Применение уравнения Шредингера

Применение уравнения Шредингера

1. Частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Пусть в одномерном пространстве создано силовое поле, потенциальная энергия которого бесконечна везде, кроме области 0 < x < l и не зависит от времени. Пусть электрон попадает в это поле, тогда его движение описывается волновой функцией, которая является решением уравнения Шредингера. Так как потенциальная энергия не зависит от времени, решается стационарное уравнение Шредингера , где Е – разрешенные значения энергии в потенциальной яме. Расписывая оператор Гамильтона, получим (1).

В областях 1 и 3 (рис.1) потенциальная энергия бесконечна, для ее преодоления частица должна иметь бесконечную скорость, а так как волновая функция описывает только реальные частицы, она не может иметь сингулярности, поэтому, в этих областях .

В области 2 U=0, поэтому (2). Решение уравнения ищем в виде , где (3). Решение можно записать в виде (4), где константы А и  определим из граничных условий. Так как волновая функция должна быть непрерывна и однозначно определяема во всем пространстве, и . Применим условия . , тогда энергия электрона на n-ном уровне (5), таким образом, электрон в потенциальной яме может занимать только дискретный набор уровней. Тогда волновая функция имеет вид . Константу А найдем из условий нормировки или в одномерном случаи (6).

Плотность вероятности электрона в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками можно представить графически (рис.2)

Прохождение через барьер.

Пусть частица, движу­щаяся слева направо, падает на потенциальный барьер

высоты U_o и ширины l (рис. 3). По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (E>U₀), частица беспрепятственно проходит «над» барьером (на участке 0xl лишь уменьшает скорость частицы, но затем при х > I снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше U_o (как изображено на рисунке), то частица отражается от барь­ера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы со­гласно квантовой механике. Во-первых, даже при Е>U₀ имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < U_o имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х>l. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай Е<Uo. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид: , для областей I и III и для области, причем Е — U₀<0. Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид:

(7)

причем и определяются из выражений: (8)

Заметим, что решение вида e^iax соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида e^-iax — волне, распространяющейся в противопо­ложном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид cos(at—kx), а волна, распространяющаяся в направлении убывания х,— вид cos (- kx) [см. т. I, фор­мулы (78.2) и (78.5)]. В § 65 мы установили, что волновая функция свободной частицы, движущейся в направлении оси х, имеет вид (65.5). Если отбросить в этой формуле временной множитель, то для получится значение . Для частицы, движущейся в противоположном направлении, нужно, очевидно, взять e^-i(p/h)x.

В области III имеется только волна, прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В₃ следует положить равным нулю. Для на­хождения остальных коэффициентов воспользуемся усло­виями, которым должна удовлетворять функция . Для того чтобы была непрерывна во всей области измене­ний х от до , должны выполняться условия: = и ₂(l) =(l). Для того, чтобы была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: = и ’₂(l) =’(l) .Из этихусловий вытекают соотношения:

(9)

Разделим все уравнения на А₁ и введем обозначения:

а также (10), Тогда уравнения (9) примут вид:

(11)

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность отражения частицы от потенци­ального барьера и может быть названо коэффициен­том отражения.

Отношение квадратов модулей прошедшей и падаю­щей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом про­хождения (или коэффициентом прозрач­ности).

Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величи­ны D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением: R+D=1.

Умножим первое из уравнений (11) на i и сложим с третьим. В результате получим: 2i = (п + i) a₂-(n- i) b₂. (13)

Теперь умножим второе из уравнений (11) на i и вы­чтем его из четвертого. Получим: (14)

Решая совместно уравнения (68.13) и (68.14), найдем, что и

Наконец, подставив найденные нами значения а₂ и b₂ во второе дз уравнений (68.11), получим выражение для а₃:

Величина обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаме­нателе выражения для а₃ слагаемым, содержащим множитель , можно пренебречь по сравнению со слагае­мым, содержащим множитель (комплексные числа п+i и п-i имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить Согласно (12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что , получим: где

Выражение 16п²/(п² + 1)² имеет величину порядка единицы¹). Поэтому можно считать, что (15).

Как следует из полученного нами выражения, вероят­ность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера l и от его превыше­ния над Е, т.е. от U_o — Е. Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет рав­ным 0,01² = 0,0001, т.е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины U_o — Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы m. В случае потенциального барьера произвольной фор­мы (см., например, (рис. 2) формула (15) должна быть заменена более общей формулой: (16) где U= U(x),

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 197,6), в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют туннель­ным эффектом.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находя­щаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицатель­ной кинетической энергией (в туннеле EU, означал бы, что частица находится в точно заданном месте простран­ства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и U. Таким об­разом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и U. Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным.