Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕКСТИЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н.КОСЫГИНА"
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
по курсу
"Прогнозирование емкости и конъюнктуры рынка"
группа 51/04
вариант № 9
Выполнил(а) ______________________ Жилкина Ю.В.
Проверил _____________________ канд. экон. наук., доц.
Москва 2008
СОДЕРЖАНИЕ
1 Прогнозирование на
основе стационарного
1.3 Построение и визуальный анализ графика
по исходным и сглаженным данным ………………………………………………………………………………
1.2 Проверка наличия или отсутствие тенденции
с помощью коэффициента Кендэла……………………………………………………………
1.3 Точечные и интервальные прогнозные оценки………………………………..7
2 Прогнозирование на основе тренда временного ряда……………………………9
2.1 Построение графика по исходным данным и его визуальный анализ….……..9
2.2 Оценка наличия тенденции
среднего уровня ряда (тренда) и
дисперсии в исходном
2.3 Оценка наличия во
временном ряде тенденции
2.4 Расчет линейного параметра
методом усреднения по левой и правой
половине…………………………………………………………
2.5 Расчет параметров линейного тренда с помощью метода наименьших квадратов (МНК)……………………………………………………...17
2.6 Выбор нелинейного тренда……………………………………………………...
2.7 Выбор тренда, наилучшим образом
аппроксимирующего исходный временной
ряд……………………………………………………...…………
2.8 Расчет величины еt
и адекватность выбранной модели тренда
на основе условий ………………………………………………………………………………
2.9 Расчет точечной и интервальной прогнозной
оценки с периодом упреждения, равным
1……………………………………………………………………………
3 Прогнозирование на
основе сезонного цикла
4 Прогнозирование с
помощью метода
4.1 Построение графика курса акций фирмы АО «Московская швея» в соответствии с рисунком 9……….…………………………………………………38
4.2 Расчет прогнозной
оценки с помощью метода экспон
4.3 Определение уровня сглаживания , дающего наименьшую ошибку, с помощью критерия наименьшей суммы квадрата отклонений…………………..47
- Прогнозирование на основе стационарного временного ряда
1.1 Построение
и визуальный анализ графика
по исходным и сглаженным
Исходные данные по варианту:
Таблица 1
Вариант |
Уровни временного ряда (уt) | |||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 | |
9 |
16,3 |
14,7 |
15,6 |
16,1 |
16,3 |
16,7 |
15,3 |
15,4 |
16,1 |
16 |
Для оценки временного ряда на наличие в нем тенденции необходимо построить график исходного временного ряда в соответствии с рисунком 1.
При визуальном анализе графического образа временного ряда можно сделать предварительный вывод, что тенденции среднего ряда в нем нет, т.к. спрос колеблется, и явной тенденции к повышению или снижению у него нет.
Рассчитаем сглаженные уровни ряда, с помощью метода скользящей средней с интервалом сглаживания, равным трем:
(16,3+14,7+15,6)/3=15,53
(14,7+15,6+16,1)/3=15,47
(15,6+16,1+16,3)/3=16
(16,1+16,3+16,7)/3=16,37
(16,3+16,7+15,3)/3=16,1
(16,7+15,3+15,4)/3=15,8
(15,3+15,4+16,1)/3=15,6
(15,4+16,1+16)/3=15,83
Рисунок 1
На основе визуального анализа с высокой степенью вероятности можно сделать вывод о том, что во временном ряде мы наблюдаем отсутствии тенденции среднего ряда.
1.2 Проверка наличия или отсутствие тенденции с помощью коэффициента Кендэла.
Для того, чтобы подтвердить полученный ранее вывод необходимо провести анализ оценки наличия в ряде тенденции с помощью метода коэффициента Кендэла (коэффициента ранговой корреляции).
Расчет проведем с помощью данных таблица 2:
Таблица 2
Время t |
Уровни ряда Y(t) |
Pt |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
16,3 |
- |
2 |
14,7 |
0 |
3 |
15,6 |
1 |
4 |
16,1 |
2 |
5 |
16,3 |
3 |
6 |
16,7 |
5 |
7 |
15,3 |
1 |
8 |
15,4 |
2 |
9 |
16,1 |
4 |
10 |
16 |
4 |
Итого |
- |
22 |
Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96.
Сопоставим расчетное и теоретическое значения коэффициента Кендэла.
(0 - 1,96∙0,248) < -0,022< (0 + 1,96∙0,248)
- 0,486 < -0,022 < 0,486
Из установленного соотношения следует, что с выбранной степенью вероятности 95% во временном ряде нет места тенденции среднего уровня ряда. Этот вывод согласуется с выводами, полученными ранее при визуальном анализе графика временного ряда.
Общий вывод о наличии или отсутствии во временном ряде тенденции.
На основе ранее полученных частных выводов можно сделать обобщенный вывод: во временном ряде с высокой степенью вероятности 95% во временном ряде нет места тенденции среднего уровня ряда.
1.3 Точечные и интервальные прогнозные оценки
Поскольку полученные
визуальная и аналитическая
Затем найдем интервальный прогноз, выбрав уровень значимости, равный 0,05, т.е. а=0,05. Отсюда доверительная вероятность γ=1−а; γ=1–0,05=0,95.
Определим число степеней свободы:
k=n–1
k=10–1=9.
Зная доверительную
Оно будет равно 2,262.
Найдем интервальный прогноз:
Отсюда верхняя граница интервального прогноза 16,323 (15,85+0,473), а нижняя – 15,377 (15,85-0,473).
Таким образом, с вероятностью 95% прогнозный спрос на текстильную продукцию на следующий (11-й) день будет лежать между 16,323 и 15,377
2. Прогнозирование на основе тренда временного ряда
Исходные данные по варианту:
Таблица 2
Вариант |
Уровни временного ряда (уt) | |||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 | |
9 |
7,9 |
8,6 |
7,3 |
6,8 |
5,9 |
6,2 |
6,7 |
5,8 |
6,0 |
5,2 |
5,0 |
4,4 |
2.1 Построение графика по исходным данным и его визуальный анализ
Для оценки временного
ряда на наличие в нем
Рассчитаем сглаженные уровни ряда:
Рисунок 2
На основе визуального анализа с высокой степенью вероятности можно сделать вывод: что временной ряд содержит тенденцию среднего уровня ряда – тренд, так как оборот магазина «Ткани для дома», хотя и колеблется, но в среднем, идет снижение оборота и он предположительно линейный.
На основе визуального анализа сглаженного временного ряда с высокой степенью вероятности можно сделать вывод: во временном ряде имеет место есть тенденция к снижению, тренд- линейный.
2.2 Оценка наличия тенденции среднего уровня ряда (тренда) и дисперсии в исходном временном ряде с помощью метода Фостера-Стюарта.
Метод Фостера–Стюарта. Позволяет с определенной вероятностью оценить наличие тенденции среднего уровня ряда (тренда) и дисперсии в исходном временном ряде.
Таблица 3
t |
Y(t) |
ut |
lt |
St |
Dt |
|
1 |
7,9 |
- |
- |
- |
- |
2 |
8,6 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
7,3 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
4 |
6,8 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
5 |
5,9 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
6 |
6,2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
7 |
6,7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
8 |
5,8 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
9 |
6,0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
10 |
5,2 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
11 |
5,0 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
12 |
4,4 |
0 |
1 |
1 |
-1 |
Итого |
- |
- |
- |
8 |
-6 |
Значения величин, μ, σ1, σ2 приведены в приложение 1. Поскольку в приложении указаны данные для n=10 и n=15, для нахождения данных при n=12 используем принцип интерполяции, предположив, что эти данные в интервале от n=10 до n=15 изменяются линейно, т.е. равномерно. Поэтому нам нужно к значениям данных при n=10 прибавить их изменения за два (2=12–10) шага.
Отсюда μ(12)=μ(10)+Δμ=3,858+0,311=4,
Отсюда σ1(12)= σ1(10)+Δσ1=1,288+0,093=1,381
Отсюда σ2(12)= σ2(10)+Δσ2=1,964+0,076=2,040.
;
.
Теперь найдем табличное значение tγ. Для этого зададимся уровнем значимости, а=0,05. Затем определим доверительную вероятность γ=1– а=1– 0,05=0,95 и число степеней свободы k=n – 1=12 –1=11. Относительно найденных значений γ и k по таблице «Значение t-критерия Стьюдента» (приложение 2) найдем табличное значение tγ=2,201.
Сопоставим значения t1 и t2 с tγ.
Поскольку |t1=3,381|>|tγ=2,201|, постольку нулевая гипотеза о том, что во временном ряде отсутствует тенденция дисперсии, отклоняется и во временном ряде с заданной вероятностью (γ =0,95) имеет место тенденция дисперсии.
Поскольку |t2=2,941|>|tγ=2,201|, постольку нулевая гипотеза о том, что во временном ряде отсутствует тенденция среднего уровня, отвергается. Отсюда с вероятностью γ=0,95 (95%) можно утверждать, что во временном ряде имеет место тенденция среднего уровня ряда.
Так как наши визуальные и аналитические оценки совпали, то с высокой степенью вероятности можно считать, что во временном ряде имеет место тенденция среднего уровня и тенденция дисперсии .
2.3 Оценка наличия во временном ряде тенденции среднего уровня ряда с помощью метода коэффициента Кендэла
Метод коэффициента Кендэла позволяет с определенной вероятность оценить наличие во временном ряде тенденции среднего уровня ряда.
Расчет проведем с помощью данных таблицы 4:
t |
Y(t) |
Pt |
1 |
7,9 |
- |
2 |
8,6 |
1 |
3 |
7,3 |
0 |
4 |
6,8 |
0 |
5 |
5,9 |
0 |
6 |
6,2 |
1 |
7 |
6,7 |
2 |
8 |
5,8 |
0 |
9 |
6,0 |
2 |
10 |
5,2 |
0 |
11 |
5,0 |
0 |
12 |
4,4 |
0 |
Итого |
6 |
Подведя итог по графе 3, найдем общее число случаев, когда текущий уровень ряда больше предыдущих. Их всего 10. Это позволит определить расчетное значение коэффициента Кендэла:
Рассчитаем теоретическую дисперсию:
Для оценки наличия в ряде тенденции среднего уровня ряда выберем вероятность, равную 0,95 (95%). С учетом выбранной вероятности коэффициент доверия t=1,96.
Сопоставим расчетное и
Из трех вариантов выбираем второй, поскольку только в нем выполняется необходимое соотношение расчетного и теоретического значений коэффициента Кендэла, во временном ряде есть убывающая тенденция среднего уровня ряда.
Общий вывод о наличие в исходном временном ряде тенденции
Из установленного соотношения следует, что с вероятностью 95% во временном ряде имеет место убывающая тенденция среднего уровня ряда. Этот вывод согласуется с выводами, полученными нами ранее при визуальном анализе графика временного ряда и применении метода Фостера-Стюарта.
- Расчет линейного параметра методом усреднения по левой и правой половине
Для выбора трендовой модели найдём абсолютные цепные приросты временного ряда в таблице 5.
Таблица 5
t |
Y(t) |
|
|
1 |
7,9 |
- |
2 |
8,6 |
+0,7 |
3 |
7,3 |
-1.3 |
4 |
6,8 |
-0,5 |
5 |
5,9 |
-0,9 |
6 |
6,2 |
+0,3 |
7 |
6,7 |
+0,5 |
8 |
5,8 |
-0,9 |
9 |
6,0 |
+0,2 |
10 |
5,2 |
-0,8 |
11 |
5,0 |
-0,2 |
12 |
4,4 |
-0,6 |
Итого |
Анализ цепных приростов показывает, что прирост относительно постоянен по абсолютной величине, что даёт возможность предположить, что для описания исходных данных можно использовать линейный тренд, т.е.
Рассчитаем параметры
Метод усреднения по левой и правой половине данных позволяет найти параметры а и а линейного тренда .
Таблица 6
Дни t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
Y(t) |
7,9 |
8,6 |
7,3 |
6,8 |
5,9 |
6,2 |
6,7 |
5,8 |
6,0 |
5,2 |
5,0 |
4,4 |
Рассчитаем по каждой половине среднее число дней и средний оборот магазина «Ткани для дома»:
- для первой половины данных таблицы
;
- для второй половины данных таблицы
;
В результате расчетов мы получили координаты двух точек
А (3,5; 7,12)
В (9,5; 5,52)
В прямоугольной системе координат построим эти точки в соответствии с рисунком 3. Через них проведем прямую до пересечения с осью ординат. Точка пересечения построенной прямой и оси даст нам значение а0; в данном случае а0=8,1.
Теперь определим значение параметра а1. Подставим координаты точки А(3,5; 7,12) в формулу:
.
В результате расчетов выбранная нами линейная модель будет иметь следующий конкретный вид .
Как видно из рисунка 3 линейный тренд отражает убывающую тенденцию временного ряда.
2.5 Расчет параметров линейного тренда с помощью метода наименьших квадратов (МНК)
Рассчитаем параметры
Чтобы найти параметры линейного тренда , необходимо решить систему нормальных уравнений:
.
Построим таблицу:
Таблица 6
t |
Y(t) |
t2 |
ty |
1 |
7,9 |
1 |
7,9 |
2 |
8,6 |
4 |
17,2 |
3 |
7,3 |
9 |
21,9 |
4 |
6,8 |
16 |
27,2 |
5 |
5,9 |
25 |
29,5 |
6 |
6,2 |
36 |
37,2 |
7 |
6,7 |
49 |
46,9 |
8 |
5,8 |
64 |
46,4 |
9 |
6,0 |
81 |
54 |
10 |
5,2 |
100 |
52 |
11 |
5,0 |
121 |
55 |
12 |
4,4 |
144 |
52,8 |
∑78 |
75,8 |
650 |
448 |
Найдем параметры а0 и а1:
;
В результате расчетов линейный тренд примет конкретный вид .
На основе визуального анализа, линейный тренда соответствует ранее сделанному выводу по данным временного ряда с высокой степенью вероятности то, что временной ряд и линейный тренд имеет тенденцию к снижению.
