Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Удмуртский государственный университет»

Институт  экономики и управления 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа по дисциплине

экономико-математические методы и модели

на тему:

«Теория массового обслуживания» 
 
 
 
 
 
 

Выполнила:

студентка гр.3513-31

Аркашева  Н.А. 

Проверил:

Гольман А.Ф. 

Ижевск 2011

Содержание

1. Теория массового  обслуживания. Классификация систем массового обслуживания (СМО)

     Теория  массового обслуживания – это раздел теории вероятностей, который изучает потоки требований на обслуживание, поступающих в систему массового обслуживания, длительности ожидания, длины очередей и другие характеристики, определяемые потоком требований, зависимость этих характеристик от правил обслуживания.

     Системой  массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная  для обслуживания какого-либо потока заявок.

     Примерами систем массового обслуживания могут служить:

     ∙посты  технического обслуживания автомобилей;

     ∙посты  ремонта автомобилей;

     ∙персональные компьютеры, обслуживающие поступающие  заявки или требования на решение  тех или иных задач;

     ∙станции  технического обслуживания автомобилей;

     ∙аудиторские  фирмы;

     ∙отделы налоговых инспекций, занимающиеся приемкой и проверкой текущей  отчетности предприятий;

     ∙телефонные станции и т. д.

     Основная  задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей  эффективности системы от характера входящего потока, дисциплины и ограничения очереди, количества, производительности и условий функционирования каналов с целью последующей ее оптимизации. В качестве критерия оптимальности применяют максимум прибыли от эксплуатации системы; минимум суммарных потерь, связанных с простоем каналов; минимум заявок в очереди и уходов не обслуженных заявок; заданную пропускную способность и т.п. В качестве варьируемых переменных обычно фигурируют количество каналов, их производительность, организация работы в одноканальном или многоканальном режиме, условия взаимопомощи между каналами, дисциплина очереди, приоритетность обслуживания и др.

     Классификация СМО

     ●По характеру источника требований различают СМО с конечным и  бесконечным количеством требований на входе.

       В первом случае в системе  циркулирует конечное, обычно постоянное  количество требований, которые  после завершения обслуживания  возвращаются в источник. Пример: Цех с постоянным количеством  станков или определенное количество  ПЭВМ в терминальном классе, требующих постоянного профилактического осмотра и ремонта.

     Во  втором случае источник генерирует бесконечное  число требований. Пример: Сеть Internet с бесконечным требованием на входе, любой магазин, парикмахерская и т.д.

     Первый  вид СМО называют замкнутой, второй – разомкнутой.

     ●По дисциплине обслуживания:

     обслуживание  в порядке поступления;

     обслуживание  в случайном порядке (в соответствии с заданным законом распределения);

     обслуживание  с приоритетом.

     ●По характеру организации:

     с отказами - заявка получает отказ, когда канал занят;

     с ожиданиями - заявка ставится в очередь  и ждет освобождения канала;

     с ограничением ожидания - вводится ограничения  на длительность ожидания.

     ●По числу этапов (фаз) обслуживания - на однофазные и многофазные. (Примером многофазных СМО может служить любая поточная линия).

     ●По свойствам каналов: на однородные, когда  каналы имеют одинаковую характеристику и неоднородные.

     ●По количеству единиц обслуживания:

     одноканальные;

     двухканальные;

     многоканальные.

     Широко  применима простейшая одноканальная пуассоновская система с пуассоновским входящим потоком и бесконечным источником требований. В этой модели учитываются: средняя частота поступления требований – А; средняя пропускная способность канала обслуживания - S.

     Модель  включает характеристики и уравнения:

1.         коэффициент использования системы: A/S;

2.         среднее число клиентов в системе: A/(S-A);

3.         среднее число машин, ожидавших  в очереди: A2/[S*(S-A)];

4.         среднее время нахождения клиента  в системе:1/(S-A);

5.         среднее время состояния в  очереди: А/[S*(S-A)]; удельный вес  простоев: 1-A/S.

     Пример. Допустим, что в магазин, в котором  работает один продавец, заходит в  среднем по 18 покупателей в час. Время обслуживания одного покупателя составляет 2 минуты. Исходя из этого:

       А = 18 S = 60/3 = 20.

     Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (20*(20-18))= 8,1.

     Среднее время пребывания в очереди = 18/(20*(20-18)) = 0,45 часа.

