Построение и анализ модели множественной регрессии

 

Федеральное государственное образовательное  бюджетное учреждение высшего профессионального образования финансовый  университет при правительстве российской федерации ярославский филиал
Кафедра математики и информатики
Факультет: экономики                   Направление: финансы и кредит
Контрольная работа
по  дисциплине
«Эконометрика»
Вариант № 12
Студент:	Козлова Виктория Сергеевна
	Курс:	3
	Форма обучения:	День
	Личное дело №:	100.31/120185
Преподаватель:	Черномордик Владимир Дмитриевич
Ярославль 2013

 

План работы

 

 

 

 

 

 

 

1. Задача №  1 «Построение и анализ модели  множественной регрессии»

 

Изучите зависимость  стоимости квартиры от ряда основных факторов.

 

№ п/п	x1 – общая площадь квартиры  (м2)	x2 – жилая площадь квартиры  (м2)	x3 – площадь кухни (м2)	x4 – тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой)	y - цена квартиры, тыс. долл.
1	39,0	20,0	8,2	0	15,9
2	68,4	40,5	10,7	0	27,0
3	34,8	16,0	10,7	0	13,5
4	39,0	20,0	8,5	0	15,1
5	54,7	28,0	10,7	0	21,1
6	74,7	46,3	10,7	0	28,7
7	71,1	45,9	10,7	0	27,2
8	74,5	47,5	10,4	0	28,3
9	137,7	87,2	14,6	0	52,3
10	40,0	17,7	11,0	1	22,0
11	53,0	31,1	10,0	1	28,0
12	86,0	48,7	14,0	1	45,0
13	98,0	65,8	13,0	1	51,0
14	62,6	21,4	11,0	1	34,4
15	45,3	20,6	10,4	1	24,7
16	56,4	29,7	9,4	1	30,8
17	37,0	17,8	8,3	0	15,9
18	67,5	43,5	8,3	0	29,0
19	37,0	17,8	8,3	0	15,4
20	69,0	42,4	8,3	0	28,6
21	40,0	20,0	8,3	0	15,6
22	69,1	41,3	8,3	0	27,7
23	68,1	35,4	13,0	1	34,1
24	75,3	41,4	12,1	1	37,7
25	83,7	48,5	12,1	1	41,9
26	48,7	22,3	12,4	1	24,4
27	39,9	18,0	8,1	1	21,3
28	68,6	35,5	17,0	1	36,7
29	39,0	20,0	9,2	1	21,5
30	48,6	31,0	8,0	1	26,4

 

 

Решение:

 

Линейная модель множественной  регрессии имеет вид:

,

где   - расчётные значения исследуемой переменной,

- факторные переменные.

- коэффициенты уравнения, каждый  из которых показывает, насколько  изменится значение исследуемого  признака при изменении соответствующего  фактора на 1 при неизменных прочих  факторных переменных.

 

 

Рассмотрим факторные признаки для построения регрессионной модели.

- Цена квартиры – это зависимая  переменная Y;

Независимые объясняющие переменные:

- общая площадь квартиры Х₁;

- жилая площадь квартиры Х₂;

- площадь кухни Х₃;

- тип дома Х₄

 

1. Построим классическую  модель множественной регрессии

 

Классическая линейная модель множественной  регрессии можно представить  в виде:

 

 

 

Проведем регрессивный анализ, используя  инструмент Excel  «Регрессия» (Сервис – Анализ данных – Регрессия).

 

Таблица 2 - Протокол выполнения регрессивного анализа многофакторной модели
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,988184182
R-квадрат	0,976507977
Нормированный R-квадрат	0,972749254
Стандартная ошибка	1,690232392
Наблюдения	30
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	4	2968,85	742,2125	259,7978
Остаток	25	71,42214	2,856886
Итого	29	3040,272
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Y-пересечение	-0,919569337	1,553442	-0,59196	0,559196
x1 – общая площадь квартиры (м2)	0,413111875	0,076969	5,367227	1,45E-05
x2 – жилая площадь квартиры (м2)	0,000524556	0,098309	0,005336	0,995785
x3 – площадь кухни (м2)	-0,017685345	0,220126	-0,08034	0,936605
x4 – тип дома (1 - кирпичный, 0 - другой)	7,946876901	0,727228	10,92763	5,2E-11

 

Из анализа получаем коэффициенты уравнения.

Уравнение регрессии зависимости  цены квартиры от независимых объясняющих  переменных принимает вид:

 

y = -0,9196 + 0,4131 x₁ + 0,0005 x₂ + -0,0177 x₃ + 7,9469 x₄

 

Оценим качество модели.

Определим коэффициент детерминации.

 

 

= 1 -  71,422 / 3040,272  = 2968,85 / 3040,272  = 0,9765

 

Коэффициент детерминации показывает, что около 98% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием включенных факторов.

 

Коэффициент множественной корреляции    R = 0,9882

Он показывает высокую тесноту  связи зависимой переменной Y с  двумя включенными в модель объясняющими факторами.

 

Оценим значимость модели в целом  на основе вычисления F-критерия Фишера.

 

 

По данным дисперсионного анализа  F = 259,798

 

Табличное значение F-критерия  со степенями свободы n₁= k и n₂ = (n - k - 1), где n = 30 (количество наблюдений),  k = 4  (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

 

F табл = 2,75871

 

Поскольку F > Fтабл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

С помощью t-статистики Стьюдента оценим статистическую значимость отдельных  параметров.

По данным дисперсионного анализа:

tb₀ = -0,592,   tb₁ = 5,367,   tb₂ = 0,005,  tb₃ = -0,080,   tb₄ = 10,928

 

Табличное значение t-статистики Стьюдента  найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР()

 

t табл = 2,0595

 

Среди всех коэффициентов значимыми (tb > t_табл) являются  коэффициенты b₁ и b₄.

По такой модели прогноз сделать  не представляется возможным, поскольку большинство коэффициентов регрессии при переменных не значимы.

 

2. Проведем корреляционный  анализ для исключения незначимых  факторов и устранения мультиколлинеарности.

 

Используем инструмент Excel  «Корреляция» (Сервис – Анализ данных – Корреляция).

 

Таблица 3 - Матрица коэффициентов  парной корреляции
	y - цена   квартиры,   тыс. долл.	x1 –  общая   площадь   квартиры   (м2)	x2 –   жилая   площадь  квартиры   (м2)	x3 –   площадь   кухни   (м2)	x4 –  тип дома   (1 - кирпичный,   0 - другой)
y - цена   квартиры,   тыс. долл.	1
x1 – общая   площадь   квартиры   (м2)	0,906620301	1
x2 –   жилая   площадь  квартиры   (м2)	0,84380517	0,972572884	1
x3 –   площадь   кухни   (м2)	0,70841664	0,615372581	0,505214415	1
x4 – тип дома   (1 - кирпичный,   0 - другой)	0,392706276	-0,000451759	-0,097618434	0,387353613	1
Анализ матрицы  показывает, что цена квартиры имеет  тесную связь с индексами:
x1 – общая  площадь квартиры (0,907)
x2 – жилая  площадь квартиры (0,844)
x3 – площадь кухни (0,708)
Факторы х1 и  х2 тесно связаны между собой (0,97 > 0,8)
Т. е. наблюдается  мультиколлинеарность
Оставляем в  модели фактор х1 и фактор х3
После исключения незначимых факторов n = 30, k = 2

 

3. Построим линейную модель регрессии только со значимыми факторами.

 

 

 

Из анализа получаем коэффициенты уравнения регрессии а0, а1, а2

 

Уравнение регрессии зависимости  цены квартиры от общей площади квартиры и площади кухни принимает  вид:

 

y = -4,5414 + 0,3445 x₁ + 1,1026 x₂

 

Это означает, что величина стоимости  квартиры в среднем по совокупности возрастала на 344,5 доллара при увеличении общей площади квартиры на 1 кв. м  и увеличивалась на 1102,6 долларов при увеличении площади кухни  на 1 кв. м.  (Экономическая интерпретация коэффициентов модели).

 

Оценим качество построенной модели.

 

Определим коэффициент детерминации.

 

R² = 1 - 430,444 / 3040,272  = 2609,827 / 3040,272  = 0,8584192

 

Коэффициент детерминации показывает, что около 86% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

 

Коэффициент множественной корреляции    R = 0,9265

Он показывает высокую тесноту  связи зависимой переменной Y с  двумя включенными в модель объясняющими факторами.

 

Оценим значимость модели в целом  на основе вычисления F-критерия Фишера.

 

По данным дисперсионного анализа F = 81,8519

 

Табличное значение F-критерия  со степенями свободы n₁= k и n₂ = (n - k - 1), где n = 30 (количество наблюдений),  k = 2  (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

 

F табл = 3,354

 

Поскольку F > Fтабл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации 

 

 

 

Она выражается в процентах и характеризует точность модели. Широко применяется критерий, в соответствии с которым точность считается удовлетворительной, если средняя относительная погрешность меньше 15%. Если E_отн.ср. меньше 5%, то говорят, что модель имеет высокую точность. Не рекомендуется применять для анализа и прогноза модели с неудовлетворительной точностью, то есть, когда E_отн.ср. больше 15%.

 

В нашей модели E_отн.ср. меньше 15%, следовательно точность считается удовлетворительной.

 

С помощью t-статистики Стьюдента оценим статистическую значимость отдельных параметров.

По данным дисперсионного анализа  ta₀ = -1,2799,   ta₁ = 8,2461,   ta₂ = 2,6368

 

Табличное значение t-статистики Стьюдента  найдем с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР()

 

t табл = 2,052

 

Поскольку  ta > t_табл  коэффициенты a₁ и a₂ является значимыми.

 

Оценим влияние значимых факторов на результат с помощью коэффициентов  эластичности, β- и Δ- коэффициентов.

 

Эластичность Y по отношению к Х определяется как процентное изменение Y, отнесенное к соответствующему процентному изменению Х.

 

 

 

Тогда

Эyx₁  = 0,3445 (60,89 / 28,04) = 0,748

 

Следовательно при увеличении общей  площади квартиры на 1% цена квартиры увеличивается на 0,75%

 

Эyx₂  = 1,1026 (10,52 / 28,04) = 0,414

 

Следовательно при увеличении площади  кухни на 1% цена квартиры увеличивается на 0,414%

 

Бета-коэффициент показывает, на какую  часть величины среднего квадратического отклонения S_y изменится зависимая переменная Y с изменением соответствующей независимой переменной Х_j на величину своего среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных.

 

где S_xj  — среднеквадратическое отклонение фактора j

Тогда

 

byx₁  = 0,3445 (22,514 / 10,239) = 0,758

 

byx₂  = 1,1026 (2,249 / 10,239) = 0,242

 

 

Долю влияния фактора в суммарном  влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов D (j)

 

где — коэффициент парной корреляции между фактором j (j = 1,...,m) и зависимой переменной.

 

Dyx₁  = 0,907 × 0,758 / 0,8584 = 0,80

 

Dyx₂  = 0,708 × 0,242 / 0,8584 = 0,20

 

Значения дельта – коэффициентов  показывают, что доля влияния первого  фактора составила 80%, а второго  – 20%.

(Заметим, что сумма дельта – коэффициентов всегда равна 1. Этот факт можно использовать для проверки правильности произведённых вычислений.)

 

Анализ коэффициентов показывает, что наиболее значимым фактором является х₁ – общая площадь квартиры.

 

4. Построим линейную  модель парной регрессии с наиболее значимым фактором.

 

 

 

Из анализа получаем коэффициенты уравнения регрессии а0, а1

 

Уравнение регрессии зависимости  цены квартиры только от общей площади  квартиры принимает вид:

 

y = 2,934 + 0,412 x₁

 

Это означает, что величина стоимости квартиры в среднем по совокупности возрастала на 412 долларов при увеличении общей площади квартиры на 1 кв. м .

 

Оценим качество построенной модели.

 

Определим коэффициент детерминации.

 

R² = 1 - 541,288/ 3040,272  = 2498,983 / 3040,272  = 0,82196

 

Коэффициент детерминации показывает, что около 82% вариации зависимой  переменной учтено в модели и обусловлено  влиянием наиболее значимого фактора.

 

Коэффициент множественной корреляции    R = 0,9066

Он показывает высокую тесноту  связи зависимой переменной Y с объясняющим фактором.

 

Оценим значимость модели в целом  на основе вычисления F-критерия Фишера.

 

По данным дисперсионного анализа F = 129,268

 

Табличное значение F-критерия  со степенями свободы n₁= k и n₂ = (n - k - 1), где n = 30 (количество наблюдений),  k = 1  (количество факторов, включенных в модель) найдем при помощи функции FРАСПОБР()

 

F табл = 4,19597

 

 

Поскольку F > Fтабл , уравнение регрессии следует признать адекватным.

 

 

Определим среднюю относительную  ошибку аппроксимации 

 

 

Поскольку E_отн.ср. меньше 15%, следовательно точность считается удовлетворительной.

 

Сравним модель со значимыми факторами (двухфакторную) и однофакторную  модель с наиболее значимым фактором.

 

Двухфакторная модель	Однофакторная модель
y = -4,5414 + 0,3445 x1 + 1,1026 x2	y = 2,934 + 0,412 x1
R = 0,9265	R = 0,9066
F = 81,8519	F = 129,268

 

Средняя относительная ошибка аппроксимации Е_отн.ср. в двухфакторной модели несколько лучше.

 

Коэффициент множественной корреляции  R в двухфакторной модели несколько лучше.

Чем ближе величина R  к единице, тем теснее выбранный вид функции связывает между собой факторные переменные и исследуемый признак, тем лучше качество модели.

 

Чем больше расчётное значение F-критерия, тем лучше качество модели.

F-критерий Фишера значительно  лучше в однофакторной модели, следовательно модель, в которой  цена квартиры зависит только  от общей площади квартиры (однофакторная)  обладает лучшим качеством.

 

5. Осуществим прогнозирование  (для однофакторной модели) среднего  значения показателя Y при условии,  что прогнозное значения фактора  X составит 80% от его максимального  значения.

 

Точечный прогноз вычисляем  путём подстановки в уравнение  прогнозного значения факторной переменной:

 

Для однофакторной модели максимальное значение Х = 137,7*80% = 110,16

= 48,355

 

Доверительный интервал прогноза зависит  от стандартной ошибки, удаления x_прогн от своего среднего значения в ряде наблюдений x_ср, количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α :

Стандартная ошибка S_ст =  4,397 (по данным таблицы 6)

 

t_0,1 =  СТЬЮДРАСПОБР(0,1; 28) = 1,701

 

Доверительный интервал  L = 1,32

 

 

Тогда фактические значения исследуемого признака с вероятностью (1-α) попадут  в интервал

.

 

6. Представим графически: фактические и модельные значения, точечный прогноз и доверительный интервал прогноза (для однофакторной модели).

 

Таблица 7 - Прогнозирование
№ п/п	Фактическое y - цена   квартиры, тыс. долл.		x1 – общая площадь   квартиры, (м2)			Предсказанное y - цена   квартиры, тыс. долл.
1	15,9		39			19,01444394
2	27		68,4			31,13647903
3	13,5		34,8			17,28272464
4	15,1		39			19,01444394
5	21,1		54,7			25,4877756
6	28,7		74,7			33,73405798
7	27,2		71,1			32,24972715
8	28,3		74,5			33,65159516
9	52,3		137,7			59,70984747
10	22		40			19,42675806
11	28		53			24,7868416
12	45		86			38,39320752
13	51		98			43,34097695
14	34,4		62,6			28,74505714
15	24,7		45,3			21,61202289
16	30,8		56,4			26,18870961
17	15,9		37			18,1898157
18	29		67,5			30,76539633
19	15,4		37			18,1898157
20	28,6		69			31,3838675
21	15,6		40			19,42675806
22	27,7		69,1			31,42509892
23	34,1		68,1			31,0127848
24	37,7		75,3			33,98144645
25	41,9		83,7			37,44488505
26	24,4		48,7			23,01389089
27	21,3		39,9			19,38552665
28	36,7		68,6			31,21894186
29	21,5		39			19,01444394
30	26,4		48,6			22,97265948
31			110,16			48,355
Таблица 8 – Результаты прогнозных оценок
Прогнозируемое значение					48,355
Уровень значимости					0,1
Стандартная ошибка					4,396788203
Размер выборки					30
Число степеней свободы					28
Табличное  t-статистики Стьюдента					1,701130908
Доверительный интервал					1,320389844
Нижняя граница y					47,034
Верхняя граница y					49,675

 

 

 

 

2. Задача №  2 «Построение и анализ модели  временного ряда»

 

 

Таблица 2.1 – Исходные данные
Дан временной ряд, характеризующий  месячную динамику численности занятых  в сфере услуг фирмы yt (чел.) за 8 месяцев:
Месяц, t	1	2	3		4	5	6	7	8
Число занятых yt, чел.	5	8	7		15	22	23	26	33

 

1. Проверим наличие  аномальных наблюдений.

Наличие аномальных наблюдений приводит к искажению результатов моделирования, поэтому необходимо убедиться в  отсутствии аномальных данных. Для  этого воспользуемся методом Ирвина.

Для всех или только для подозреваемых  в аномальности наблюдений вычисляется  величина  y_t.

где

 

Если рассчитанная величина  y_t превышает табличный уровень (например, для 10 наблюдений значение критерия Ирвина равно 1,5), то уровень  y_t считается аномальным. 

Для расчета l воспользуемся функцией Excel  СТАНДОТКЛОН().

 

Таблица 2.2 – Результаты расчетов по методу Ирвина

 

Месяц, t		1	2	3	4	5	6	7	8
Число занятых yt, чел.		5	8	7	15	22	23	26	33
l		0,58	0,35	0,12	0,93	0,81	0,12	0,35	0,81

 

Из результатов мы видим, что  аномальных значений не наблюдается.

 

2. Проверим наличие  тренда.

 

Поделим исходный временной ряд  на две равные части и для каждой части найдем среднее и дисперсию, воспользовавшись пакетом анализа Excel.

 

Число занятых yt, чел.

5

8

7

15

22

23

26

33

 

Таблица 2.3 – Результаты двухвыборочного  F-теста для дисперсии

 

	Переменная 1	Переменная 2
Среднее	8,75	26
Дисперсия	18,92	24,67
Наблюдения	4	4
df	3	3
F	0,767
P(F<=f) одностороннее	0,416
F критическое одностороннее	0,108

 

Среднее значение и дисперсия второй части значительно превышают  среднее значение и дисперсию  первой части, следовательно можно  сделать вывод, что имеется повышающий тренд.

 

 

 

3. Построим линейную  модель временного ряда   ,  
параметры которой оценить с помощью метода наименьших квадратов.

 

Согласно методу наименьших квадратов  при оценке параметров модели всем наблюдениям присваиваются равные веса, т. е. их информационная ценность признается равной, а тенденция развития на всем участке наблюдений – неизменной.

 

Для определения параметров модели воспользуемся инструментом Регрессия  в надстройке Excel  Анализ данных.

Из анализа таблицы 4 получаем коэффициенты уравнения регрессии:

а₀ = -0,893,    а₁ = 4,06

Тогда уравнение модели примет вид:

Коэффициент детерминации R² = 0,95354, что говорит о высокой точности модели.

 

Таблица 4 –  Протокол регрессивного анализа  линейной модели временного ряда
			Месяц, t	Число занятых yt, чел.
			1	5
			2	8
			3	7
ВЫВОД ИТОГОВ			4	15
			5	22
Регрессионная статистика			6	23
Множественный R	0,97649		7	26
R-квадрат	0,95354		8	33
Нормированный R-квадрат	0,94579
Стандартная ошибка	2,37087
Наблюдения	8
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	692,1488	692,149	123,136	3,19E-05
Остаток	6	33,72619	5,62103
Итого	7	725,875
	Коэффи-циенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	-0,89286	1,8474	-0,4833	0,646	-5,413	3,627
Месяц, t	4,05952	0,3658	11,0966	3,2E-05	3,164	4,955
ВЫВОД ОСТАТКА
	Предска-занное Число занятых yt, чел.	Остатки
1	3,16667	1,833333
2	7,22619	0,77381
3	11,2857	-4,285714
4	15,3452	-0,345238
5	19,4048	2,595238
6	23,4643	-0,464286
7	27,5238	-1,52381
8	31,5833	1,416667

 

4. Оценим адекватность  модели, используя свойства независимости  остаточной компоненты, случайности  уровней ряда остатков и соответствия  ряда остатков нормальному закону  распределения.

 

а) Независимость остаточной компоненты (отсутствие автокорреляции) проверим с помощью d-критерия  Дарбина–Уотсона по формуле

Месяц, t	Остатки	Точки поворота
1	1,833333		3,361111
2	0,77381		0,598781	1,122591
3	-4,285714	*	18,36735	25,59878
4	-0,345238		0,119189	15,52735
5	2,595238	*	6,735261	8,6464
6	-0,464286		0,215561	9,360686
7	-1,52381	*	2,321995	1,122591
8	1,416667		2,006944	8,6464
Сумма	0		33,72619	70,0248

 

Значение статистики Дарбина-Уотсона изменяется в диапазоне от 0 до 4. При этом d = 2 указывает на отсутствие автокорреляции элементов временного ряда. Если d меньше двух, то имеет место положительная автокорреляции, а больше двух - отрицательная.

 

d = 70,0248 / 33,7269 = 2,076

 

Так как d попало в интервал от 2 до 4, то вычисляем d’ :

 

d’ = 4 – 2.076 = 1,924

 

Зададим  уровень  значимости равной 0,05. По таблицам значений  критерия Дарбина-Уотсона для числа n=8 и числа независимых переменных модели k=1 критическое значение d1=0,76 и d2=1,33.

Поскольку d’ попало в интервал от d2<d’<2, по данному  критерию  модель адекватна.