Построение и анализ графиков функций

Содержание

Введение

Обработка статистических данных  уже давно  применяется в  самых разнообразных видах человеческой деятельности. Вообще говоря, трудно назвать ту сферу, в которой она бы не использовалась. Но, пожалуй, ни в одной области знаний и практической деятельности обработка статистических данных  не играет такой исключительно большой роли, как в экономике, имеющей дело с обработкой и анализом огромных массивов информации о социально-экономических явлениях и процессах. Всесторонний и глубокий анализ этой информации, так называемых статистических данных, предполагает использование различных специальных методов, важное место среди которых занимает корреляционный и регрессионный анализы обработки статистических данных.

В экономических исследованиях часто решают задачу выявления факторов, определяющих уровень и динамику экономического процесса. Такая задача чаще всего решается методами корреляционного и регрессионного анализа. Для достоверного отображения объективно существующих в экономике процессов необходимо выявить существенные взаимосвязи и не только выявить, но и дать им количественную оценку. Этот подход требует вскрытия причинных зависимостей. Под причинной зависимостью понимается такая связь между процессами, когда изменение одного из них является следствием изменения другого.

Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Не все факторы, влияющие на экономические процессы, являются случайными величинами, поэтому при анализе экономических явлений обычно рассматриваются связи между случайными и неслучайными величинами. Такие связи называются регрессионными, а метод математической статистики, их изучающий, называется регрессионным анализом.

Использование возможностей современной вычислительной техники, оснащенной пакетами программ машинной обработки статистической информации на ЭВМ, делает практически осуществимым оперативное решение задач изучения взаимосвязи показателей биржевых ставок  методами корреляционно-регрессионного анализа.

При машинной обработке исходной информации на ЭВМ, оснащенных пакетами стандартных программ ведения анализов, вычисление параметров применяемых математических функций является быстро выполняемой счетной операцией.

Данная работа посвящена изучению применения анализа функций и использования дифференциального и интегрального исчисления в математическом моделировании экономических систем.

1 Построение и анализ графиков функций

Многочисленные наблюдения и исследования показывают, что в окружающем нас мире величины (например, цена какого-либо то­вара и величина спроса на этот товар, прибыль фирмы и объем производства этой фирмы, инфляция и безработица и т.п.) сущест­вуют не изолированно друг от друга, а напротив, они связаны меж­ду собой определенным образом. Понятие функции или функцио­нальной зависимости - одно из основных математических понятий при помощи которых моделируются взаимосвязи между различны­ми величинами, количественные и качественные отношения между различными экономическими характеристиками и показателями.

Понятие функции, как и понятие множества, относится к числу начальных понятий, поэтому оно не определяется, а поясняется. Говорят, что задана функция, если дан закон, согласно которому каждому значению х из некоторого числовою множества А ставится в соответствие одно вполне определённое значение у из некоторо­го числового множества В.

Функциональная зависимость между величинами х и у символи­чески обозначается так: у = f(x), говорят, что х - аргумент (незави­симая переменная), а у - функция (зависимая переменная).

Совокупность всех значений аргумента, каждому из которых со­ответствует вполне определенное значение функции, называется областью определения функции.

Множество значений, принимаемых у, называется областью из­менения функции.

Функцию можно задавать различными способами. Наиболее рас­пространенные и важные среди них - задание функции формулой, таблицей и графиком. При задании функции в ЭВМ часто исполь­зуется также алгоритмический способ.

В качестве примера рассмотрим взаимосвязь между ценой про­дукта, которую мы обозначим через р и величиной спроса на этот продукт, которую мы обозначим через q. Эта связь может быть представлена следующей таблицей, отражающей отрицательную взаимосвязь величин (убывание ве­личины спроса с возрастанием цены):

Эта же взаимосвязь величин может быть представлена в виде графика на рисунке 1.

Рисунок 1

Графиком функции называется геометрическое место (множество) точек на координатной плоскости, имеющих ко­ординаты (х;f(х)), у которых абсциссами служат рассматриваемые значения независимой переменной х, а ординатами - соответствую­щие значения функции у=f(х).

Для того чтобы построить график функции, имея ее табличное представление, например график функции спроса, достаточно отло­жить значения величин, приведенных в таблице на соответствую­щих координатных осях, восстановить перпендикуляры к осям из точек, соответствующих определенному значению цены или спроса, и нанести точки пересечения перпендикуляров.

Функциональная зависимость между величинами х и у может быть задана также в виде формулы у = f(x), в которой в качестве f(х) фигурирует конкретная функция. В данном случае зависимость между ценой и величиной спроса выражается формулой: р = 500 - 50 (или q = 30 - 0,06р). Подставляя в последнюю формулу значения цены, представленные в верхней строке таблицы, мы легко убедимся в том, что в результате получаются соответствующие це­нам величины спроса, представленные в нижней строке таблицы. Таким образом, зная формулу функции, несложно получить таб­личное и графическое представление этой функции.

2 Дифференциальное исчисление в экономическом анализе

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей эко­номического анализа является изучение связей экономических ве­личин, записываемых в виде функций.

В экономике очень часто требуется найти наилучшее, или опти­мальное значение того или иного показателя: наивысшую произво­дительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет со­бой функцию одного или нескольких аргументов. Нахождение оптимального значения показателя сводится к нахож­дению экстремума (максимума или минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс эк­стремальных задач в экономике, решение которых требует исполь­зования методов дифференциального исчисления. Если экономи­ческий показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задача на максимум прибыли как функции объема выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) приращение функции у на приращение аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумен­та стремится к нулю. Иначе, если такое приращение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рас­сматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это озна­чает, что необходимым условием экстремума функции y=f(x) явля­ется равенство нулю ее производной.

В экономике часто приходится решать задачи на экстремум фун­кций нескольких переменных, поскольку экономические показате­ли обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изу­чены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потреби­тельского выбора). Это - задачи математического программирова­ния, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, исполь­зуемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследо­вания изменяющихся величин затрат или результатов при измене­ниях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) фун­кции у=f(х) - это ее производная (в случае функции одной пере­менной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, сред­няя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С по­мощью средних величии ответ на этот вопрос получить невозмож­но. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Сле­довательно, для их решения необходимо применение методов диф­ференциального исчисления - нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов.

Методы дифференциального исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных экономических факторов, определения их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности - в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление - это не только аппарат, позволяющий находить решения таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты време­ни, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.д.

Одним из важнейших направлений применения дифференциально­го исчисления в экономике является вопрос нахожде­ния и анализа взаимосвязей экономических переменных, определя­ющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.

3 Интегральное исчисление в экономическом анализе

Интегральное исчисление основано на понятии определенного интеграла.

Интеграл (от лат. integer - целый) это одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Геометрический смысл определённого интеграла: интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x) (рисунок 2).

Рисунок 2.

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Определение интегральной суммы позволяет использовать понятие определенного интеграла в социально-экономической сфере. Его применение основано на том, что любой меняющийся социально-экономический процесс может быть интерпретирован как скачкообразный, скачки которого близки к нулю. 

В рыночной экономике широко используется понятие потребительского излишка (CS–consumer’s surplus).

Спрос на данный товар (D–demand) – сложившаяся  на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой P (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично  определяется и другое ключевое понятие экономической теории – предложение (S–supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара P и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене.

И, наконец, введем еще одно  понятие, играющее большую роль в моделировании экономических процессов – рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения.

Интегральное исчисление применяется также для нахождения дисконтированной стоимости денежного потока и степени неравенства в распределении доходов.

Как известно, дисконтирование представляет собой специальный приём для сопоставления текущей и будущей (очевидно, более низкой, чем текущая) ценности денежных сумм. Дисконтирование также называют снижение ценности отсроченных денежных поступлений.

В последнее время в социальных и экономических науках при изучении неравенства все чаще применяется математика. Разработано несколько видов коэффициентов - коэффициент Лоренца, коэффициент Джини, коэффициент Шютца, коэффициент дифференциации и другие. Преобразование данных в математическую форму дает исследователю много новой ценной информации, которая выражается в концентрированном виде, имеет четкий и ясный смысл.

4 Свойства функций

Функции характеризуются рядом свойств, к важнейшим из ко­торых относятся: непрерывность, монотонность, унимодальность и дифференцируемость функции. Рассмотрим вкратце эти свойства функций.

1. Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки А, называется непрерывной в этой точке, если     

2. Возрастающие и убывающие функции называются мо­нотонными функциями.

Функция у=f(х) называется возрастаю­щей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. если х1 < х2, то f(x1) < f(х2).

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений х из этого промежутка, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. если х1 < x2, то f(х1) > f(х2).

3. Унимодальной называется функция, имеющая на заданном отрезке [a,b] один максимум или минимум. Использование свойства унимодальности позволяет построить эффективные методы локализации экстремума – методы золотого сечения и чисел Фибоначчи.

Экстремум функции [extremum] - термин, объединяющий понятия максимума и минимума функции.

4. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если ее приращение представимо в виде Δf = f(x0 + Δx) − f(x0) = A · Δx + o(Δx) , где A - число, не зависящее от Δх, а o(Δx) — функция более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0 .

Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx части A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости чем Δx при Δх → 0.

Линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом в точке х0 и обозначается символом df(x0), т.е. df(x0) = A·Δx.

5 Производные функций

Производной функции в точке х0 называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении х к х0. Производная функции в точке х0 обозначается символом .

Производная функции и сама является функцией - она определяется значением в точке . Эта функция обозначается символом или .

Геометрический смысл производной функции в точке - это тангенс угла наклона между осью абсцисс и касательной к графику этой функции, проходящей через точку с абсциссой .

Если угол наклона касательной острый, то тангенс положительный, а значит, производная положительна.

Если угол наклона касательной тупой, то тангенс отрицательный, а значит, производная отрицательна.

Если угол наклона касательной равен нулю, то тангенс равен нулю, а значит, производная равна нулю.

Если угол наклона прямой, то тангенс не существует, а значит, производная не существует.

Правила вычисления производныx:

1. Производная суммы двух функций:    .

2. Производная произведения постоянной и функции:    .

3. Производная произведения двух функций:   .

4. Производная частного двух функций:    .

5. Производная сложной функции:    .

6. Производная функции вида :   .

Таблица производных:

6 Эластичность функций

Важнейшим направлением применения дифференциального исчисления в экономике является введение с его помощью понятия эластичности. Коэффициент эластичности показывает относитель­ное изменение исследуемого экономического показателя под дей­ствием единичного относительного изменения экономического фак­тора, от которого он зависит при неизменных остальных влияющих на него факторах.

Эластичность функции у = f(x) показывает относительное изменение значения функции у в расчете на единицу относительного изменения аргумента х. Если эластичность переменной у по переменной х обозначить εх(y), то, используя определение эластичности, получаем:

Учитывая, что при (то есть, при малых приращениях аргумента отношение приращений ∆у и ∆х приближается к производной у по х), имеем:

Если f(х) считать общей (совокупной) величиной (как, например, общая или совокупная выручка), то M(f) = ∆y/∆x - соответствующая ей предельная величина (например, предельная выручка, или дополнительная выручка ∆у от дополнительной единицы ∆х), а ∆(у) - средняя величина (средняя выручка, или выручка в среднем на единицу х, равная у/х, в нашем примере это - цена). Таким образом, эластичность функции равна отношению предельной и средней величин.

Заключение

Математические методы в экономике — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Изучение применения анализа функций и использования дифференциального и интегрального исчисления в математическом моделировании экономических систем имеет важное прикладное значение в экономике.

Список использованной литературы

1. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: Дело и Сервис, 2001. – 369 с.

2. Конюховский П. В. Математические методы исследования операций в экономике. — СПб.: Питер, 2000.

3. Трояновский В. М. Элементы математического моделирования в макроэкономике. — М.: Издательство РДЛ, 2001.

4. Шелобаев С. И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб.пособие для студ.вузов, обуч. по эконом. спец. — М.: ЮНИТИ, 2000.

5. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для студ. Вузов, обуч.по эконом.спец./ Под ред. В. В. Федосеева. — М.: ЮНИТИ, 1999.

16