Постановка задач принятия оптимальных решений

Содержание

Введение...................................................................................................................3

1. Постановка  задач принятия оптимальных решений........................................5

2. Принятие  решений в условиях риска................................................................9

2.1 Критерий  ожидаемого значения (КОЗ)...........................................................9

2.2 Критерий  предельного уровня.......................................................................10

2.3 Критерий  наиболее вероятного исхода.........................................................10

2.4 Учет  неопределенных факторов, заданных  законом распределения.........11

3. Постановка  задачи стохастического программирования..............................13

4. Метод  статистического моделирования..........................................................16

4.1 Учет  неопределенных пассивных условий...................................................16

4.2 Учет  активных условий...................................................................................21

Заключение.............................................................................................................25

Список  литературы................................................................................................26

Введение

Человек – существо свободное и обречено на выбор решений, стараясь сделать всё наилучшим образом. В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора. Ввиду того, что размерность практических задач, как правило, достаточно велика, а расчеты в соответствии с алгоритмами оптимизации требуют значительных затрат времени, то методы принятия оптимальных решений главным образом ориентированы на реализацию их с помощью ЭВМ.

Практическая потребность общества в научных основах принятия решений  возникла с развитием науки и  техники только в XVIII веке. Началом науки "Теория принятия решений" следует считать работу Джозефа Луи Лагранжа, смысл которой заключался в следующем: сколько земли должен брать на лопату землекоп, чтобы его сменная производительность была наибольшей. Оказалось, что утверждение "бери больше, кидай дальше" неверно. Бурный рост технического прогресса, особенно во время и после второй мировой войны, ставил все новые и новые задачи, для решения которых привлекались и разрабатывались новые научные методы. Можно выделить следующие научно-технические предпосылки становления "Теории принятия решений": удорожание "цены ошибки"¹.

Чем сложнее, дороже, масштабнее планируемое  мероприятие, тем менее допустимы  в нем "волевые" решения и  тем важнее становятся научные методы, позволяющие заранее оценить  последствия каждого решения, заранее  исключить недопустимые варианты и  рекомендовать наиболее удачные:

- ускорение научно-технической революции техники и технологии.

Жизненный цикл технического изделия  сократился настолько, что "опыт" не успевал накапливаться и, требовалось  применение более развитого математического  аппарата в проектировании;

- развитие ЭВМ.

Размерность и сложность реальных инженерных задач не позволяло использовать аналитические методы.

Как часто это бывает, эта наука  стала, с одной стороны, определенной ветвью других более общих наук (теория систем, системный анализ, кибернетика  и т.д.), а с другой, стала синтезом определенных фундаментальных более  частных наук (исследование операций, оптимизация и т.д.), создав при  этом и собственную методологию.

Инженерное дело теснейшим образом  связано с совокупностями объектов, которые принято называть сложными системами, которые характеризуются многочисленными и разнообразными по типу связями между отдельно существующими элементами системы и наличием у системы функции назначения, которой нет у составляющих ее частей. На первый взгляд каждая сложная система имеет уникальную организацию. Однако более детальное изучение способно выделить общее в системе команд ЭВМ, в процессах проектирования лесной машины, самолета и космического корабля².

1. Постановка задач принятия оптимальных решений

риск стохастический программирование моделирование

Несмотря на то, что методы принятия решений отличаются универсальностью, их успешное применение в значительной мере зависит от профессиональной подготовки специалиста, который должен иметь  четкое представление о специфических  особенностях изучаемой системы  и уметь корректно поставить  задачу. Искусство постановки задач  постигается на примерах успешно  реализованных разработок и основывается на четком представлении преимуществ, недостатков и специфики различных  методов оптимизации. В первом приближении  можно сформулировать следующую  последовательность действий, которые  составляют содержание процесса постановки задачи:

- установление границы подлежащей  оптимизации системы, т.е. представление системы в виде некоторой изолированной части реального мира. Расширение границ системы повышает размерность и сложность многокомпонентной системы и, тем самым, затрудняет ее анализ. Следовательно, в инженерной практике следует к декомпозиции сложных систем на подсистемы, которые можно изучать по отдельности без излишнего упрощения реальной ситуации;

- определение показателя эффективности, на основе которого можно оценить характеристики системы или ее проекта с тем, чтобы выявить "наилучший" проект или множество "наилучших" условий функционирования системы. В инженерных приложениях обычно выбираются показатели экономического (издержки, прибыль и т.д.) или технологического (производительность, энергоемкость, материалоемкость и т.д.) характера. "Наилучшему" варианту всегда соответствует экстремальное значение показателя эффективности функционирования системы;

- выбор внутрисистемных независимых  переменных, которые должны адекватно описывать допустимые проекты или условия функционирования системы и способствовать тому, чтобы все важнейшие технико-экономические решения нашли отражение в формулировке задачи;

- построение модели, которая описывает взаимосвязи между переменными задачи и отражает влияние независимых переменных на значение показателя эффективности³.

В самом общем случае структура  модели включает основные уравнения  материальных и энергетических балансов, соотношения, связанные с проектными решениями, уравнения, описывающие  физические процессы, протекающие в  системе, неравенства, которые определяют область допустимых значений независимых  переменных и устанавливают лимиты имеющихся ресурсов.

Элементы модели содержат всю информацию, которая обычно используется при  расчете проекта или прогнозировании  характеристик инженерной системы. Очевидно, процесс построения модели является весьма трудоемким и требует  четкого понимания специфических  особенностей рассматриваемой системы.

Несмотря на то, модели принятия оптимальных  решений отличаются универсальностью, их успешное применение зависит от профессиональной подготовки инженера, который должен иметь полное представление  о специфике изучаемой системы. Основная цель рассмотрения приводимых ниже примеров – продемонстрировать разнообразие постановок оптимизационных задач на основе общности их формы.

Все оптимизационные задачи имеют  общую структуру. Их можно классифицировать как задачи минимизации (максимизации) M-векторного векторного показателя эффективности  W_m(x), m=1,2,...,M, N-мерного векторного аргумента x=(x₁,x₂,...,x_N), компоненты которого удовлетворяют системе ограничений-равенств h_k(x)=0, k=1,2...K, ограничений-неравенств g_j(x)>0, j=1,2,...J, областным ограничениям x_li<x_i<x_ui, i=1,2...N.

Все задачи принятия оптимальных решений  можно классифицировать в соответствии с видом функций и размерностью W_m(x), h_k(x), g_j(x) и размерностью и содержанием вектора x:

- одноцелевое принятие решений – W_m(x) – скаляр;

- многоцелевое принятие решений – W_m(x) – вектор;

- принятие решений в условиях  определенности – исходные данные – детерминированные;

- принятие решений в условиях  неопределенности – исходные данные – случайные.

Наиболее разработан и широко используется на практике аппарат одноцелевого принятия решений в условиях определенности, который получил название математического программирования.

Математический аппарат одноцелевого принятия решений в условиях неопределенности представляет собой стохастическое программирование (известны законы распределения случайных величин), теории игр и статистических решений (закон распределения случайных величин неизвестен).

Рассмотрим процесс принятия решений  с самых общих позиций. Психологами  установлено, что решение не является начальным процессом творческой деятельности. Оказывается, непосредственно акту решения предшествует тонкий и обширный процесс работы мозга, который формирует и предопределяет направленность решения. В этот этап, который можно назвать "предрешением" входят следующие элементы:

- мотивация, то есть желание или необходимость что-то сделать. Мотивация определяет цель какого-либо действия, используя весь прошлый опыт, включая результаты;

- возможность неоднозначности  результатов;

- возможность неоднозначности  способов достижения результатов,  то есть свобода выбора.

После этого предварительного этапа  следует, собственно, этап принятия решения. Но на нем процесс не заканчивается, т.к. обычно после принятия решения следует оценка результатов и корректировка действий. Таким образом, принятие решений следует воспринимать не как единовременный акт, а как последовательный процесс.

Выдвинутые выше положения носят  достаточно общий характер, обычно подробно исследуемый психологами. Более близкой с точки зрения инженера будет следующая схема  процесса принятия решения. Эта схема  включает в себя следующие компоненты:

- анализ исходной ситуации;

- анализ возможностей выбора;

- выбор решения;

- оценка последствий решения  и его корректировка.

2. Принятие решений  в условиях риска

Как указывалось выше, с точки  зрения знаний об исходных данных в  процессе принятия решений можно  представить два крайних случая: определенность и неопределенность. В некоторых случаях неопределенность знаний является как бы "неполной" и дополняется некоторыми сведениями о действующих факторах, в частности, знанием законов распределения  описывающих их случайных величин. Этот промежуточный случай соответствует  ситуации риска⁴.

Принятие решений в условиях риска может быть основано на одном  из следующих критериев:

- критерий ожидаемого значения;

- комбинации ожидаемого значения  и дисперсии;

- известного предельного уровня;

- наиболее вероятного события  в будущем.

Рассмотрим более подробно применение этих критериев.

2.1 Критерий ожидаемого  значения (КОЗ)

Использование КОЗ предполагает принятие решения, обуславливающего максимальную прибыль при имеющихся исходных данных о вероятности полученного  результата при решении. По существу, КОЗ представляет собой выборочные средние значения случайной величины. Естественно, что достоверность  получаемого решения при этом будет зависеть от объема выборки.

2.2 Критерий предельного  уровня

Этот критерий не имеет четко  выраженной математической формулировки и основан в значительной степени  на интуиции и опыте ЛПР. При этом ЛПР на основании субъективных соображений определяет наиболее приемлемый способ действий. Критерий предельного уровня обычно не используется, когда нет полного представления о множестве возможных альтернатив. Учет ситуации риска при этом может производиться за счет введения законов распределений случайных факторов для известных альтернатив.

Несмотря на отсутствие формализации, критерием предельного уровня пользуются довольно часто, задаваясь их значениями на основании экспертных или опытных данных.

2.3 Критерий наиболее  вероятного исхода

Этот критерий предполагает замену случайной ситуации детерминированной  путем замены случайной величины прибыли (или затрат) единственным значением, имеющим наибольшую вероятность реализации. Использование данного критерия, также как и в предыдущем случае в значительной степени опирается на опыт и интуицию. При этом необходимо учитывать два обстоятельства, затрудняющие применение этого критерия:

- критерий нельзя использовать, если наибольшая вероятность события недопустимо мала;

- применение критерия невозможно, если несколько значений вероятностей  возможного исхода равны между собой.

2.4 Учет неопределенных  факторов, заданных законом распределения

Случай, когда неопределенные факторы  заданы распределением, соответствует  ситуации риска. Этот случай может учитываться  двумя путями. Первый – анализом адаптивных возможностей, позволяющих реагировать на конкретные исходы; второй – методически, при сопоставлении эффективности технических решений. Суть первого подхода заключается в том, что законы распределения отдельных параметров на этапе проектирования могут быть определены с достаточной степенью приближения на основе сопоставления с аналогами, из физических соображений или на базе статистических данных и данных прогнозов.

Методический учет случайных факторов, заданных распределением, может быть выполнен двумя приемами: заменой  случайных параметров их математическими  ожиданиями (сведением стохастической задачи к детерминированной) и "взвешиванием" показателя качества по вероятности (этот прием иногда называют "оптимизация  в среднем").

Первый прием предусматривает  определение математического ожидания случайной величины v – M(v) и определение зависимости W(M(v)), которая в дальнейшем оптимизируется по u. Однако сведение к детерминированной схеме может быть осуществлено в тех случаях, когда диапазон изменения параметра u невелик или когда зависимость W(u) линейна или близка к ней.

Второй прием предусматривает  определение W в соответствии с зависимостями  соответственно для дискретных и  непрерывных величин:

,

,

где P(u_i) – ряд распределений случайной величины u_i;

f(u_i) – плотность распределения случайной величины u.

При описании дискретных случайных  величин наиболее часто используют распределения Пуассона, биноминальное. Для непрерывных величин основными распределениями являются нормальное, равномерное и экспоненциальное⁵.

3. Постановка задачи  стохастического программирования

При перспективном и оперативном  планировании работы предприятия возникает  необходимость в учете ряда случайных  факторов, существенно влияющих на процесс производства. К таким  факторам относятся спрос, который  не всегда может быть предсказуем, непредусмотренные  сбои в поступлении сырья, энергии, рабочей силы, неисправности и  аварии оборудования. Еще больше случайных  факторов необходимо учитывать при  планировании производства, эффективность  которого зависит от климатических  условий, урожайности и т.д. Поэтому, например, задачи планирования лесного  производства целесообразно ставить  и исследовать в терминах и  понятиях стохастического программирования, когда элементы задачи линейного  программирования (матрица коэффициентов A, вектора ресурсов В, вектора оценок С) часто оказываются случайными. Подобного типа задачи ЛП принято классифицировать как задачи стохастического программирования (СП).

Подходы к постановке и анализу  стохастических задач существенно  различаются в зависимости от последовательности получения информации – в один прием или по частям. При построении стохастической модели важно также знать, необходимо ли принять единственное решение, не подлежащее корректировке, или можно по мере накопления информации один или несколько раз корректировать решение. В соответствии с этим в стохастическом программировании исследуются одноэтапные, двухэтапные и многоэтапные задачи.

В одноэтапных задачах решение принимается один раз и не корректируется. Они различаются по показателям качества решения (по целевым функциям), по характеру ограничений и по виду решения.

Задача СП может быть сформулирована в M- и P-постановках по отношению  к записи целевой функции и  ограничений. Случайны элементы вектора С (целевая функция).

При M-постановке целевая функция W записывается в виде:

.

Что означает оптимизацию математического  ожидания целевой функции.

От математического ожидания целевой  функции можно перейти к математическому  ожиданию случайной величины c_j

.

При P- постановке имеем:

- при максимизации

где W_min – предварительно заданное допустимое наихудшее (минимальное) значение целевой функции;

- при минимизации

где W_max – предварительно заданное допустимое наихудшее (максимальное) значение целевой функции.

Суть P-постановки заключается в  том, что необходимо найти такие  значения x_j, при которых максимизируется вероятность того, что целевая функция будет не хуже предельно допустимого значения.

Ограничения задачи, которые должны выполняться при всех реализациях  параметров условий задачи, называются жесткими ограничениями. Часто возникают ситуации, в которых постановка задачи позволяет заменить жесткие ограничения их усреднением по распределению случайных параметров. Такие ограничения называют статистическими.

В инженерной практике наиболее часто  используется нормальный закон распределения, поэтому дальнейшие зависимости  приведем для этого случая⁶.

4. Метод статистического  моделирования

В задачах принятия оптимальных  решений широкое применение получил  метод Монте-Карло. Основными особенностями этого метода, основанного на многократном повторении одного и того же алгоритма для каждой случайной реализации, являются: универсальность (метод не накладывает практически никаких ограничений на исследуемые параметры, на вид законов распределения); простота расчетного алгоритма; необходимость большого числа реализаций для достижения хорошей точности; возможность реализации на его основе процедуры поиска оптимальных параметров проектирования.

Отметим основные факторы, определяющие применение метода статистического  моделирования в задачах исследования качества при проектировании: метод  применим для задач, формализация которых  другими методами затруднена или  даже невозможна; возможно применение этого метода для машинного эксперимента над не созданной в натуре системы, когда натурный эксперимент затруднен, требует больших затрат времени  и средств или вообще не допустим по другим соображениям⁷.

4.1 Учет неопределенных  пассивных условий

Неопределенные факторы, закон  распределения которых неизвестен, являются наиболее характерными при  исследовании качества адаптивных систем. Именно на этот случай следует ориентироваться  при выборе гибких конструкторских  решений. Методический учет таких факторов базируется на формировании специальных  критериев, на основе которых принимаются  решения. Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа уже давно и прочно вошли в теорию принятия решений⁸.

В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой":

.

Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ir] дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов W_ir каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Выбранное таким образом решение  полностью исключает риск. Это  означает, что принимающий решение  не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который  он ориентируется. Какие бы условия  V_j не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может  быть оправдано, если ситуация, в которой  принимается решение, характеризуется  следующими обстоятельствами:

- о вероятности появления состояния  V_j ничего не известно;

- с появлением состояния V_j необходимо считаться;

- реализуется лишь малое количество  решений;

- не допускается никакой риск.

Критерий Байеса-Лапласа в отличие от критерия Вальда, учитывает каждое из возможных следствий всех вариантов решений:

.

