Принятие решений на основе метода анализа иерархий

ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ  МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Иерархическое представление проблемы

Метод анализа иерархий (МАИ) предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Можно выделить ряд модификаций МАИ, которые определяются характером связей между критериями и альтернативами, расположенными на самом нижнем уровне иерархии, а также методом сравнения альтернатив.

По характеру связей между критериями и альтернативами определяется два типа иерархий. К первому типу относятся такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями). Ко второму типу иерархий принадлежат такие, у которых каждый критерий, имеющий связь с альтернативами, связан не со всеми рассматриваемыми альтернативами (тип иерархий с различными числом и функциональным составом альтернатив под критериями).

В МАИ имеется три метода сравнения альтернатив: попарное сравнение; сравнение альтернатив относительно стандартов и сравнение альтернатив копированием.

В первой модификации метода рассмотрим иерархию с одинаковыми числом и функциональным составом альтернатив под критериями и метод попарного сравнения элементов иерархии.

Построение иерархии начинается с очерчивания проблемы исследования. Далее строится собственно иерархия, включающая цель, расположенную в ее вершине, промежуточные уровни (например, критерии) и альтернативы, формирующие самый нижний иерархический уровень. На рисунке 1 приведены варианты отображения иерархий, где Elj - элементы иерархии, Af - альтернативы. Верхний индекс у элементов указывает уровень иерархии, а нижний индекс - их порядковый номер.

Рисунок 1. Варианты отображения иерархий:

а - декомпозиция; б - синтез; в - упорядочение

Шкала отношений

Для установления относительной важности элементов иерархии используется шкала отношений (таблица 1). Данная шкала позволяет ЛПР ставить в соответствие степеням предпочтения одного сравниваемого объекта перед другим некоторые числа.

Правомочность этой шкалы доказана теоретически при сравнении со многими другими шкалами. При использовании указанной шкалы ЛПР, сравнивая два объекта в смысле достижения цели, расположенной на вышележащем уровне иерархии, должен поставить в соответствие этому сравнению число в интервале от 1 до 9 или обратное значение чисел. В тех случаях, когда трудно различить столько промежуточных градаций от абсолютного до слабого предпочтения или этого не требуется в конкретной задаче, может использоваться шкала с меньшим числом градаций. В пределе шкала имеет две оценки: 1 - объекты равнозначны; 2 - предпочтение одного объекта над другим.

Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-"родители" и элементы-"потомки". Элементы-"потомки" воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-"родителями". Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-"потомков", относящихся к соответствующему элементу-"родителю". Элементами-"родителями" могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

Таблица  1. Шкала отношений

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е1 доминирует над элементом Е2 , то клетка матрицы, соответствующая строке Е1 и столбцу Е2, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E2 и столбцу Е1, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е2 доминирует над Е1 , то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е2 и столбцу Е1, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е1 и столбцу Е2. Если элементы Е1 и Е2 равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь п - порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е1, Е2, ..., Еn - множество из п элементов (альтернатив) и v1, v2, ...vn - соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-"родителю"). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет следующий вид:

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.

аij= 1/аji  ,     где аij = vi/vj.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее. При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию - какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

  Собственные векторы и собственные  значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [Е], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [Е] проводится на основании равенства

EW=lmax W,      (1)

где lmax - максимальное собственное значение матрицы [E].

Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению lmax, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле

,      (2)

где еT - единичный вектор-строка = (1,1,…,1);

e - единичный вектор-столбец =

k = 1, 2, 3, ... - показатель степени; С - константа. Вычисления собственного вектора W по выражению производятся до достижения заданной точности:

eT|W(l)-W(l+1)|<=e,      (3)

где l - номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k= 1; l = 2, k = 2; e - допустимая погрешность. С достаточной для практики точностью можно принять e = 0,01 независимо от порядка матрицы. Умножение eTW - можно производить сложением всех элементов W.

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

lmax = еT [Е] W.      (4)

Оценка согласованности матриц

Если все экспертные оценки точны, т. е. aij=wi/wj, то матрица сравнений согласованна. Под согласованностью матрицы понимается выполнение соотношений aijajk=aik и, в частности, aii=1 и aji=1/aij. Очевидно, что при согласованности матрица А имеет единичный ранг, и поэтому достаточно знать одну ее строку, чтобы вычислить все остальные элементы. Если известна, скажем, первая строка, то aij=a1j/a1i, при условии a1i≠0 для всех i (нулевой результат парного сравнения означает, что два объекта вообще несравнимы).

Кроме того, согласованность матрицы А должна удовлетворять следующим условию

,       (5)

где п - это максимальное собственное значение А, а остальные ее собственные значения равны нулю.

Поскольку А имеет единичный ранг и сумма всех собственных значений равна следу матрицы ∑aii=n.

В общем случае можно считать, что искомый набор значений (w1, ..., wn) должен удовлетворять уравнению Aw=λmaxw, где λmax - наибольшее из собственных значений А. Если матрица А неотрицательна, то согласно теореме Перрона - Фробениуса данное уравнение имеет единственное (с точностью до постоянного множителя) неотрицательное решение w. Для удобства можно нормализовать это решение, введя условие .

В теории матриц установлено, что собственные значения являются непрерывными функциями элементов. При малых возмущениях в элементах согласованной матрицы наибольшее из собственных значений будет близко к п, а все остальные будут близки к нулю. Таким образом, по решению уравнения Aw=λmaxw можно судить насколько близко к п окажется λmax. И поэтому отклонение λmax от п может является мерой согласованности матрицы А и полезности полученных результатов.

Однако матрица парных сравнений, составленная экспертами, в большинстве случаев получается несогласованной. Это связано с субъективностью суждения экспертов и особенностью сравниваемых объектов. Удачный пример несогласованности и нетранзитивности суждений приведен Саати Т.Л. Например, если сравнительная важность объекта C1 больше важности объекта C2, а сравнительная важность C2 больше важности C3, то не исключено, что объект C3 будет оценен как более важный при сравнении с C1. Такого рода примеры нередко встречаются на практике, например, в спортивных турнирах. Бывает, что команда C1 проигрывает команде C2, которая уже проиграла команде C3, а потом C1 выигрывает у C3. Таким образом, в биологических и социальных системах согласованности вообще может и не быть. Необходимо отметить, что в отличие от биологических и социальных систем в технике, где основные процессы описываются с помощью законов физики, примеров несогласованности, подобных описанному Саати Т.Л., не может быть. Поэтому одной из основных проблем составления матриц является повышение ее согласованности. Очевидно, что если использовать группы экспертов, которым поручить независимое сравнение каждой пары объектов, то это позволит повысить согласованность матриц. Однако довольно сложно организовать группу экспертов из специалистов в определенной области техники.

После того как все матрицы определены, осуществляется их проверка. Т. е. считается коэффициент согласованности. В качестве оценки согласованности используется индекс согласованности

,      (6)

где lmax – максимальное собственное число матрицы, n – размерность матрицы. На основании индекса согласованности вычисляется отношение согласованности CR

CR = ,      (7)

значение которого для согласованной матрицы не должно превышать 10%; где  - математическое ожидание индекса согласованности, вычисленное для экспериментальной выборки матриц парных сравнений, заполненных случайным образом (таблица 2).

Таблица 2. Случайная согласованность

Если выясняется, что матрица несогласованна, необходимо пересмотреть те данные, которые ввел эксперт ранее и скорректировать их. Таким образом, выполняется итеративная процедура корректировки данных до тех пор, пока матрица не будет согласована. После того, как все матрицы согласованы, необходимо выполнить их расчет, т. е. рассчитать вектор приоритетов критериев, вектор приоритетов альтернатив. Заключительным этапом решения задачи является выбор оптимального технического решения. 

Рассмотрим на примере выбора оптимальной альтернативы метод анализа иерархий. Допустим иерархия имеет следующий вид (рисунок 2):

Рисунок 2. Иерархия

Критерии задачи можно разбить на группы (технические, экономические, антропологические и т. п.). В примере критерии разбиты условно на две группы G1, G2.

Составим для каждого уровня иерархии матрицы парных сравнений:

Для последнего уровня иерархии должны быть составлены матрицы парных сравнений размерностью 7. Все альтернативы необходимо сравнить по каждому критерию  в отдельности. И для каждой матрицы должен быть определен собственный вектор . Такие матрицы составляются для критериев, количественно оценить которые невозможно. Если критерии имеют количественную оценку, то процедуру парного сравнения можно заменить нормированием на 1. Допустим, что все критерии имеют количественную оценку, тогда получим следующую матрицу

Матрицы F и G2 нет смысла проверять на согласованность, так как их порядок равен 2. Проверим согласованность суждений в матрице парных сравнений G1, которая представляет собой матрицу попарного сравнения критериев С1, С2, С3.

, где n = 3 – порядок матрицы. Отношение согласованности: < 0.1 следовательно матрица хорошо согласованна.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

Подставив в это выражение вычисленные выше значения собственных векторов, получим

Таким образом, получаем следующее ранжирование альтернатив:

Учет мнений нескольких экспертов

Для повышения степени объективности и качества процедуры принятия решений целесообразно учитывать мнения нескольких экспертов. С этой целью проводится групповая экспертиза, причем множество экспертов может быть подразделено на несколько подмножеств в зависимости от области экспертизы, определяемой характером критериев, используемых в иерархии. Оценка весомости критериев и альтернатив с учетом данного подхода предполагает привлечение специалистов-управленцев, маркетологов, производственников, специалистов-теоретиков и т. п.

Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующему соотношению:

,      (8)

где агрегированная оценка элемента, принадлежащего i-й строке и j-му столбцу матрицы парных сравнений; п - число матриц парных сравнений, каждая из которых составлена одним экспертом.

Логичность критерия становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки а и 1/а, что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

Осреднение суждений экспертов может быть осуществлено и на уровне собственных векторов матриц парных сравнений. Покажем это на следующем примере.

Пусть заданы суждения двух экспертов в виде матриц попарных сравнений [А1] и [А2]:

Для этих матриц собственные векторы WAj, максимальные собственные значения λmах имеют следующий вид:

для матрицы [А1]

WA1= {0,150  0,160  0,744}т;lmax = 3,121;

для матрицы [А2]

WA2= {0,223  0,127  0,650}т; lmax = 3,297;

Осреднение на уровне элементов собственных векторов дает

WA = {0,184 0,117 0,699}т.

Усредняя элементы матриц [А1] и [А2] получим матрицу [А3]

Правый собственный вектор матрицы [А3] следующий:

WA3= {0,184 0,116 0,699}т.

Сравнивая два собственных вектора WA и WA3 определенных двумя разными способами, можно убедиться в их совпадении.

В достаточно ответственных задачах при оправданных затратах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации ("веса"). Для определения весовых коэффициентов экспертов целесообразно использовать иерархическую структуру критериев.

Расчет агрегированной оценки в случае привлечения п экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле

,      (9)

где aakij - оценка объекта, проведенная k-м экспертом с весовым коэффициентом ; при этом a1 + a2 +...+ an = 1.

Качество получаемых решений практически полностью определяется тем, насколько хорошо удалось формализовать среду задачи принятия решений и тем, насколько предпочтения ЛПР соотносятся с действительностью. При этом математические методы получения количественных оценок на основе качественных могут гарантировать (в лучшем случае) лишь то, что в результате математических выкладок не будет потерян вложенный в качественные оценки смысл. Ошибки, неточности или просто непродуманное представление проблемы делают применение математической модели принятия решения бессмысленным.

Группы:

G1- технические (К2, К3, К6, К7, К8, К10)

G2- качественные (К1, К4, К5, К9)

Матрицы парных сравнений

G1=7; G2=4