Прогноз населения в РФ

1. СБОР ДАННЫХ

Рядом динамики (динамическим рядом, временным рядом) называется последовательность значений статистического  показателя (признака), упорядоченная в хронологическом порядке, т.е. в порядке возрастания временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

Каждый ряд динамики содержит два  элемента:

• значения времени;

• соответствующие им значения уровней  ряда.

В качестве показателя времени в  рядах динамики могут указываться  либо определенные моменты (даты) времени, либо отдельные периоды (сутки, месяцы, кварталы, полугодия, годы и т.д.).

Построим динамический ряд населения Российской федерации, представленные в табл. 1 [данные с официального сайта федеральной 
службы государственной статистики: режим доступа http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat/rosstatsite/main/publishing/catalog/statisticCollections/.

Таблица 1

Динамика численности  населения РФ за 2002-2011 гг.

Как видим из таблицы, численность постоянного населения Российской Федерации на 1 января 2012 г. составляла 143,06 млн. человек.

  
2. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОГНОЗ ПО АБСОЛЮТНОМУ ПРИРОСТУ

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя (рис.1).

Рис. 1. Динамика численности населения РФ в 2002-2011гг., в тыс.чел.

Для прогнозирования  могут применяться различные  математические функции.

Самым простейшим способом прогнозирования является прогноз по среднему абсолютному приросту. Этот прогноз рассчитывается по следующей формуле:

P=P1+Δt,

где P1- это численность населения на 2012 год,

t- порядковый номер года, по которой делается прогноз,

Δ- абсолютный среднегодовой прирост.

А Δ можно вычислить следующем образом:

Δ= (Yn – Yi )/n – 1,

где Yn - численность населения 2011 года,

Yi - численность населения 2002 года,

Δ= (143056,4-145166,7) / (11-1)  = -211,03 тыс.чел.

Далее сделаем прогноз  на 2013 год формуле:

P=P1+Δt

P = 143056,4-211,03= 142845,37 тыс.чел.

Можно сделать вывод, что численность населения РФ снижается в среднем на 211,03 тыс. человек ежегодно, и на начало 2013г. составит 142845,37 тыс.чел.

Определяем тренд, наилучшим образом аппроксимирующий фактические данные. Для этого рекомендуется использовать полиномиальный тренд, что позволяет сократить ошибку прогнозной модели. Графически динамический ряд представлен на диаграмме 2.

Рис.2. Фактический и выровненный ряд 
3. АНАЛИЗ ОШИБОК ПРОГНОЗА, РАСЧЕТ И ГРАФИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ ОШИБОК

Рассчитываем ошибки модели как разности между фактическими значениями и значениями модели.

Таблица 2

Расчёт ошибок

Среднее абсолютное отклонение MAD = =2684,632/11=244,06

Среднеквадратическая  ошибка  MSE= =2,892/10=73857,8

Величина полученной ошибки позволяет  говорить, что построенная модель хорошо аппроксимирует фактические данные, т.е. она вполне отражает демографические тенденции, и является предпосылкой для построения прогнозов высокого качества.

4. АНАЛИЗ ТРЕНДА КРИТЕРИЕМ СЕРИЙ

По этому способу  каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. Теперь последовательность уровней выступает как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий (серия – любая последовательность элементов одинакового типа, с обоих сторон граничащая с элементами другого типа).

Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей), должны выполняться следующие неравенства:

где п - длина временного ряда; v(п) – число серий; - число подряд идущих плюсов или минусов в самой длинной серии.

Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки а, заключенной между 0,05 и 0,0975 (следовательно, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей).

Квадратные скобки в  правой части неравенства означают целую часть числа. Целая часть числа А, т.е. [А] – это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Рассмотрим теперь применение критерия «восходящих и нисходящих»  серий для проверки гипотезы о наличии тренда. Процесс формирования серий показан в табл. 3. Во второй строке этой таблицы в соответствии  указан «+», если последующее значение уровня временного ряда больше предыдущего, «-» - если меньше.

Таблица 3

Выявление тренда методом  критерий серий

Анализ полученной последовательности знаков позволил установить:

• число серий v(11) = 2

• протяженность самой  длинной серии Т_mах (10) = 8.

Табличное значение То(10) = 5. 

Делаем проверку. Для этого сначала определим значение для правой части первого неравенства:

4,63

Тогда проверка выполнения условий показывает, что оба неравенства выполняются. Следовательно, нулевая гипотеза принимается, поэтому тренд в динамике населения РФ отсутствует с доверительной вероятностью 0,95. Очевидно, что этот же вывод можно было получить, опираясь лишь на второе неравенство, не проводя вычислений.

5. АНАЛИЗ ТРЕНДА МЕТОДОМ ФОСТЕРА-СТЮАРТА

Второй метод проверки наличия тенденции называется методом  Фостера-Стюарта, который, помимо определения  наличия тенденции, позволяет обнаружить тренд дисперсии уровней ряда динамики, что важно знать при анализе и прогнозировании экономических явлений.

Заполняется таблица 3.

1. mt=1, если настоящее  значение больше всех предыдущих;

2. lt=1, если настоящее  значение меньше всех предыдущих;

3. dt=mt-lt  (при значении t от 2 до n);

4. D=

Таблица 4

Вычислим среднюю квадратическую ошибка величины D:

Вычисляется t _набл.:

Выберем уровень значимости 0,05, n=11-1=10, tкр =2,2281

Tн<tкр – следовательно есть основания отвергнуть гипотезу об отсутствии тренда. С вероятностью 0,95 тренд не существует во временном ряду.

6. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДИНАМИКИ, АБСОЛЮТНЫЙ ПРИРОСТ, ТЕМП РОСТА И ТЕМП ПРИРОСТА ЦЕПНЫЕ И БАЗИСНЫЕ, ИХ ГРАФИКИ

Для изучения динамики социально-экономических  явлений в статистике исчисляются  особые показатели. К числу показателей  динамики относятся:

А) Абсолютный прирост (АП);

Б) Темп роста (ТР);

В) Темп прироста (ТП);

Г) Абсолютное значение одного процента прироста (А).

Расчет показателей  динамики представлен в следующей  таблице:                            Таблица 5

Формулы для расчета  показателей динамики

Система средних показателей  динамики включает:

• средний уровень ряда;
• средний абсолютный прирост;
• средний темп роста;
• средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги  развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной  последовательности. Найдем все показатели динамики в табл. 5.

Таблица 6

Расчет показателей  динамики

Графический анализ по результатам таблицы представлен на рис.

Рис. Абсолютный прирост

Рис. Темпы роста

Средний уровень ряда:

143132,7

В среднем за год население РФ составляло 143132,7 тыс.чел.

Средний абсолютный прирост.

В среднем за год численность населения снижалась на 211,03 тыс.чел.

Темп роста среднегодовой:

=96,4%

Средний темп прироста:

96,4 – 100= 3,6%

В среднем за год численность населения снижалась на 3,6%.

7. ПРОГНОЗ МЕТОДОМ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ. АНАЛИЗ ОШИБОК. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ

Одной из задач анализа динамического  ряда является определение тенденции  его развития. С этой целью применяются  метод скользящей средней. Скользящая средняя представляет собой простую среднюю арифметическую, полученную из подвижных сумм путем последовательного сдвига на один период суммируемых значений. Так, при периоде скольжения, равном 3, рассчитываются скользящие средние как:

Каждая средняя относится к  центру интервала, и поэтому динамический ряд из скользящих средних будет короче исходного ряда на уровень, т.е. на 2 члена. Если трехчленная скользящая средняя не привела к сглаженному динамическому ряду с четко выраженной тенденцией, то период скольжения увеличивается, т.е. определяются 4- и 5-членные скользящие средние. Расчет скользящих средних представлен в табл. 7.

Таблица 7

Скользящие средние

Рис. Скользящие средние

8. ПРОГНОЗ МЕТОДОМ ВЗВЕШАННЫХ СКОЛЬЗЯЩИХ СРЕДНИХ. АНАЛИЗ ОШИБОК. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной.

Весовые коэффициенты определяются с помощью МНК, причем нет необходимости каждый раз вычислять их заново при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, так как они будут одинаковыми для каждого активного участка.

Для интервала сглаживания, равного 5 они будут равны:

Для интервала сглаживания, равного 7они будут равны:

По данным рассчитаем пятимесячную и семимесячную взвешенную скользящую среднюю (табл. 7).

Таблица 7

Взвешенная скользящая средняя

Рис. 3. Взвешенная скользящая средняя

Графический анализ показывает, что ряд, сглаженный по семимесячной взвешенной скользящей средней, носит более гладкий характер. Это объясняется тем, что чем больше длина интервала сглаживания, тем более гладкий ряд получается на выходе модели.

9. ПРОГНОЗ МЕТОДОМ ЭКСПОТЭНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ

При расчете экспоненциальной средней в момент времени всегда требуется значение экспоненциальной средней в предыдущий момент времени, поэтому на первом шаге должно быть определено некоторое значение So, предшествующее Sx. Вес, приписываемый этому значению, уменьшается по экспоненциальной зависимости по мере удаления от первого уровня. Поэтому для длинных временных рядов влияние неудачного выбора погашается. Однако при малых выборках это может привести к существенным ошибкам, так как, например, при , даже после 20 итераций вес начального значения превышает веса других уровней ряда. Рассчитаем экспоненциальную среднюю для временного ряда курса ЕВРО (табл. 8) . В качестве начального значения экспоненциальной средней возьмем среднее значение из пяти первых уровней ряда. Расчеты проведем для четырех различных значений параметров адаптации.

Таблица 8

Экспоненциальные средние

Рис. Экспоненциальные средние

На рис. наглядно проявляется влияние значения параметра адаптации а на характер сглаженного ряда. При w=0,25 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, так как в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Какую скользящую среднюю использовать зависит от конкретного уровня ряда. Простая скользящая средняя очевидно имеет запаздывание, но Экспоненциальная скользящая средняя может быть склонна к более быстрым прорывам. Некоторые предпочитают использовать Экспоненциальные скользящие средние для более коротких периодов времени для более быстрого отображения изменений. Некоторые предпочитают для долгосрочных периодов Простые скользящие средние, чтобы определять долгосрочные изменения трендов. Вид скользящей средней и период времени будут сильно зависеть от конкретного рыночного инструмента и от того, как она реагировала в прошлом.

10. ВЫБОР КРИВОЙ РОСТА

На практике для описания тенденции развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени . При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени; считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

Правильно выбранная  модель кривой роста должна соответствовать  характеру изменения тенденции  исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения

Уровней динамического  ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, т.е. на продлении в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом. Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

• выбор одной или  нескольких кривых, форма которых  соответствует характеру изменения  временного ряда;

• оценку параметров выбранных  кривых;

• проверку адекватности выбранных кривых прогнозируемому  процессу, оценку точности моделей и окончательный выбор кривой роста;

• расчет точечного и  интервального прогнозов.

Рассчитаем прогнозное значение исходя из предположения, что  тенденция ряда может быть описана параболической и линейной моделью. Для нахождения параметров a₀, a₁, a₂ используется метод наименьших квадратов. Расчеты удобно вести, обозначая время t так, чтобы была  , т.е. для 7 лет t обозначаем как:   -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; для четного же количества уровней ряда, например для 6 лет t обозначается: -5, -3, -1, 1, 3, 5. Тогда упрощаются расчеты.

Таблица 9

Расчет параметров