       Если увеличить количество продавцов,  то изменится пропускная способность (S = 40) и соответственно изменятся остальные параметры:

     Среднее количество покупателей в очереди = 324/ (40*(40-18))= 0,36.

     Среднее время пребывания в очереди = 18/(40*(40-18)) = 0,02 часа.

       Предположим, что каждый покупатель  приносит магазину прибыль в сумме 10 р. Если магазин работает 12 часов ежедневно, то сумму дополнительной прибыли за месяц можно рассчитать:

       Прибыль = 10 * 8 * 12 * 30 = 28800 р. 

       После проведения расчетов необходимо  сделать вывод, насколько целесообразно  увеличивать количество обслуживающего персонала.

2. Элементы СМО

     Основными элементами СМО являются:

     ∙входящий поток требований

     ∙очередь  требований

     ∙обслуживающие  устройства (каналы)

     ∙выходящий  поток требований.

     Изучение  СМО начинается с анализа входящего  потока требований.

     Входящий  поток требований представляет собой  совокупность требований, которые поступают  в систему и нуждаются в  обслуживании. Входящий поток требований изучается с целью установления закономерностей этого потока и  дальнейшего улучшения качества обслуживания. В большинстве случаев входящий поток неуправляем и зависит от ряда случайных факторов. Число требований, поступающих в единицу времени, случайная величина. Случайной величиной является также интервал времени между соседними поступающими требованиями. Однако среднее количество требований, поступивших в единицу времени, и средний интервал времени между соседними поступающими требованиями предполагаются заданными.

       Среднее число требований, поступающих  в систему обслуживания за  единицу времени, называется интенсивностью поступления требований, и определяется следующим соотношением: 

      , где 

     Для многих реальных процессов поток  требований достаточно хорошо описывается  законом распределения Пуассона. Такой поток называется простейшим.

     Простейший  поток обладает такими важными свойствами:

     1) Свойством стационарности, которое выражает неизменность вероятностного режима потока по времени. Это значит, что число требований, поступающих в систему в равные промежутки времени, в среднем, должно быть постоянным. Например, число вагонов, поступающих под погрузку в среднем в сутки должно быть одинаковым для различных периодов времени, к примеру, в начале и в конце декады.

     2)Отсутствия последействия, которое обуславливает взаимную независимость поступления того или иного числа требований на обслуживание в непересекающиеся промежутки времени. Это значит, что число требований, поступающих в данный отрезок времени, не зависит от числа требований, обслуженных в предыдущем промежутке времени. Например, число автомобилей, прибывших за материалами в десятый день месяца, не зависит от числа автомобилей, обслуженных в четвертый или любой другой предыдущий день данного месяца.

     3)Свойством ординарности, которое выражает практическую невозможность одновременного поступления двух или более требований.. И вероятность   того, что в обслуживающую систему за время t поступит именно k требований:

      ,

     где λ(интенсивность) - среднее число  требований, поступивших на обслуживание в единицу времени.

       На практике условия простейшего  потока не всегда строго выполняются.  Часто имеет место нестационарность  процесса (в различные часы дня  и различные дни месяца поток  требований может меняться, он  может быть интенсивнее утром  или в последние дни месяца). Существует также наличие последействия, например, когда количество требований на отпуск товаров в конце месяца зависит от их удовлетворения в начале месяца. Наблюдается и явление неоднородности, когда несколько клиентов одновременно пребывают на склад за материалами. Однако в целом пуассоновский закон распределения с достаточно высоким приближением отражает многие процессы массового обслуживания.

       Почему такое предположение в  ряде важных случаев оказывается  верным, дает ответ общая теорема  А.Я.Хинчина. 

     Теорема А.Я.Хинчин: Если входящий поток представляет собой сумму большого числа независимых между собой стационарных и ординарных потоков, каждый из которых вносит малый вклад в общую сумму, то при одном дополнительном условии аналитического характера (которое обычно выполняется на практике) поток близок к простейшему.

     Применение  этой теоремы на практике можно продемонстрировать, на следующем примере: поток судов  дальнего плавания в данный грузовой порт, связанный со многими портами  мира, можно считать близким к простейшему. Поэтому можно считать поток прибытия судов в порт распределенным согласно процесса Пуассона.

     Одной из важнейших характеристик обслуживающих  устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, является время обслуживания.

     Время обслуживания одного требования - случайная величина, которая может изменятся в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров, поступающих в систему, требований (к примеру, различной грузоподъемности транспортных средств, поступающих под погрузку или выгрузку).

     Случайная величина  полностью характеризуется  законом распределения, который  определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего принимают  гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания. Показательный закон распределения времени обслуживания имеет место тогда, когда плотность распределения резко убывает с возрастанием времени t. Например, когда основная масса требований обслуживается быстро, а продолжительное обслуживание встречается редко. Наличие показательного закона распределения времени обслуживания устанавливается на основе статистических наблюдений. При показательном законе распределения времени обслуживания вероятность события, что время обслуживания продлится не более чем t, равна:

Где   - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотношения:

     где - среднее время обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством.

     Важным  параметром СМО является коэффициент  загрузки :

Где   - интенсивность поступления требований в систему;

• - интенсивность обслуживания одного требования одним

Обслуживающим устройством.

       Из (1) и (2) получаем, что  .

       Произведение  показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.

     Загрузка  - это среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки.

       Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств n должно быть строго больше коэффициента . В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

       Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых устройств n было не меньше коэффициента загрузки .

3. Применение теории массового обслуживания

     Теория массового обслуживания применяется в задачах, когда в массовом порядке поступают заявки на обслуживание с последующим их удовлетворением. На практике это могут быть поступление сырья, материалов, полуфабрикатов, изделий на склад и их выдача со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же технологическом оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; транспортные операции; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности отделов и служб предприятия; обработка плановой и отчетной документации.

     В области промышленного производства приходится очень часто сталкиваться с задачами массового обслуживания. Так, например, массовое обслуживание имеет место при обеспечении  заводами-поставщиками и фабриками предприятий-потребителей и торговой сети своей продукцией. Обеспечение производства сырьем также носит характер массового обслуживания.

     Организация взаимодействия между цехами в пределах предприятия представляет собой  пример задач того же типа, только на более низкой ступени. В масштабах цеха теория массового обслуживания начинается со снабжения цеха сырьем и заканчивается организацией обслуживания и ремонта станков.

     Большое количество проблем, связанных с  массовым обслуживанием, должно быть решено при производственном планировании. В этом случае затраты усилий на детальное изучение количественной стороны процессов планирования даст большой экономический эффект и позволит более глубоко проникнуться в природу этих процессов.

     Немалую пользу может оказать теория массового обслуживания на стадии технического проектирования. При проектировании весьма важным является вопрос о загруженности оборудования. Так, еще в процессе технического проектирования необходимо определить нужное количество оборудования и его мощность исходя из объемов работ, которые должны выполняться при помощи этого оборудования. При решении этой задачи необходимо учитывать такие случайные факторы, как время обслуживания, выход из строя отдельных устройств за счет поломок и время, требуемое для их устранения, а также ряд факторов, от которых будет зависеть эксплуатация этого проектируемого оборудования.

     Использование методов теории может помочь также  при осуществлении выбора лучшего, наиболее экономичного проекта из нескольких возможных.

     С использованием метода математического моделирования можно определить, например, оптимальное количество автоматически действующих машин, которое может обслуживаться одним рабочим или бригадой рабочих и т.п.

     Типичным  примером объектов теории массового  обслуживания могут служить автоматические телефонные станции - АТС. На АТС случайным образом поступают “требования” - вызовы абонентов, а “обслуживание” состоит в соединении абонентов с другими абонентами, поддержание связи во время разговора и т.д. Задачи теории, сформулированные математически, обычно сводятся к изучению специального типа случайных процессов.

     Исходя  их данных вероятностных характеристик  поступающего потока вызовов и продолжительности  обслуживания и учитывая схему системы  обслуживания, теория определяет соответствующие характеристики качества обслуживания (вероятность отказа, среднее время ожидания начала обслуживания т.п.). 

Литература 

1. Баканов, М.И., Теория экономического анализа/  М.И. Баканов, А.Д. Шеремет-М.: Финансы  и статистика, 2005.- 416с.

2. Шеремет, А.Д., Теория экономического анализа/А.Д. Шеремет - М.: Инфра-М, 2008.-367с.

http://www.metrologie.ru/qualitymanagement-stat34.htm

http://ermak.cs.nstu.ru/mmsa/glava5/glava5.htm#5

http://www.kt-lospo.com/study/l_3_5.htm