Соответствующее правило выбора можно  интерпретировать следующим образом: матрица решений [W_ij] дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбирается тот вариант, в строках которого стоит наибольшее значение W_ir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа предъявляет  к ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

- вероятность появления состояния  V_j известна и не зависит от времени;

- принятое решение теоретически  допускает бесконечно большое  количество реализаций;

- допускается некоторый риск  при малых числах реализаций.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

.

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии  V_j вместо варианта U_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений [W_ij] вычитается из наибольшего результата max W_ij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу остатков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей W_ir. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

.

Правило выбора, согласно этому критерию, следующее: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы W_ir этого столбца.

Критерий Гурвица предъявляет  к ситуации, в которой принимается  решение, следующие требования:

- о вероятности появления состояния  V_j ничего не известно;

- с появлением состояния V_j необходимо считаться;

- реализуется лишь малое количество  решений;

- допускается некоторый риск.

Критерий Ходжа-Лемана базируется одновременно на критериях Вальда и Байеса-Лапласа:

.

Правило выбора, соответствующее этому  критерию, формулируется следующим  образом: матрица решений [W_ij] дополняется столбцом, составленным из средних взвешенных (с постоянными весами) математического ожидания и наименьшего результата каждой строки. Отбирается тот вариант решения, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца.

При z=1 критерий преобразуется в  критерий Байеса-Лапласа, а при z=0 превращается в критерий Вальда. Таким образом, выбор параметра z подвержен влиянию субъективизма. Кроме того, без внимания остается и число реализаций. Поэтому этот критерий редко применяется при принятии технических решений.

Критерий Ходжа-Лемана предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

- о вероятности появления состояния  V_j ничего неизвестно, но некоторые предположения о распределении вероятностей возможны;

- принятое решение теоретически  допускает бесконечно большое  количество реализаций; допускается  некоторый риск при малых числах  реализаций.

Общие рекомендации по выбору того или  иного критерия дать затруднительно. Однако отметим следующее: если в  отдельных ситуациях не допустим даже минимальный риск, то следует  применять критерий Вальда; если определенный риск вполне приемлем, то можно воспользоваться критерием Сэвиджа. Можно рекомендовать одновременно применять поочередно различные критерии.

Такой подход позволяет, во-первых, лучше  проникнуть во все внутренние связи  проблемы принятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного  фактора. Кроме того, в области  технических задач различные  критерии часто приводят к одному результату.

Применение данных критериев с  методической точки зрения удобно продемонстрировать на примере одной задачи⁹.

4.2 Учет активных  условий

Как правило, решение практических задач, связанных с оценкой качества и надежности изделий лесного  машиностроения, зависит не только от оперирующей стороны (допустим, конструктора), но и от действий других субъектов системы (например, технолога-лесозаготовителя). Каждая из сторон преследует собственные цели, не всегда совпадающие друг с другом. Неопределенность такого рода при принятии решений относят к классу поведенческих неопределенностей. Теоретической основой нахождения оптимального решения в условиях неопределенности и конфликтных ситуаций является теория игр. Игра – это математическая модель процесса функционирования конфликтующих элементов систем, в котором действия игроков происходят по определенным правилам, называемых стратегиями. Ее широкому распространению в последнее время способствовало как развитие ЭВМ, так и создание аналитического аппарата, позволяющего находить аналитические решения для широкого класса задач. Основной постулат теории игр – любой субъект системы, по меньшей мере, так же разумен, как и оперирующая сторона и делает все возможное, чтобы достигнуть своих целей. От реального конфликта игра (математическая модель конфликта) отличается тем, что она ведется по определенным правилам, которые устанавливают порядок и очередность действий субъектов системы, их информированность, порядок обмена информацией, формирование результата игры¹⁰.

Существует много классов игр, различающихся по количеству игроков, числу ходов, характеру функций  выигрыша и т.д. Выделим следующие  основные классы игр:

- антагонистические (игры со  строгим соперничеством) и неантагонистические.  В первом случае цели игроков  противоположны, во втором – могут совпадать;

- стратегические и нестратегические (в первых субъект системы действует  независимо от остальных, преследуя  свои цели, во-вторых, субъекты выбирают  единую для всех стратегию);