающую  под влиянием признака-фактора,  положенного в основу группировки.  Она характеризует колеблемость  групповых (частных) средних  около общей средней .

      ,

     где - средняя по отдельным группам;

      - численность отдельных групп.

     3) Внутригрупповая дисперсия характеризует  вариацию, обусловленную влиянием  прочих факторов: 

      ,

     где - номер группы.

     4) Средняя внутригрупповых дисперсий  характеризует случайную вариацию  в каждой отдельной группе. Эта  вариация возникает под влиянием  других, неучитываемых факторов  и не зависит от условия  (признака-фактора), положенного в  основу группировки.

      где - групповая дисперсия.

     Правило сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповых дисперсий и межгрупповой дисперсии.

      . 

Список  использованной литературы:

1. Гусаров В.М., «Статистика», М. :  2001
2. Еронова В.Н., «Общая теория статистики»,  М. : 2001
3. Кожухарь Л.И., «Основы общей теории статистики»,  М. : 2001
4. Громыко Г.Л., «Теория статистики», М.: 2002 

2. Решение задач. Вариант №1

Задача 1

Заполнить недостающие ячейки по нижеследующим  данным по районам региона. Найти  относительные величины координации  по каждому району.

Решение

1. Найдем численность  женщин по 1му району:

 чел.

2. Найдем численность  мужчин по 1му району:    чел.

3. Найдем долю  мужчин по 1му району:

4. Найдем численность женщин по 2му району: чел.

5. Найдем долю женщин по 2му району:

6. Найдем долю мужчин по 2му району:

7. Найдем  относительные величины координации  по каждому району:

Задача 2

Данные  опроса респондентов о средних доходах  их семей за месяц (по результатам  опроса):

Найти средний размер дохода, приходящегося  на одну семью, в целом по городу. Рассчитать медиану; моду, коэффициент  вариации.

  Решение 
 
 

1. Рассчитаем  накопленные частоты:

2. Найдем средний размер дохода, приходящегося на одну семью, по формуле: руб.

3. Рассчитаем  медиану (Рис.1):

, т.е. третий- это медианный  интервал.

=43, =29.

4. Рассчитаем моду (Рис.2):

_{Кумулята  опроса респондентов о средних доходах  их семей за месяц.}

_Рис.1

_{Гистограмма опроса респондентов о средних доходах  их семей за месяц.}

Рис.2

5. Найдем коэффициент вариации:

Среднее квадратическое отклонение:

Коэффициент вариации:  

Задача 3

Данные по хозяйству  о поголовье коров (голов) за 6 лет  (в среднем за год):

1. Вычислить:

      - абсолютные приросты, темпы роста  и прироста;

      - средний уровень ряда;

      - средний абсолютный прирост;

      - средний темп прироста.

2. Сделать  прогноз на 2009 год.

Решение

1. Рассчитаем  величины абсолютного прироста, темпы роста и прироста с  помощью следующей таблицы:

 
_{Число коров в 2008г. возросло  по сравнению  с 2003г. на 21 корову ежегодно.} 

Число коров  в 2004г. возросло на 22 коровы по сравнению  с 2003г.

Число коров  в 2008г. по отношению  к аналогичным  показателям 2003г. составляет 111,1%.

_{Число коров в 2004г. по отношению  к аналогичному показателю 2003г. составляет 111,6%.}

Число коров  в 2008г. увеличилось на 11,1% в сравнении  с 2003г.

Число коров  в 2008г. увеличилось на 11,6% в сравнении  с 2003г.

2. Найдем средний  уровень ряда:

Среднегодовая численность поголовья коров  за период с 2003г. по 2004г. составляет 219 коров.

3. Найдем средний  абсолютный прирост: 

В среднем с  каждым годом число коров увеличивалось  на 4 коровы.

4. Найдем средний  темп роста:

5.  Найдем  средний темп прироста:

В среднем число  коров увеличивалось на 2,1% с каждым годом.

Прогноз на 2009год.

Линейное уравнение  тренда:

  - точечный прогноз на 2009 год.

   Рассчитаем  интервальный прогноз:

  =2,78 (0,05;4)

- среднеквадратическая ошибка  прогноза.

Среднее поголовье коров в 2009 г. будет находиться в пределах , что можно утверждать с вероятностью 95% .