Построение регрессионных моделей

     Исходные  данные:

     Имеются данные по 14 субъектам уральского и западносибирского региона о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения. Для характеристики зависимости денежных доходов рассчитать параметры следующих функций:

     a)     Линейной;

     b)     Степенной;

     c)     Экспоненты;

     d)     Показательной;

     i) Равносторонней гиперболой;

     f) Обратной. 

     Найти показатели тесноты связи по каждой модели.

     Оценить каждую модель через показатель детерминации F-критерия Фишера, ошибку аппроксимации и выбрать наилучшую из них.

a) Модель линейной парной регрессии. 

Рассчитаем параметры   a и b линейной регрессии у=а+bх.  

Построим расчетную таблицу  

Параметры a и b уравнения

Y_x = a + bx

определяются  методом наименьших квадратов:

      Разделив  на n и решая методом Крамера, получаем формулу для определения b:

      Уравнение регрессии:

= 10,414 + 0,374x

      С увеличением доходов на 1 тыс.руб. потребительские расходы увеличиваются на 0,374 тыс.руб. в среднем, постоянные расходы равны 10,414 тыс.руб.

Тесноту связи  оценим с помощью линейного коэффициента парной корреляции.

Предварительно  определим средние квадратические отклонения признаков.

      Средние квадратические отклонения:

      Коэффициент корреляции:

      Между признаками X и Y наблюдается тесная линейная корреляционная связь. 

Оценим качество построенной модели.

      Определим коэффициент детерминации:

      т. е. данная модель объясняет 69,2% общей дисперсии у, на долю необъясненной дисперсии приходится 30,8%.

      Следовательно, качество модели среднее. 

Найдем величину средней ошибки аппроксимации  А_i .

      Предварительно  из уравнения регрессии определим  теоретические значения для каждого значения фактора.

      Ошибка  аппроксимации  А_i, i=1…15:

      Средняя ошибка аппроксимации:

     Допустимый  предел значений A – не более 8 – 10%.

То есть, модель несколько находится на границе допустимого предела, но все же остается близким к границе. 

      Оценим  статистическую значимость полученного  уравнения.

      Проверим  гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от  х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо.  Примем α=0,05. Найдем табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

      Найдем  фактическое значение F- критерия Фишера:

      следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α = 0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

      Построим  график полученного уравнения.

     b) Модель степенной парной регрессии. 

     Рассчитаем  параметры а и b степенной регрессии:

     Расчету параметров предшествует процедура  линеаризации данного уравнения:

     и замена переменных:

     Y = lny, X = lnx,  A = lna 

     Параметры уравнения:

     Y=A+bX

     определяются  методом наименьших квадратов:

       
 Рассчитываем таблицу. 

     Определяем  b:

     Уравнение регрессии:

     Построим  уравнение регрессии на поле корреляции:

Оценим тесноту  связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R_yx.

      Предварительно  рассчитаем теоретическое значение  для каждого значения фактора x, и , тогда:

      Значение  индекса корреляции  R_xy  близко к 1, следовательно, между переменными у и х наблюдается очень тесная корреляционная связь вида:

Оценим качество построенной модели.

      Определим индекс детерминации:

      т. е. данная модель объясняет 71,3% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 28,7%.  

      Найдем  величину средней ошибки аппроксимации.

      Ошибка  аппроксимации А_i, i=1…14:

      Средняя ошибка аппроксимации:

      Ошибка  менее 10%, качество модели хорошее. 

Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

      Проверим  гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от  х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо.  Примем α = 0,05.

      табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

      фактическое значение F-критерия Фишера:

      следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α = 0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

     с) Модель экспоненциальной парной регрессии. 

     Рассчитаем  параметры а и b экспоненциальной зависимости:

     Расчету параметров предшествует процедура  линеаризации данного уравнения:

     и замена переменных:

     Y = lny, A = lna

     Параметры уравнения:

     Y=A+bX

     определяются  методом наименьших квадратов:

       
 Рассчитываем таблицу/

     Определяем  b:

     Уравнение регрессии:

     Построим  уравнение регрессии на поле корреляции:

Оценим тесноту  связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R_yx.

      Предварительно  рассчитаем теоретическое значение  для каждого значения фактора x, и , тогда:

      Значение  индекса корреляции  R_xy  свидетельствует о наличии между переменными у и х корреляционной связи вида:

Оценим качество построенной модели.

      Определим индекс детерминации:

  R² = 0,763² = 0,584,

      т. е. данная модель объясняет 58,4% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 41,6%.  

      Найдем  величину средней ошибки аппроксимации.

      Ошибка  аппроксимации А_i, i=1…14:

      Средняя ошибка аппроксимации:

      Ошибка  более 10%, качество модели скверное. 

Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

      Проверим  гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от  х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо.  Примем α = 0,05.

      табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

      фактическое значение F-критерия Фишера:

      следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α = 0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна.

     d ) Модель показательной парной регрессии. 

     Рассчитаем  параметры а и b показательной функции:

     Расчету параметров предшествует процедура  линеаризации данного уравнения:

     и замена переменных:

     Y = lny, A = lna,  В= lnb

     Параметры уравнения:

     Y=A+ВX

     определяются  методом наименьших квадратов:

       
 Рассчитываем таблицу.

     Определяем  В:

     Уравнение регрессии:

     Построим  уравнение регрессии на поле корреляции:

Оценим тесноту  связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R_yx.

      Предварительно  рассчитаем теоретическое значение  для каждого значения фактора x, и , тогда:

      Значение  индекса корреляции  R_xy  свидетельствует о наличии между переменными у и х корреляционной связи вида:

Оценим качество построенной модели.

      Определим индекс детерминации:

  R² = 0,763² = 0,584,

      т. е. данная модель объясняет 58,4% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 41,6%.  

      Найдем  величину средней ошибки аппроксимации.

      Ошибка  аппроксимации А_i, i=1…14:

      Средняя ошибка аппроксимации:

      Ошибка  более 10%, качество модели скверное. 

Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

      Проверим  гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от  х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо.  Примем α = 0,05.

      табличное (критическое) значение F-критерия Фишера:

      фактическое значение F-критерия Фишера:

      следовательно, гипотеза H₀ отвергается, принимается альтернативная гипотеза H₁: с вероятностью 1-α = 0,95 полученное уравнение статистически значимо, связь между переменными x и y неслучайна. 
 

Таблица 3

     i ) Модель гиперболической парной регрессии. 

     Рассчитаем  параметры а и b гиперболической зависимости:

     Заменим переменную:

     Параметры уравнения:

     Y=A+ВX

     определяются  методом наименьших квадратов:

       
 Рассчитываем таблицу. 

     Уравнение регрессии:

     Построим  уравнение регрессии на поле корреляции:

Оценим тесноту  связи между признаками у и х с помощью индекса парной корреляции R_yx.

      Предварительно  рассчитаем теоретическое значение  для каждого значения фактора x, и , тогда:

      Значение  индекса корреляции  R_xy  свидетельствует о наличии между переменными у и х корреляционной связи

Оценим качество построенной модели.

      Определим индекс детерминации:

  R² = 0,910² = 0,829,

      т. е. данная модель объясняет 82,9% общей вариации результата у, а на долю необъясненной вариации приходится 17,1%.  

      Найдем  величину средней ошибки аппроксимации.

      Ошибка  аппроксимации А_i, i=1…14:

      Средняя ошибка аппроксимации:

      Ошибка  более 10%, качество модели скверное. 

Оценим статистическую значимость полученного уравнения.

      Проверим гипотезу H₀, что выявленная зависимость у от  х носит случайный характер, т. е. полученное уравнение статистически незначимо.  Примем α = 0,05.

      табличное (критическое) значение F-критерия Фишера: