Построение эконометрических уравнений

Содержание

Введение

Эконометрика является одной  из основных базовых дисциплин подготовки экономистов и менеджеров. Она  позволяет оперативно строить математические модели экономических процессов, по которым можно спрогнозировать как будут изменяться экономические показатели развития рыночной среды. Исходя из этого, контрольная работа по дисциплине «Эконометрика» является актуальной для моей будущей деятельности.

Целью работы является получение  практических навыков построения эконометрических моделей.

Основными задачами работы являются.

1.Построение эконометрической  модели парной регрессии.

2.Построение экономической  модели множественной регрессии.

При построении экономической  модели парной регрессии мною были решены следующие частные задачи.

1. Рассчитаны параметры уравнения линейной парной регрессии.
2. Оценена теснота связи зависимой переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.
3. На основе использования коэффициента эластичности выполнена количественная оценка влияния объясняющей переменной на результативную переменную.
4. Определена средняя ошибка аппроксимации.
5. С помощью F-критерия Фишера выполнена статистическая оценка надежности моделирования.

При построении экономической  модели множественной регрессии  мною были решены указанные выше частные  задачи и дополнительно выполнена  оценка статистической значимости полученных коэффициентов регрессии.

1 Построение эконометрических уравнений с использованием инструмента Регрессия «Пакета анализа» табличного процессора MS Excel

1.1 Построение  модели парной регрессии

В соответствии с вариантом  задания, исходные данные которого приведены  в таблице 1:

1. Рассчитать параметры  уравнения линейной парной регрессии.

2.Оценить тесноту связи зависимой переменной с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Используя коэффициент  эластичности, выполнить количественную  оценку влияния объясняющей переменной  на результативную переменную.

4. Определить среднюю  ошибку аппроксимации.

5. Оценить с помощью  F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.

   Исходные данные  для построения модели парной  линейной регрессии приведены в таблице 1.

Линейное уравнение парной регрессии имеет вид:

ŷ=b₀+b₁x,                                                                                                      (1)

где ŷ – оценка условного  математического ожидания у; b₀, b₁- эмпирические коэффициенты регрессии, подлежащие определению.

Таблица 1 – Исходные данные

Эмпирические коэффициенты регрессии b_0, b₁ будем определять с помощью инструмента «Регрессия» надстройки «Анализ данных» табличного процессора MS Excel.

Рисунок 1- Протокол решения задачи

Из рисунка 1 видно, что  эмпирические коэффициенты регрессии  соответственно равны:

 b₀ = 326; b₁ = - 0,52.

Тогда уравнение парной линейной регрессии, связывающее величину ежемесячной  пенсии y с величиной прожиточного минимума x, имеет вид:

                                                 ŷ= 326-0,52х.                                                     (2)

Далее, в соответствии с  заданием необходимо оценить тесноту  статистической связи между величиной  прожиточного минимума x и величиной ежемесячной пенсии y. Эту оценку можно сделать с помощью коэффициента корреляции r_yx.  Величина этого коэффициента на рисунке 1 обозначена как множественный  R и соответственно равна = 0,65. Поскольку, в общем случае, величина данного коэффициента находится в пределах от -1 до +1, то можно сделать вывод о существенности статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у.

Параметр R – квадрат, представленный на рисунке 1, представляет собой квадрат коэффициента корреляции r²_yx и называется коэффициентом детерминации. Величина данного коэффициента характеризует долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную регрессией (объясняющей переменной х). Соответственно величина 1- r²_yx характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных. Из рисунка 1 видно, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных  приблизительно составляет: 1-0,4193 = 0,5807 или 58,07%.

На следующем этапе, в  соответствии с заданием, необходимо выполнить количественную оценку влияния  объясняющей переменной х на результативную переменную у, используя коэффициент эластичности. Коэффициент эластичности для модели парной регрессии определяется в виде: 
                                                                                                         (3)

Тогда%

Следовательно, при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии изменяется на - 0,44%.

Далее определяем среднюю  ошибку аппроксимации по зависимости:

                                                                                 (4)

Для этого исходную таблицу 1 дополняем двумя колонками (таблица 2), в которых определяем значения , рассчитанные с использованием зависимости (2) и значения разности .

Тогда средняя ошибка аппроксимации  равна:

Из практики  известно, что значение средней ошибки аппроксимации  не должно превышать (12…15)%.

                          Таблица 2 - Расчет средней ошибки аппроксимации

На последнем этапе  выполним оценку статистической надежности моделирования с помощью F-критерия Фишера. Для этого выполним проверку нулевой гипотезы Н₀  о статистической не значимости, полученного уравнения регрессии по условию: если при заданном уровне значимости α = 0,05 теоретическое значение F – критерия F_т больше его критического значения F_крит то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается значимым.

Из рисунка 1 следует, что  F_т = 2,166. Критическое значение F – критерия  Fкрит, определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР ( ) табличного процессора MS Exсel. Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) 0,05 и число степеней свободы 1 и 2. Для моделей парной регрессии число степеней свободы соответственно равно 1 ( одна объясняющая переменная ) и n-2 = 5-2=3.

F_крит =10,128. Так как F_т < F_крит , то нулевая гипотеза не отвергается и полученное регрессионное уравнение статистически не значимо.

1.2 Построение  модели множественной регрессии

В соответствии с вариантом  задания, используя статистический материал, необходимо.

1.  Построить линейное  уравнение множественной регрессии.

2.  Дать сравнительную  оценку тесноты объясняющих переменных  с зависимой переменной с помощью  средних (общих) коэффициентов  эластичности.

3. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью F – критерия.

4. Оценить качество уравнения  посредством определения средней  ошибки аппроксимации.

Исходные данные для построения множественной регрессии приведены  в таблице 3.

                                     Таблица 3 – Исходные данные

Технологии построения уравнения  регрессии аналогична алгоритму, изложенному в п.п.1.1.   Протокол построения уравнения регрессии показан на  рисунке 2.

Рисунок 2 – Протокол решения задачи

Из рисунка 2 видно, что  эмпирические коэффициенты регрессии  соответственно равны:

  b₀ = 0,9;   b₁ = -0,12;   b₂ = 0,36.

Тогда уравнение множественной  линейной регрессии, связывающее величину чистого дохода у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂ имеет вид:

ŷ = 0,9 - 0,12х₁ + 0,36х₂.                                                                         (5)

На следующем этапе, в  соответствии с заданием необходимо выполнить количественную оценку влияния  объясняющих переменных х₁ и х₂  на результативную переменную у, используя коэффициенты эластичности. Коэффициенты эластичности для модели множественной линейной регрессии определяется в виде:

                                                                                                          (6)

Тогда

Следовательно, при изменении  оборота капитала на 1 %, величина чистого дохода компании изменяется на - 1,53%.

Следовательно, при изменении  оборота капитала на 1 %, величина чистого  дохода компании изменяется на 2,27%.

На третьем этапе исследования необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t – критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F – критерия.

Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  также основывается на проверке нулевой  гипотезы о не значимости коэффициентов  регрессии. При этом проверяется  выполнения условия:  если t_T > t_крит , то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент регрессии принимается значимым. Из рисунка 2 видно, что t_T   для первого коэффициента регрессии равен - 2,4;  а для второго 3,0. Критическое значение t_крит  при уровне значимости α = 0,05 определяем с использованием статистической функции СТЬЮДРАСПОБР ( ). Входными параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы. Для рассматриваемого примера число степеней свободы соответственно равно n-3 (так как, для двухфакторной модели множественной регрессии, оценивается три параметра b₀, b₁, b₂). Тогда число степеней свободы равно 10-3=7.

Критическое значение t_крит=2,36. Так как t_T < t_крит для первого коэффициента регрессии (-2,4<2,36), то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная х₁ является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии t_T > t_крит  (3,0>2,36) и объясняющая переменная х₂ является статистически значимой. Из рисунка 2 следует, что F_T = 5,97. Критическое значение F – критерия F_крит , определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР ( ).Для модели множественной регрессии с двумя переменными число степеней свободы соответственно равно 2 (две объясняющие переменные х1 и х2) и n-k-1(где k=2 – число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно 10-3=7. Критическое значение F_крит = 4,74. Следовательно: F_т  > F_крит, (5,97 > 4,74), и уравнение регрессии в целом является значимым .

На последнем этапе  исследования необходимо оценить качество уравнения посредством определения  средней ошибки аппроксимации по зависимости. С этой целью представим таблицу 3 в виде вспомогательной  таблицы 4. Тогда средняя ошибка аппроксимации  составит:

Значительная ошибка объясняется  четвертым и последним значением последней колонки. Исключая последнее значение из анализа, можно показать, что средняя ошибка аппроксимации в данном случае не превысит 15%, что также является свидетельством достоверности и адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

              Таблица 4 – Расчет средней ошибки аппроксимации

2 Построение эконометрических  уравнений без использования  специализированных программных продуктов

2.1 Построение  модели парной регрессии

Используя статистический материал, приведенный в таблице 1 необходимо:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии.
2. Оценить тесноту связи зависимой переменной с объясняющей переменной с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. На основе использования коэффициента эластичности, выполнить количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4. Определить среднюю ошибку аппроксимации.

5. Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность 
моделирования.

                                                                                             (7)

Для определения неизвестных  параметров b₀, b₁ уравнения парной линейной регрессии (1) используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

Для решения этой системы  вначале необходимо определить значения величин Σх, Σy, Σх² и Σху. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 5)

          Тогда система (7) приобретает вид:

5*b₀+967*b₁=1133

967*b₀+187419*b₁=218915

               Таблица 5 – К расчету коэффициентов регрессии

Выражая из первого уравнения  b₀ и подставляя полученное выражение во второе уравнение, получим:

         967*(226,6-193,4*b₁)+187419*b₁=218915

Производя почленное умножение   и раскрывая скобки, получим:

219122,2+401,2*b₁=218915

Откуда b₁= - 0,52

Тогда b₀=226,6-193,4*(-0,52)=326

Окончательно уравнение  парной линейной регрессии связывающее величину доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у ) с величиной среднемесячной начисленной заработной платы (х ) имеет вид:

                                 (8)

Далее, в соответствии с  заданием необходимо оценить тесноту  статистической связи зависимой  переменной у с объясняющей переменной х с помощью показателей корреляции и детерминации.

Так как построено уравнение  парной линейной регрессии, то определяем

линейный коэффициент корреляции по зависимости:

                                                                                                    (9)

где σ_x σ_y - значения среднеквадратических отклонений соответствующих параметров.

Для расчета линейного  коэффициента корреляции по зависимости (9) выполним промежуточные расчеты:

Подставляя значения найденных  параметров в выражение (9), получим:

Полученное значение линейного  коэффициента корреляции свидетельствует о наличии слабой обратной статистической связи между величиной доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у ) и величиной среднемесячной начисленной заработной платы (х ).

Коэффициент детерминации равен , что означает, что только 42% объясняется регрессией объясняющей переменной х на величину у.   Соответственно величина 1- равная  58 % характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.

Коэффициент эластичности для  модели парной регрессии определяется по зависимости (3) и равен:

%

Следовательно, при изменении прожиточного минимума на 1% величина ежемесячной пенсии изменяется на - 0,44%.

Далее определяем среднюю  ошибку аппроксимации по зависимости 4:

Для этого исходную таблицу 1 дополняем двумя колонками, в  которых определяем значения , рассчитанные с использованием зависимости (8).

                      Таблица 6 -  Расчет средней  ошибки аппроксимации

Тогда средняя ошибка аппроксимации  равна:

Из практики  известно, что значение средней ошибки аппроксимации  не должно превышать (12…15)%.

Надежность статистического  моделирования выполним на основе F -критерия Фишера. Технология использования данного критерия приведена в п.п. 1.2.

Теоретическое значение критерия Фишера F_T определяется из соотношения факторной D_{факторная}  и остаточной D_ост дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы по формуле:

(10)

где n – число наблюдений; m- число объединяющих переменных (для рассматриваемого примера m=1)

Тогда  

Критическое значение F_крит определяется по статистическим таблицам и для уровня значимости а = 0, 05 равняется 10,13. Так как F_т< F_крит, то нулевая гипотеза не отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически незначимым.

2.2      Построение модели множественной  регрессии

Используя статистический материал, приведенный в таблице 3 необходимо:

1. Построить линейное уравнение множественной регрессии.
2. Дать сравнительную оценку тесноты связи объясняющих переменных с зависимой переменной с помощью средних (общих) коэффициентов эластичности.
3. Оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t - критерия и нулевую гипотезу о незначимости уравнения с помощью F -критерия.
4. Оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации.

Для определения неизвестных  параметров b₀ ,b_1, b₂ уравнения множественной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид          

Для решения этой системы  вначале необходимо определить значения величин Σx₁,Σx₂,Σy,Σx₁²,Σx₂²,Σx₁y,Σx₂y,Σx₁x₂. Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 7).

Тогда система (11) приобретает  вид:

10*b₀+423,4*b₁+208,3*b₂=33,1

423,4*b₀+28467,46*b₁+12984,01*b₂=1630,64

208,3*b₀+12984,01*b₁+6092,49*b₂=819,24