Построение кривой обучения, оценка времени для производства дополнительного количества продукции
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
РОССИЙСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-
ЮЖНО-САХАЛИНСКИЙ
ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
Кафедра
математических и естественнонаучных
дисциплин
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
по дисциплине:
«Вычислительная математика»
Вариант № 10
На тему:
«Построение кривой обучения, оценка
времени для производства дополнительного
количества продукции»
г. Южно-Сахалинск
2011 г.
Построение кривой обучения, оценка времени для производства дополнительного количества продукции
Оглавление
Экономический смысл определенного интеграла 3
Коэффициент неравномерности в распределении дохода 4
Кривая обучения 6
Пример 8
Список используемой литературы 10
Экономический смысл определенного интеграла
Пусть функция z = f(t) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени t. Тогда объем v продукции, произведенной за промежуток времени с момента до момента t = T, выражается интегралом от z(t) на отрезке [, T]:
Найдем объем продукции u, произведенной за промежуток времени [0, T].
Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени (f(t) – постоянная функция), то объем продукции ∆u, произведенной за некоторый промежуток времени [t, t+∆t], задается формулой ∆u = f(t)∆t. В общем случае справедливо приближенное равенство ∆u = f(ξ)∆t, где ξϵ[t, t+∆t], которое оказывается тем более точным, чем меньше ∆t.
Возможность
учета влияния различных
где функции – величины затрат соответственно природных ресурсов, труда и капитала; – некоторые числа.
Коэффициент неравномерности в распределении дохода
В
последнее время в социальных
и экономических науках при изучении
неравенства все чаще применяется
математика. Разработано несколько
видов коэффициентов –
Лоренц (Lorenz) Макс (1876 – 1959) – американский экономист и статистик. Дал графическую интерпретацию неравенства в распределении дохода в обществе (кривая Лоренца).
Рассмотрим функцию , где y – это доля совокупного дохода, получаемая частью x наиболее низкооплачиваемого населения. Например, 0,6 означает, что 80% наиболее низкооплачиваемого населения получают 60% совокупного дохода. Очевидно, что , , . Предположим, что нет населения с нулевым доходом, т.е. , и весь доход получается всей совокупностью населения, т.е. .
На рис. 1 показан пример графика функции . Эта кривая называется кривой Лоренца. Если бы распределение доходов было совершенным, то 10% населения получали бы 10% совокупного дохода, 20% населения – 20% дохода и т.д. Тогда кривая распределения доходов была бы прямая . Отклонение реального распределения доходов от идеального измеряется отношением L площади между прямой и кривой Лоренца к площади, ограниченной прямыми , и осью , и называется коэффициентом неравномерности распределения доходов.
Очевидно, что . Значение соответствует совершенному распределению доходов.
Рис. 1 Кривая Лоренца
Кривая обучения
Часто требуется оценить, сколько времени потребуется на производства некоторого дополнительного количества продукции. Для подобных расчетов пользуются так называемой кривой обучения.
Пусть – время, измеряемое в человеко-часах, необходимое для производства первых единиц продукции. Тогда приближенно равно времени, необходимому для производства -й единицы продукции. Обычно используют функции вида
,
где , .
График функции такого вида изображен на рисунке 2 и называется кривой обучения.
Функция – убывающая, так как время, необходимое для выполнения некоторой операции, убывает при возрастании числа повторов.
T до , определяется формулой
Например:
После сборки 100 часов оказалось, что в дальнейшем время убывает в соответствии с формулой . Найти время, которое потребуется для сборки еще 20 часов (т.е. с номера 101 до номера 120).
Решение:
Рис.2 Кривая обучения
Пример
Найти объем выпускаемой продукции за пять лет, если в функции Кобба – Дугласа:
.
Решение:
Подставляя
выражение функции
Получаем после вычислений:
Исследуя кривую Лоренца – зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую OBA на рисунке 3), мы можем оценить степень неравенств в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую – биссектрису ОА, поэтому площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника ОАС (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.
Очевидно, что при , и неравномерность распределения доходов тем больше, чем больше площадь фигуры ОАВ (см. рис. 3).
Рис.3 Зависимость процента доходов от процента имеющего их населения
Список используемой литературы
- Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- 464 с.;
- Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям/[Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.- 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»);
- Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учебно-справочное пособие/под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009. – 646 с. – (Основы наук);
- Попов А.М. Экономико-математические методы и модели: учебник для бакалавров/А.М. Попов, В.Н. Сотников; под ред. проф. А.М. Попова. – М.: Издательство Юрайт, 2011. – 479 с. – Серия: Бакалавр.;
- Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/Под ред. В.И. Ермакова. – 2-е изд., испр. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 575 с. – (100 лет РЭА им. Г.В. Плеханова).
