Применение среднеарифметического и среднегармонического индексов в региональном анализе товарооборота

Федеральное государственное  образовательное

бюджетное учреждение высшего  профессионального образования

 

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

 

ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ

 

Факультет Менеджмента и маркетинга

Специальность Бакалавр менеджмента

 

 

 

 

 

Кафедра высшей математики и статистики

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

по дисциплине: Статистика

вариант 18

 

 

 

 

                                                

 

 

 

 

  Студент

                                                   Курс 2     

                                                     Преподаватель 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013

Тема. Применение среднеарифметического и среднегармонического индексов в региональном анализе товарооборота

С целью изучения конъюнктуры регионального  рынка обследованы предприятия  розничной торговли региона, в результате чего получены следующие данные за год о реализации условного товара (выборка 5%-ная, механическая):

 

№ предприятия	Средняя цена за 1 кг товара, руб.	Объем продаж, т	№ предприятия	Средняя цена за 1 кг товара, руб.	Объем продаж, т
1	98	48	16	105	46
2	86	54	17	93	48
3	87	55	18	94	48
4	78	58	19	106	46
5	86	53	20	90	58
6	95	49	21	106	44
7	96	50	22	108	46
8	97	50	23	109	45
9	98	52	24	110	46
10	70	63	25	81	59
11	101	52	26	91	57
12	98	51	27	120	37
13	82	53	28	112	41
14	100	52	29	117	42
15	105	42	30	87	55

 

Задание 1

Признак – средняя цена 1 кг товара.

Число групп – пять.

 

Задание 2

Связь между признаками – средняя цена за 1 кг товара и объем продаж.

 

Задание 3

По  результатам выполнения задания 1 с  вероятностью 0,997 определите:

1) ошибку выборки средней цены  за 1 кг товара и границы, в которых будет находиться средняя цена данного товара для генеральной совокупности предприятий;

2) ошибку выборки доли предприятий  с уровнем средней цены за  1 кг товара 100 руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Задание 4

Имеются следующие данные о продаже продуктов  в регионе:

 

Продукт	Товарооборот, млн руб.		Индекс, %
	Базисный период	Отчетный период	цен	физического объема товарооборота
Овощи	180	215	90	160
Молочные продукты	200	195	125	80

 

 

1. Рассчитайте сводные индексы:

а) товарооборота;

б) физического объема продаж;

в) цен (по методике Пааше).

2. Определите абсолютные изменения  товарооборота под влиянием изменений:

а) физического объема продаж;

б) цен;

в) физического объема продаж и цен (двух факторов вместе).

Сделайте  выводы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение  Задания 1

 

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку Средняя цена за 1 кг товара.

 

1.Построение интервального ряда  распределения предприятий по средней цене за 1 кг товара.

Для построения интервального  вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по средней цене за 1 кг товара, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными  интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                                   (1)

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322 lg n,                                                              (2)

где  n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала  по формуле (1) при заданных k = 5, x_max = 120 руб.,

x_min = 70 руб.:

При h = 10 руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):

Таблица 2

Номер группы	Нижняя граница, млн руб.	Верхняя граница, млн руб.
1	70	80
2	80	90
3	90	100
4	100	110
5	110	120

 

• Таблица 3

Разработочная таблица для  построения интервального ряда распределения  и аналитической группировки

Группы предприятий по средней цене за 1 кг товара, руб.	Номер предприятия	Средняя цена за 1 кг товара, руб.	Объем продаж, т
1	2	3	4
70 – 80	4	78,0	58
	10	70,0	63
Всего	2	148	121
80 – 90	2	86	54
	3	87	55
	5	86	53
	13	82	53
	25	81	59
	30	87	55
Всего	6	509	329
90 – 100	1	98	48
	6	95	49
	7	96	50
	8	97	50
	9	98	52
	12	98	51
	17	93	48
	18	94	48
	20	90	58
	26	91	57
Всего	10	950	511
100 – 110	11	101	52
	14	100	52
	15	105	42
	16	105	46
	19	106	46
	21	106	44
	22	108	46
	23	109	45
Всего	8	840	373
110 - 120	24	110	46
	27	120	37
	28	112	41
	29	117	42
Всего	4	459	166
ИТОГО	30	2906	1500

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 3 формируется  итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения Группы предприятий по средней цене за 1 кг товара, руб.

Таблица 4

Распределение банков по объему кредитных вложений

Номер группы	Группы предприятий по средней  цене за 1 кг товара, руб., х	Число предприятий, f
1	70 – 80	2
2	80 – 90	6
3	90 – 100	10
4	100 – 110	8
5	110 - 120	4
	Итого	30

Помимо частот групп в  абсолютном выражении в анализе  интервальных рядов используются ещё  три характеристики ряда, приведенные  в графах 4 - 6 табл. 1.4. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

 

Таблица 5

Структура банков по объему кредитных вложений

 

№ группы	Группы предприятий по средней  цене за 1 кг товара, руб.	Число предприятий, fj		Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	70 – 80	2	6,67	2	6,67
2	80 – 90	6	20,0	8	20,0
3	90 – 100	10	33,33	18	33,33
4	100 – 110	8	26,67	26	26,67
5	110 - 120	4	13,33	30	13,33
	Итого	30	100,0

 

 

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по средней цене за 1 кг товара, руб. не является равномерным.

 

1.2. Нахождение моды и медианы  полученного интервального ряда  распределения графическим методом  и  путем расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности¹. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.1).

Рис. 1 Определение моды графическим  методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

                        (3)

Расчет моды по формуле (3):

 

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенная средняя цена за 1 кг товара характеризуется средней величиной 96,67 руб.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 2). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 5, графа 5).

Рис. 2. Определение медианы  графическим методом

Конкретное значение медианы  для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                                       (4)

Так как медиана делит  численность ряда пополам, она будет  располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере медианным  интервалом является интервал    90 – 100 млн. руб., так как именно в этом интервале накопленная частота S_j = 21 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности (    ).

Расчет значения медианы  по формуле (4):

 

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем среднюю цену за 1 кг товара не более 97 руб., а другая половина – не менее 97 руб.

3. Расчет характеристик ряда  распределения

Для расчета характеристик  ряда распределения  , σ, σ2, V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 6

Расчетная таблица для  нахождения характеристик ряда распределения

Группы банков по объему кредитных  вложений, млн руб.	Середина интервала,	Число предприятий,fj
1	2	3	4	5	6	7
70 - 80	75	2	150	-22	484	968
80 - 90	85	6	510	-12	144	864
90 - 100	95	10	950	-2	4	40
100 - 110	105	8	840	8	64	512
110 - 120	115	4	460	18	324	1296
Итого		30	2910			3680

Расчет средней арифметической взвешенной:

                                   (5)

Расчет дисперсии:

                                                                     (6)

Расчет среднего квадратического отклонения:

                                   

Расчет коэффициента вариации:

                                     (7)

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя цена за 1 кг товара предприятий составляет 97 руб., отклонение от среднего объема в ту или иную сторону составляет в среднем 11,07 руб. (или 11,4%), наиболее характерные значения объема кредитных вложений находятся в пределах от 85,93 руб. до 108,07 руб. (диапазон ).

Значение V_σ = 11,4% не превышает 33%, следовательно, вариация средней цены за 1 кг товара в исследуемой совокупности предприятий незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =97 руб., Мо=96,67 руб., Ме=97 руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности предприятий. Таким образом, найденное среднее значение цены за 1 кг товара предприятии (97 руб.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности предприятий.

4.Вычисление средней арифметической  по исходным данным

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

,                             (8)

Причина расхождения средних  величин, рассчитанных по формулам (8) и (5), заключается в том, что по формуле (8) средняя определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти предприятий, а по формуле (5) средняя вычисляется для интервального ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов  и, следовательно, значение средней будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнение Задания 2

 

Целью выполнения данного Задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, установление направления связи, оценка тесноты и силы связи.

Факторный и результативный признаки либо задаются в условии  задания, либо определяются путем проведения предварительного теоретического анализа. Лишь после того, как выяснена экономическая  сущность явления и определены факторный  и результативный признаки, приступают к проведению корреляционного анализа  данных.

По условию Задания 2 факторным является признак Средняя цена за 1 кг товара (X), результативным – признак Объем продаж (Y).

1. Установление наличия и характера  связи между признаками Средняя цена за 1 кг товара и Объем продаж методом аналитической группировки

Применение метода аналитической  группировки

При использовании метода аналитической группировки строится интервальный ряд распределения  единиц совокупности по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную  таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между  факторным признаком Х – Средняя цена за 1 кг товара и результативным признаком Y – Объем продаж. Макет аналитической таблицы имеет следующий вид (табл. 7).

Зависимость Средней цены за 1 кг товара предприятий от Объема продаж

Таблица 7

Номер группы	Группы предприятий по Средней цене за 1 кг товара руб. х	Число предприятий fj	Сумма прибыли, руб.
			всего	в среднем на одно предприятие
1	70 – 80	2	121	60,50
2	80 – 90	6	329	54,83
3	90 – 100	10	511	51,10
4	100 – 110	8	373	46,62
5	110 - 120	4	166	41,50
Итого		30	1500	50

Групповые средние  значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.

Вывод. Анализ данных табл. 8 показывает, что с увеличением Средней цены за 1 кг товара от группы к группе систематически убывает и средняя прибыль по каждой группе предприятий, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Измерение тесноты и силы  корреляционной связи с использованием  коэффициента детерминации и  эмпирического корреляционного  отношения

Для измерения тесноты и силы связи  между факторным и результативным признаками рассчитывают специальные  показатели – эмпирический коэффициент  детерминации и эмпирическое корреляционное отношение .

Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле

,                                                               (9)

где  – общая дисперсия признака Y,

        – межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных). Этот показатель вычисляется по формуле

,                                                        (10)

Общая средняя  вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

                                                               (11)

или как средняя взвешенная по частоте групп интервального ряда:

                                                          (12)

 

Для вычисления удобно использовать формулу (11), т.к. в табл. 8 (графы 3 и 4 итоговой строки) имеются значения числителя и знаменателя формулы.

Расчет  по формуле (11):

Для расчета общей дисперсии  применяется вспомогательная таблица 12.

Таблица 12

Вспомогательная таблица  для расчета общей дисперсии

Номер предприятия п/п	Объем продаж, руб.
1	2	3	4	5
1	48	-2	4	2304
2	54	4	16	2916
3	55	5	25	3025
4	58	8	64	3364
5	53	3	9	2809
6	49	-1	1	2401
7	50	0	0	2500
8	50	0	0	2500
9	52	2	4	2704
10	63	13	169	3969
11	52	2	4	2704
12	51	1	1	2601
13	53	3	9	2809
14	52	2	4	2704
15	42	-8	64	1764
16	46	-4	16	2116
17	48	-2	4	2304
18	48	-2	4	2304
19	46	-4	16	2116
20	58	8	64	3364
21	44	-6	36	1936
22	46	-4	16	2116
23	45	-5	25	2025
24	46	-4	16	2116
25	59	9	81	3481
26	57	7	49	3249
27	37	-13	169	1369
28	41	-9	81	1681
29	42	-8	64	1764
30	55	5	25	3025
Итого	1500	0	1040	76040

 

Расчет общей дисперсии по формуле (10):

Общая дисперсия может быть также рассчитана по формуле

,

где – средняя из квадратов значений результативного признака,

      – квадрат средней величины значений результативного признака.

Для демонстрационного примера 

Тогда

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую  вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка). Воздействие фактора Х на результативный признак Y проявляется в отклонении групповых средних от общей средней . Показатель вычисляется по формуле

,                                                (13)

 

 

Для  расчета  межгрупповой  дисперсии  строится  вспомогательная таблица 13 При этом используются  групповые средние значения из табл. 8 (графа 5).

 

 

 

 

Вспомогательная таблица  для расчета межгрупповой дисперсии

Таблица 13

Группы предприятий по средней цене за 1 кг товара руб.	Число предприятий,	Среднее значение в группе
1	2	3	4	5
70 – 80	2	60,50	10,50	220,50
80 – 90	6	54,83	4,83	139,97
90 – 100	10	51,10	1,10	12,10
100 – 110	8	46,62	-3,38	91,39
110 - 120	4	41,50	-8,50	289,00
Итого	30			752,96

Расчет межгрупповой дисперсии по формуле (11):

Расчет эмпирического коэффициента детерминации по формуле (9):

  

^{или 72,4%}

Вывод. 72,4% вариации суммы прибыли предприятий обусловлено вариацией средней цены за 1 кг товара, а 27,6% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

                                                                     (14)

Значение  показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками. Для качественной оценки тесноты связи на основе служит шкала Чэддока (табл. 14):

Таблица 14

Шкала Чэддока

h	0,1 – 0,3	0,3 – 0,5	0,5 – 0,7	0,7 – 0,9	0,9 – 0,99
Характеристика силы связи	Слабая	Умеренная	Заметная	Тесная	Весьма тесная

Расчет эмпирического корреляционного  отношения  по формуле (14):

 

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между Средней ценой за 1 кг товара и Объемом продаж является тесной.

 

3. Оценка статистической значимости  коэффициента детерминации 

.

Показатели  и рассчитаны для выборочной совокупности, т.е. на основе ограниченной информации об изучаемом явлении. Поскольку при формировании выборки на первичные данные могли иметь воздействии какие-либо случайные факторы, то есть основание полагать, что и полученные характеристики связи , несут в себе элемент случайности. Ввиду этого, необходимо проверить, насколько заключение о тесноте и силе связи, сделанное по выборке, будет правомерными и для генеральной совокупности, из которой была произведена выборка.

Проверка  выборочных показателей на их неслучайность осуществляется в статистике с помощью тестов на статистическую значимость (существенность) показателя. Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле