Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи

 

Задание 

  1. Постройте поле корреляции и сформулируйте  гипотезу о форме связи.
  2. Рассчитайте параметры уравнений линейной, степенной и гиперболической парной регрессии.
  3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
  4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
  5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
  6. Оцените с помощью F- критерии Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.
  7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости .
  8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение

  1. Построим  поле корреляции по исходным данным
 
№ X Y
1 7,5 286
2 8,4 300
3 6,2 258
4 6,4 262
5 5,1 237
6 8,4 300
7 9,0 311
8 5,4 243
9 7,3 279
10 8,2 296
11 8,6 303

 

      Построив  поле корреляции, можно выдвинуть  гипотезу о том, что связь между  фактором и результатом описывается  линейной функцией.  

2. Рассчитаем параметры  уравнений: 

 

а) линейной регрессии (y=a+bx) 

  •  18,97  140,66   0,99

0,9984   0,4968   0,19314

  • 75,111   0,252   1,16337
  • 75,299    1,87
 
 

Все расчеты  были произведены с помощью Excel:

  X Y XY X2 Y2 (x-xср)2 yрас (yрас-yср)2 (у-уср)2 (y-рас)2 |y-рас|/y
1 7,5 286 2145 56,25 81796 0,181818 283 3,45038 6,454545 3,00417 0,010504
2 8,4 300 2520 70,56 90000 1,081818 300,1 20,5297 20,45455 -0,0752 0,000251
3 6,2 258 1599,6 38,44 66564 -1,118182 258,3 -21,2198 -21,5455 -0,3256 0,001262
4 6,4 262 1676,8 40,96 68644 -0,918182 262,1 -17,4244 -17,5455 -0,1211 0,000462
5 5,1 237 1208,7 26,01 56169 -2,218182 237,5 -42,0946 -42,5455 -0,4509 0,001902
6 8,4 300 2520 70,56 90000 1,081818 300,1 20,5297 20,45455 -0,0752 0,000251
7 9 311 2799 81 96721 1,681818 311,5 31,916 31,45455 -0,4614 0,001484
8 5,4 243 1312,2 29,16 59049 -1,918182 243,1 -36,4015 -36,5455 -0,144 0,000593
9 7,3 279 2036,7 53,29 77841 -0,018182 279,2 -0,34504 -0,54545 -0,2004 0,000718
10 8,2 296 2427,2 67,24 87616 0,881818 296,3 16,7343 16,45455 -0,2798 0,000945
11 8,6 303 2605,8 73,96 91809 1,281818 303,9 24,3252 23,45455 -0,8706 0,002873
Сумма Сумкв 80,5 3075 22851 607,43 9E+05 18,31636 9E+05 6596,26 6606,727 10,4704 0,021245
Ср.знач. 7,32 280 2077,4 55,221 78746           0,001931
 
b a R2 rxy S2 S2b S2a Sa Sb ta tb fнабл Э
18,98 140,7 0,9984 0,9992 1,163 0,064 3,507 1,873 0,252 75,11 75,3 5669,9 0,497
 
tкр(0,05;9) Fкрит t*Sa t*Sb дов.интервал(а) дов.интервал(b) A
2,262 5,12 4,24 4,7827 136,43 <140,67< 144,9041 18,41 <19,97< 19,54715 0,19314
 

Данные параметры  можно было определить по функциям («Регрессия»):

Регрессионная статистика          
Множественный R 0,999207284          
R-квадрат 0,998415196          
Нормированный R-квадрат 0,998239106          
Стандартная ошибка 1,078598333          
Наблюдения 11          
             
Дисперсионный анализ          
  df SS MS F Значимость F  
Регрессия 1 6596,256903 6596,256903 5669,9349 6,50057E-14  
Остаток 9 10,47036927 1,163374363      
Итого 10 6606,727273        
  Коэффициенты Станд. ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 140,6678082 1,872802119 75,11087626 6,6483E-14 136,4312355 144,9043809
X 18,97706968 0,252022965 75,29897012 6,5006E-14 18,40695413 19,54718524

Уравнение линейной регрессии: 140,66+18,98*x 

Выводы: Линейный коэффициент парной корреляции  0,9992 означает, что связь между фактором и результатом прямая, очень тесная. Средняя ошибка аппроксимации показывает, что расчетные значения отклоняются от фактических на  0,193%.  Так как полученное фактическое значение (F=5669,9) больше, чем Fтабл = 5,12, то уравнение статистически значимо. Также статистически значимы и коэффициенты регрессии, так как по абсолютному значению (ta=75,11 и tb=75,29) они превышают табличное значение Стюдента t=2,262.

б) степенной  регрессии 

      Логарифмируем уравнение и получим уравнение  линейной регрессии: . Заменяя значения фактора и результата на логарифмированные, рассчитаем параметры: b=0,479 c=4,68 отсюда Уравнение регрессии примет вид:

.

Рассчитаем параметры  качества уравнения регрессии:

№ п/п X Y lnY lnX lnY*lnX (lnX)2 Yрас A
1 7,5 286 5,65599 2,014903 11,3963 4,0598342 284,021 0,00692083
2 8,4 300 5,70378 2,128232 12,139 4,5293702 299,898 0,000338706
3 6,2 258 5,55296 1,824549 10,1316 3,3289801 259,22 0,004730343
4 6,4 262 5,56834 1,856298 10,3365 3,4458422 263,201 0,004583846
5 5,1 237 5,46806 1,629241 8,90879 2,6544247 236,024 0,004119373
6 8,4 300 5,70378 2,128232 12,139 4,5293702 299,898 0,000338706
7 9 311 5,73979 2,197225 12,6116 4,8277958 309,996 0,003227997
8 5,4 243 5,49306 1,686399 9,26349 2,8439414 242,589 0,001692205
9 7,3 279 5,63121 1,987874 11,1941 3,9516444 280,36 0,004873447
10 8,2 296 5,69036 2,104134 11,9733 4,4273805 296,45 0,001518793
11 8,6 303 5,71373 2,151762 12,2946 4,6300806 303,305 0,001005847
Сумма 80,5 3075           0,033350091
Ср.знач. 7,32 280           0,303
 
b c a Э
0,479 4,68 107,97 0,479
 

Параметры, определенные по функциям («Регрессия»):

ВЫВОД ИТОГОВ          
Регрессионная статистика          
Множественный R 0,99916262          
R-квадрат 0,99832593          
Норм. R-квадрат 0,99813992          
Станд. ошибка 0,00406828          
Наблюдения 11          
             
Дисперс. анализ            
  df SS MS F Значимость F  
Регрессия 1 0,08883079 0,08883 5367,124 8,3E-14  
Остаток 9 0,00014895 1,7E-05      
Итого 10 0,08897975        
  Коэфф. Станд. ошибка t-стат-ка P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 4,68191087 0,01298829 360,472 4,95E-20 4,65253 4,711292
lnX 0,47999137 0,00655183 73,2607 8,32E-14 0,46517 0,494812
exp 107,976204          

      Рассчитаем  индекс корреляции, F критерий и коэффициент детерминации:  

       , , .  

(Y-Yрас)^2 (Y-Yср)^2
3,91785548 41,66115702
0,010324956 418,3884298
1,489445661 464,2066116
1,442323329 307,8429752
0,953144844 1810,115702
0,010324956 418,3884298
1,007829439 989,3884298
0,16909014 1335,570248
1,84876122 0,297520661
0,202106517 270,7520661
0,092885737 550,1157025
11,1440922773961 6606,727273
 

, 

 
 

 
 

Выводы:

Уравнение регрессии: . Индекс корреляции  0,999 означает, что связь между фактором и результатом прямая, сильная. Вариация результата на 99,83% ( ) объясняется вариацией фактора x. Средняя ошибка аппроксимации показывает, что расчетные значения отклоняются от фактических на  0,3 %. Для оценки статистической значимости уравнения сравним полученное фактическое значение (F=5367,124) с табличным ( ), так как полученное значение больше, то уравнение в целом статистически значимо, также статистически значим коэффициент регрессии a=107.97, так как по абсолютному значению он превышает табличное значение Стюдента ( ), а коэффициент b статистически не значим.  
 
 
 

в) гиперболической  регрессии 

Заменим в исходный данных на и повторим расчеты:

№ п/п X Y 1/x Yрас A
1 7,50 286 0,133 286,672 0,002
2 8,40 300 0,119 299,130 0,003
3 6,20 258 0,161 262,292 0,017
4 6,40 262 0,156 266,687 0,018
5 5,10 237 0,196 231,955 0,021
6 8,40 300 0,119 299,130 0,003
7 9,00 311 0,111 306,051 0,016
8 5,40 243 0,185 241,455 0,006
9 7,30 279 0,137 283,486 0,016
10 8,20 296 0,122 296,598 0,002
11 8,60 303 0,116 301,544 0,005
Сумма 80,500 3075,000 1,557 3075,000 0,109
Ср.знач. 7,318 279,545     0,992
 
b a rxy R2 Э A
-872,05 402,945 0,99108 0,98027 -0,419 0,992
 

Параметры, определенные по функциям («Регрессия»): 

ВЫВОД ИТОГОВ          
Регрессионная статистика          
Множ. R 0,99108          
R-квадрат 0,98225          
Норм. R-вадрат 0,98027          
Стандартная ошибка 3,61015          
Наблюдения 11          
             
Дисперсионный анализ            
  df SS MS F Значимость F  
Регрессия 1 6489,428 6489,428 497,9170 3,450E-09  
Остаток 9 117,298 13,033      
Итого 10 6606,727        
             
  Коэфф-ты Станд. ошибка t-стат-ка P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 402,945 5,6362 71,491 1,036E-13 390,195 415,695
1/x -872,05 39,0807 -22,314 3,45E-09 -960,4562 -783,64
 
 
 
 
 
 

      Рассчитаем  индекс корреляции, F критерий и коэффициент детерминации:  

(Y-Yрас)^2 (Y-Yср)^2
0,451537883 41,66115702
0,757220466 418,3884298
18,4220098 464,2066116
21,97263491 307,8429752
25,4506768 1810,115702
0,757220466 418,3884298
24,49414799 989,3884298
2,388311755 1335,570248
20,12775531 0,297520661
0,357284115 270,7520661
2,119563601 550,1157025
117,2983631 6606,727273
 
 

 

 

Уравнение регрессии:  

Выводы: Индекс корреляции  -0,99108 означает, что связь между фактором и результатом, сильная. Вариация результата на 98,22% объясняется вариацией фактора x. Средняя ошибка аппроксимации показывает, что расчетные значения отклоняются от фактических на  0,992 %. Для оценки статистической значимости уравнения сравним полученное фактическое значение (F=497,92) с табличным ( ), так как полученное значение больше, то уравнение в целом статистически значимо, также статистически значимы и коэффициенты регрессии (a=402,94 и b=-872,05), так как по абсолютному значению они также превышают табличное значение Стьюдента ( ).  

Сводная таблица:

 
Показатель Линейная регрессия Степенная регрессия Гиперболическая регрессия Примечание
(
)		 0,9992 0,9991 0,99108 Чем больше, тем  теснее связь
 0,99842 0,99832 0,98224 Чем ближе к 1, тем лучше
 0,497 0,479 -0,419 Показывает  изменение результата при изменении  фактора на 1 %
 0,19 0,303 0,992 Показывает  отклонения расчетных значений от фактических, чем меньше, тем лучше.
 75,11 360,47 71,491
75,29 73,26 -22,314
F 5669,93 5367,124 497,9170
 

      Анализируя  показатели, можно сказать, что лучшим уравнением описывающим связь результата с фактором является уравнение  линейной регрессии, так как: в данном уравнении самая маленькая ошибка аппроксимации находится на допустимом уровне, следовательно, расчетные значения от фактически отклоняются не сильно, самый большой коэффициент детерминации, самый высокий показатель корреляции, уравнение в целом статистически значимо, коэффициенты также статистически значимы.

 

      Для данного уравнения рассчитаем:

  • прогнозное значение, если 7,32*1,1=8,052
  • =293,4;
  • ;
 
 
  • предельная  ошибка прогноза: ;
  • доверительный интервал прогноза: 7,32-2,545 < yk < 7,32+2,545

Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи