Производная и ее применение в экономике

 

 

«Государственный университет

Министерства финансов Российской Федерации»

Калужский филиал

 

 

 

 

 

 

Проект по высшей математике на тему:

«Производная и ее применение в экономике»

 

 

 

 

 

Выполнили:

Варганова  М., Козлова М.,

Фролова А., Хадиатулина Т.

 

 

Проверил:

Дробышев Ю.А.

 

 

 

 

 

 

Калуга - 2012 г.

 

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. При этом важны как знания традиционных математических курсов (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей), так и знания, необходимые непосредственно в практической экономике и экономических исследованиях (математическая и экономическая статистика, теория игр, эконометрика и др.).

Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Она служит средством предельно четкой и ясной формулировки экономических понятий и проблем.

Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение". Поэтому целью моей работы является выяснить, каков экономический смысл производной, какие новые возможности для экономических исследований открывает дифференциальное исчисление, а также исследовать применение производной при решении различных видов задач по экономической теории.

 

 Определение производной

Пусть функция y=f(х) определена в некоторой окрестности точки х₀. Для любой точки х из этой окрестности приращение Dx определяется формулой Dx=х - х₀, откуда х=х₀+Dx.

Приращением функции y=f(x) в точке х₀ называется разность

Dу=f(x) - f(x₀)=f(x₀+Dx) - f(x₀).

Производной от функции у=f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента ( ), когда приращение аргумента стремится к нулю (Dx→0).

Производная функции у=f(x) в точке х₀ обозначается y'(х₀) или f'(х₀). Определение производной можно записать в виде формулы:

'( )= = .

Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то она называется дифференцируемой в точке х₀. Если она дифференцируема во всех точках промежутка X, то говорят, она дифференцируема на всём этом промежутке.

Конечно,

может не существовать. В этом случае говорят, что функция f(x) не имеет производной в точке х₀. Если равен или , то говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ бесконечную производную (равную или , соответственно). 
Экономический смысл понятия производной

 

Предельные величины

 

Если спросить экономиста “Что такое производная?”, то он ответит: «маржинализм». Слово «маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.

В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Классическая наука обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход к анализу экономических процессов и явлений. Во второй половине ХIХ в. была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Визер (1851-1926), Е. фон Бём-Баверк (1851-1914), а также английский экономист У.С. Джевонс (1835-1882).

"Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть q - количество произведённой продукции, ТC(q) - соответствующие данному выпуску совокупные издержки (total costs), тогда Dq - прирост продукции, а DТС - прирост издержек производства.

 

 

 

Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции. Другими словами,

где Используя равенство получим

Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемого количества продукции.

Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Задача: Зависимость между издержками производства y и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией  y= 50x-0,05 x³(ден.ед.). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение: Функция средних издержек выражается соотношением y₁=   =50- 0,05 x²; при x=10 средние издержки (на единицу продукции) равны y₁(10)= 50-0,05*100=45 (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной y`(x)= 50-0,15x<sup>2</sup>; при x=10 предельные  издержки составят y`(10)=50-0,15*100=35 (ден.ед.). Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден.ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.) составляют 35 ден.ед.

Предельная выручка MR (marginal revenue) - это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки:

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR - выручка (total revenue); P - цена (price). Таким образом , Ю MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.

Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

Y= C(Y) + S(Y).

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save): 

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию - предельный продукт труда MP_L (marginal product of labor) - это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда при неизменной величине капитала:

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

,

так как dY - результат, dL - затраты, то MP_L - предельная производительность труда.

Задача: Объем продукции V, произведенный бригадой 
 
рабочих, задается уравнением                                           ,

                            1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

    Решение: Производительность труда выражается формулой

     П (t) = V ' (t) , П(t) =                                            (ед./ч). 
 
В заданные моменты времени t1=1 и t2 = 8-1 = 7 имеем: 
П(1) = 112,5 (ед.ч)  и П(7) = 82,5 (ед.ч). 
Итак, к концу рабочего для производительность существенно снижается.

Аналогично, MP_K (marginal product of capital) - предельный продукт капитала - дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

.

MP_k характеризует предельную производительность капитала.

Категория предельной полезности MU (marginal utility) выражает дополнительную полезность от каждой дополнительной потреблённой единицы блага:

При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная от совокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемого количества продукта:

Задача: Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760   f(49)=2601      f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

 

 

 

 

 

 

Эластичность спроса и предложения

Для исследования экономических процессов часто используется понятие эластичности функции.

Понятие эластичности было введено Аланом Маршаллом в связи с анализом функции спроса. По существу, это понятие является чисто математическим.

Эластичностью функции Е_xy(x₀) называется предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при Dx®0:

.

Коэффициент эластичности y по х показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.

Очень широко применяется понятие эластичности в экономическом анализе.

В экономике существует несколько видов эластичности.

- Эластичность спроса по цене (прямая)

показывающая относительное изменение (выраженное в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении цены этого блага на один процент и характеризующая чувствительность потребителей к изменению цен на продукцию.

Если =0, то спрос на данный товар называется абсолютно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается - количество покупаемого товара не изменяется; цена растёт - количество покупаемого товара также не изменяется. К подобным товарам относятся инсулин, товары Гиффена (товары первой необходимости) и т.д.

Если 0, то спрос на данный товар называется неэластичным или относительно неэластичным. Поведение покупателя: цена снижается - темп роста спроса ниже темпа снижения цены; цена растёт - темп снижения спроса ниже темпа роста цены.

Если =1, то говорят, что товар имеет единичную эластичность.

Поведение покупателя: цена снижается - темп роста спроса равен темпу снижения цены; цена растёт - темп снижения спроса равен темпу роста цены.

Если >1, то спрос на данный товар называется эластичным или относительно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается - темп роста спроса выше темпа снижения цены; цена растёт - темп снижения спроса выше темпа роста цены.

Если , то спрос на данный товар называется абсолютно эластичным. Поведение покупателя: цена снижается - объём покупок неограниченно возрастает; цена растёт - объём покупок падает почти до нуля.

- Эластичность спроса по доходу

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какое-либо благо при изменении дохода потребителя этого блага на один процент. Положительная эластичность спроса по доходу характеризует качественные (супериорные) товары, отрицательная - некачественные (инфериорные) товары.

Так, высокий положительный коэффициент эластичности спроса по доходу в отрасли указывает, что её вклад в экономический рост больше, чем доля в структуре экономики, и она имеет шансы на расширение и процветание в будущем. Наоборот, если коэффициент эластичности спроса на продукцию отрасли имеет небольшое положительное или отрицательное значение, то её может ожидать застой и перспектива сокращения производства.

- Ценовая эластичность ресурсов

характеризующая относительное изменение (в процентах) величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (соответственно, заработной платы) на один процент.

Задача: Кривая спроса задана выражением P= 20-0,001D-0,01 , где  - D объем продаж;  P - цена товара в условных единицах. Объем продаж составляет 10 000. Определите, каким должно быть изменение цены товара, чтобы объем продаж возрос на 1%.

 

Решение: Определим цену P₀ , соответствующую объему продаж D=10000; P₀= 20-0,001*10000-0,01*100= 9 (у.е.)

Для оценки изменения цены товара воспользуемся формулой приближенных вычислений P P₀+ P`   _.

По условию задачи  составляет 1% от 10000 или 10000/100=100. Найдем значение P`(10000):

P`(D)= -0,001- ; P`(10000)= -0,001- = -0,00105

Тогда  P 9- 0,00105*100= 8,895 (у.е.)

Таким образом, для увеличения объема продаж на 1% цена товара должна быть снижена приблизительно на 0,105 у.е.

 

 

Оптимальный объем выпуска продукции

Задача. Выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: π(q) = R(q) - C(q) = q² - 8q + 10

Решение: π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4. При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает При q = 4 прибыль принимает минимальное значение. Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.

Величина вклада в банке через t лет

Пусть q = 1 + i − множитель наращения вклада за один год при ставке

процента i, q = (1 + i)^t  t − множитель наращения за t лет. При малых i имеем

ln(1 + i) ≈ i, а так как t = , то t

 

Приложение производной

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем. Для примера рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы Ферма.

Пусть q - выпуск продукции (в натуральных единицах); TR(q) - выручка от продаж; TC(q) - издержки производства, связанные с выпуском q единиц продукции. Тогда прибыль

Предположим, что выполняются следующие условия:

1) Функции TR(q), TC(q) определены на полуинтервале и дифференцируемы при q>0.

2) Максимум прибыли достигается в некоторой точке q^* 0.

В случае, когда максимум прибыли положителен , условие q^* 0 естественным образом выполняется, поскольку (нет выпуска - нет выручки, нет выручки - нет прибыли).

Итак, условия 1), 2) выполнены. Тогда функция дифференцируема и имеет на интервале максимум в точке q^* 0. По теореме Ферма, . Так как , то в точке q=q^* получаем равенство

TR'(q^*)=TC'(q^*) или MR=MC.

В экономической теории данное равенство иллюстрирует один из базовых законов теории производства, согласно которому фирма, максимизирующая свою прибыль, устанавливает объём производства таким образом, чтобы предельная выручка была равна предельным издержкам.

В случае, когда объём производства q не влияет на цену продукции p, имеем TR(q)=p*q, TR'(q)=p. Равенство TR'(q^*)=C'(q^*) принимает вид p=TC'(q^*).

 

Использование производной при решении задач

Задача №1: Функция спроса имеет вид Q_D=100 - 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции - 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Прибыль есть выручка минус издержки:

П=TR - TC,

где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

20p=100 - Q p=5 - Q/20.

Тогда

П=(5 - Q/20)Q - (50 + 2Q)= - Q² + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= -2Q+60.

Приравняем производную к нулю: -2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача №2: Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: Q_D=200 - 4p, а объём предложения - Q_S=6p - 100. Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равна цена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?

Решение: В точке потребительского равновесия Q_S=Q_D, то есть

6p₀ - 100=200 - 4p₀,

откуда p₀= 30 (ден.ед.) - равновесная цена, Ю Q₀=80 (ед.) - равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p₀, Ю Q=Q_D, то есть П=Q_Dp - Q_D TVC=Q_D(p - TVC),

подставим значения и получим:

П=(200 - 4p)*(p - 25)= -4p² + 300p - 5000.

2) p=p₀, Ю Q=Q_D=Q_S, Ю Q_{продажи}=Q₀=80 (ед.), Ю 

П₂=80*(30 - 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p₀: Ю Q= Q_S, то есть П=Q_Sp - Q_S TVC=Q_S(p - TVC),

подставим значения:

П=(6p - 100)(p - 25)=6p² - 250p + 2500.

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= - 4p² + 300p - 5000

П'= - 8p + 300;

- 8p + 300=0 Ю p=75/2=37,5 (ден. ед.).

Значит, Q=Q_D=200 - 4*37,5=200 - 150=50 (ед.), а

П₁= - 4p² + 300p - 5000= - 4*(37,5)²+300*37,5 - 5000=625 (ден. ед.).

2) Во втором случае прибыль была уже найдена: П₂=400 (ден. ед.).

3) П=6p² - 250p + 2500

П'=12p - 250;

12p - 250=0 Ю p=125/6=20⁵/₆ (ден. ед.).

Значит, Q=Q_S=6*20⁵/₆ - 100=125 - 100=25 (ед.), a

П₃=6p² - 250p + 2500=6*(20⁵/₆)² - 250*20⁵/₆+2500= - 104¹/₆ (ден. ед.).

Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.

Задача №3: Какова максимальная выручка монополиста, если спрос вплоть до пересечения с осями описывается линейной функцией Q=b - ap, где p - цена товара, выпускаемого монополистом; a и b - коэффициенты функции спроса?

Решение: Выручка TR=Qp=p(b - ap) достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:

TR'=(p(b - ap))'=0.

TR'=p'*(b - ap)+ (b - ap)'*p=b - ap - ap=b - 2ap=0 Ю p= Ю

Ю Q=b - ap=b - a = .

При этом максимум выручки составит

Задача №4: Найти оптимальный объём производства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом: П(q)=TR(q) - TC(q)=q² - 8q + 10.

Решение: Найдём производную данной функции:

П

Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:

П

Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

При П и прибыль убывает.

При П и прибыль возрастает.

Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.

Каким же всё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (П(q=8)=П(q=0)=10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных возможностей.

 Задача №5: Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если p=15, TC(q)=q³ + 3q.

Решение: Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: MR=MC. Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR, то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.

Найдём предельные издержки: MC=TC'=3q² + 3.

3q² + 3=15;

3q²=12 Ю q=2.

Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.

Задача №6: Пусть - издержки фирмы-монополиста, Q_D(p)=40 - 2p - функция спроса. Найти оптимальный для данной монополии объём производства и соответствующую цену единицы продукции.

Решение: Выразим зависимость цены от количества произведённой продукции:

 

Тогда прибыль будет равна:

В точке q₀ максимума прибыли выполняется равенство Отсюда оптимальный для монополиста объём производства равен q₀=10. Соответствующая цена будет:

p₀=p(q₀)=   

При этом предельные издержки Таким образом, цена, наиболее выгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.

Задача №7: Объём продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию где t - время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Решение: За период времени от t₀=2 до (t₀ + Dt) количество произведенной продукции изменится от u₀=u(t₀) до значения u₀+Du = u(t₀+Dt). Средняя производительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно, производительность труда в момент t₀ можно определить, как предельное значение средней производительности труда за период времени от t₀ до (t₀+Dt) при Dt®0, то есть

u'(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

 

 

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.
3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
4. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
5. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).
6. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.