Для номера зачетной книжки Э-09-040 Тюм. число δ=542.

     Задание 1

     Производственные  функции

     1.1. Дайте понятие производственной функции и изокванты. Что означает взаимозаменяемость ресурсов?

     Пусть для производства некоторого продукта в количестве y единиц используются различные ресурсы:  х₁, х₂, …, х_n, выраженные в соответствующих им единицах. Если понята закономерность получения продукта у из ресурсов = (х₁, х₂, …, х_n), т.е. если в явном виде выражена зависимость у = f(), то такая функция f() называется производственной.

     Пусть зафиксировано некоторое число  у₀. Множество в n - мерном пространстве, определяемое равенством

       = {: f() = y₀},

     называется  изоквантой функции f() уровня y₀.

     Из  самого определения изокванты следует, что если , , то ресурсы и обеспечивают производство одного и того же количества продукта y₀, т.е. являются в этом смысле взаимозаменяемыми. Для организаторов производства знание изокванты позволяет недостаток одних ресурсов компенсировать увеличением других.

     1.2. Производственная функция для райпо имеет вид f(x₁,x₂)= 10 , где f – товарооборот, млн. руб.; x₁ – производственная площадь, тыс.кв. м; x₂ – численность работников, сотни чел. Рассмотрите изокванту уровня                     y₀ = и найдите на ней точку с координатами С₁ с координатами , , где = , и точку С₂ с координатами , , где = . Сделайте вывод о возможности замены ресурсов (, ) и (, ). Полученные результаты изобразите графически. 

     Решение:

     Число δ=542. Тогда уравнение изокванты

     10 =   = .

     Возводя обе части в квадрат и деля их на 100, получим:

       = 6,42.

     Найдем  координаты точки С₁. Так как = = 4,42 , то из уравнения изокванты находим = = 1,45. Аналогично находим координаты точки С₂. Так как = = 2,42 , то =  = 2,65.

     Итак, 147 работников райпо, используя 4,42 тыс. кв. метров производственной площади, обеспечат товарооборот ≈ 25.34 (млн. руб.), и такой же товарооборот могут обеспечить 223 работника, используя площадь 2,65 тыс. кв. метров. (рис.1) 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание 2

     Функция покупательного спроса

     1.1. Дайте понятие малоэластичных, среднеэластичных и высокоэластичных товаров. Какие товары называются взаимозаменяемыми? 

     Обозначим = (у₁,у₂,…,у_n) – спрос на товары, выраженный в некоторых единицах, и = (р₁,р₂,…,р_n) – цены на эти товары, т.е. р_i  - цена на i-й товар; y_i – спрос на i-й товар. Пусть рассматривается некоторый потребитель, например типичный представитель определенной социальной группы, и если для него удается выразить через , т.е.

     =(),

     то  называется функцией спроса.

     Определим эластичность формулой

      = .

     Величина  является математической идеализацией процентного изменения спроса на i-й товар при увеличении на 1% цены на j-й товар.

     Эластичность  при i = j называется прямой, и она показывает, на сколько процентов изменится спрос на i-й товар при увеличении на 1% цены на этот же товар.

     Эластичность  при i ≠ j называется перекрестной, и она показывает влияние изменения цены одного товара на спрос другого.

     Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности сводится к следующему:

1. если | | < 1, то i-й товар называется малоэластичным;
2. если | | ≈ 1, то i-й товар называется среднеэластичным;
3. если | | > 1, то i-й товар называется высокоэластичным;
4. если увеличение цены на j-й товар приводит к увеличению спроса на i-й товар и наоборот, то эти товары называются взаимозаменяемыми. Типичный пример таких товаров: сливочное масло и маргарин.

     1.2. Произведите классификацию товаров по следующей таблице эластичностей:

     Решение:

     Число δ=542. Тогда таблица эластичностей принимает вид:

     Так как | ε₁₁ | = 0,68, то первый товар малоэластичный;

     так как | ε₂₂ | = 0,017 > 1, то второй товар высокоэластичный;

     так как | ε₃₃ | = 0,237> 1, то третий товар высокоэластичный.

     Поскольку ε₁₂  = 0,085 > 0 и ε₂₁ = 0,98 > 0, то 1-й и 2-й товары взаимозаменяемые.

     Поскольку ε₁₃ = 0,285 > 0 и ε₃₁ = 0,215 > 0, то 1-й и 3-й товары взаимозаменяемые.

     Поскольку ε₂₃ = -0,215 < 0 и ε₃₂ = -0,1,38 < 0, то 2-й и 3-й товары взаимодополняемые. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Задание 3

     Межотраслевой баланс

    1.1. Дайте определение коэффициентов прямых затрат. Где они могут быть использованы? 

     Пусть народное хозяйство представлено n отраслями сферы материального производства. Каждая из отраслей производит один агрегированный продукт. Валовой выпуск этих продуктов отраслями обозначим х₁, х₂, …, х_n. Вся продукция х_i отрасли i, i=1,2,…,n, делится на промежуточную Z_i  и конечную y_i. Промежуточную продукцию потребляют в процессе производства сами отрасли. Конечная продукция выходит из сферы материального производства и предназначается для непроизводственного потребления.

     На  основе отчетных данных о деятельности отраслей за определенный период можно  составить межотраслевой баланс. Обозначим х_ij – объем продукта i-й отрасли, используемый за отчетный период j-й отраслью. Если представить, как распределяется валовая продукция каждой отрасли по другим отраслям и в сфере потребления, то получится система уравнений.

              (1)

     Преобразуем систему уравнений:

          (2)

     Отношение называется коэффициентом прямых затрат и содержательно означает объем продукции i-й отрасли, который требуется передать j-й отрасли, чтобы последняя произвела единицу своей валовой продукции.

     Учитывая  это, система уравнений примет вид:

         (3)

     Модель  межотраслевого баланса может использоваться в планировании деятельности отраслей материального производства. Если технологии производства продуктов не меняются, то коэффициенты прямых затрат остаются неизменными.

     Используя систему уравнений межотраслевого баланса при известном плановом значении конечной продукции у отраслей, можно вычислить плановое производство валовой продукции х этих отраслей. 

     1.2. За отчетный период имел место следующий баланс продукции:

     х₁=х₁₁+х₁₂+у₁

     х₂=х₂₁+х₂₂+у₂

     х₁₁=800-δ            х₁₂=700-δ

     х₂₁=750-δ            х₂₂=850-δ

     у₁=300            у₂=220

     а) Вычислите коэффициенты прямых затрат

     б) Вычислите плановый объем валовой  продукции отраслей, если план выпуска  конечной продукции  у^П₁=350; у^П₂=250 при условии неизменности технологии производства.

     Решение:

     При δ=542          х₁₁ = 800-542 = 258           х₁₂ = 700-542 = 158

                                 х₂₁ = 750-542 = 208          х₂₂ = 850-542 = 308

     х₁ = 258+158+300 = 716

     х₂ = 208+308+220 = 736

     а) Вычислим коэффициенты прямых затрат.

     б) Вычислим плановый объем валовой  продукции отраслей. 
 
 

     Выразим из первого уравнения :

     0,633=350+0,229 
 

       = 552,923 + 0,362 – и подставим во второе уравнение: 

     -0,301(552,923+0,362)+=250 

     -166,43-0,109+0,578=250 

     0,578-0,109=250+166,43 

     0,469=416,43 

       = = 887,91 

       = 552,923 + 0,362887,91 = 552,923 + 321,423 = 874,346

     Таким образом, х^П₁  = 874,346 – плановый объем валовой продукции первой отрасли;

     х^П₂  = 887,91 – плановый объем валовой продукции второй отрасли.

Задание 4

     Системы массового обслуживания (СМО)

     1.1. Дайте описание входящего потока требований и каналов обслуживания. Какие экономические показатели характеризуют работу СМО?

     К системам массового обслуживания относятся  магазины, рестораны, автозаправочные  станции, аэродромы, автоматизированные телефонные станции и многие другие объекты. Общую схему СМО можно  представить в следующем виде:

     Для входящего потока требований предположим, что интервалы между поступлениями  соседних требований есть случайная  величина Х с показательным законом  распределения, т.е. интегральная функция  F(t) имеет вид:

     F(t)=1-ℓ^-λt, t ≥ 0. 

     Число λ (треб./ед. времени) называется интенсивностью входящего потока, и она показывает, сколько в среднем требований поступает в единицу времени.

     Будем считать, что очередь не ограничена и требования обслуживаются в  порядке поступления.

     Для обслуживания примем предположения, что  все n каналов одинаковы и для каждого из них время обслуживания одного требования есть случайная величина Y, распределенная по показательному закону, т.е. ее интегральная функция имеет вид:

     F(t)=1-ℓ^-μt, t≥0. 

     Число μ (треб./ед. времени) называется интенсивностью обслуживания, и она показывает, сколько в среднем требований обслуживается одним каналом в единицу времени.

     Обозначим (α – параметр загрузки СМО) и предположим, что выполняется условие стационарности 

                                      α < n или λ <μ·n.                                         (1) 

     Условие (1) означает, что интенсивность входящего  потока меньше, чем суммарная интенсивность  обслуживания.

     При сформулированных предположениях можно  рассчитать некоторые экономические  показатели работы СМО, такие, например, как Р_к – доля времени работы К – каналов, К = 0,1,…,n; L – средняя длина очереди и другие. Формулы для вычисления р₀,…,р_n, L в общем случае довольно громоздки, поэтому приведем их для случая n = 2:

     1.2. В магазине самообслуживания работают две кассы с интенсивностью     μ = (δ+300)/100 (треб./мин.). Входящий поток требований имеет интенсивность λ = (δ+400)/100 (треб./мин.). Рассчитайте долю времени простоя касс и среднюю длину очереди. Если интенсивность входящего потока станет равной                  λ = (700-δ)/10 (треб./мин.), то будет ли выполнено условие стационарности? Если будет, то во сколько раз увеличится средняя длина очереди?

     Решение:

     Т.к. δ = 542, то μ = 8,23 (треб./мин.), а первоначальное значение λ равно 9,23 (треб./мин.).

             () 

      (треб.)

     Если  интенсивность λ станет равной (700-542)/10 = 17,7 (треб./мин.), то в силу неравенства 17,7 > 16,46 условие стационарности СМО не выполнено(λ < μ·n), следовательно среднюю длину очереди в данном случае рассчитать нельзя.

     Итак, при интенсивности обслуживания μ=8,23 (треб./мин.) и интенсивности  входа λ=9,23 (треб./мин.) доля времени  простоя касс составляет 28,1% времени, а средняя длина очереди равна 0,517 (треб.).

     Задание 5

     Модели  управление запасами

     1.1. Сформулируйте задачу оптимального управления запасами.

     Задача  оптимального управления запасами будет  формулироваться следующим образом: определить объем q заказываемой партии товара, при котором достигается минимум затрат на складские операции в единицу времени в предположении, что темп поступления заказанного товара превышает норму спроса на него. 

     1.2. Дайте экономическую интерпретацию предельной арендной платы.

     Экономически  λ интерпретируется как предельная (максимальная) арендная плата за использование  дополнительных складских емкостей. Если фактическая арендная плата  α меньше либо равна предельной λ , т.е. α≤λ, то аренда выгодна и объем заказываемой партии вычисляется по формуле . Если же α > λ, то аренда невыгодна и тогда объем заказа надо уменьшать, и он рассчитывается в этом случае по формуле , где

     С_x – затраты на хранение единицы товара в единицу времени;

     С_з – затраты на заказ партии товара;

     r – норма спроса;

     k – Темп поступления заказанного товара;

     Q – Емкость склада;

     u – Количество товара, размещаемого в единице емкости склада. 

     1.3. Сделайте вывод о целесообразности аренды дополнительных складских емкостей или о необходимости сокращения объема заказываемой партии товара с учетом имеющихся складских емкостей при сравнении фактической α и предельной λ арендной платы за хранение единицы товара в единицу времени.

     Решение:

     При δ=542,             α=0,039         λ=0,035

     α > λ

     Вывод: фактическая арендная плата больше предельной арендной платы. Следовательно, аренда дополнительных складских емкостей невыгодна, и тогда объем заказываемой партии надо сократить до таких пределов, чтобы возникший товарный запас  можно было разместить в имеющихся  складских емкостях.

     Задание 6

     Использование метода теории игр  в торговле

1. Объясните смысл элементов  платежной таблицы  и способы выбора стратегий с позиций  крайнего пессимизма, крайнего оптимизма  и оптимизма-пессимизма.

     Рассмотрим  проблему уценки неходового товара с  целью получения возможно большей  выручки от реализации. Предположим, что эластичность спроса в зависимости  от цены неизвестна, т.е. неясно, как  отреагирует рынок на то или иное снижение цены.

     Иными словами, нужно принять решение  в условиях неопределенности. В таком  случае можно использовать методы теории игр. Обозначим А₁,А₂,…,А_m – стратегии снижения цены на товар на α₁%, α₂%,…, α_m% соответственно. Возьмем достаточно подробный перечень возможных значений эластичности ε₁, ε₂,…, ε_n. Если выбрать определенную стратегию А_i и знать эластичность товара ε_j, то, используя еще некоторые величины, можно подсчитать выручку от реализации товара a_ij. Проделав это для всех А_i и для всех ε_j, получим платежную таблицу: 

     В таблице представлен подробный  перечень различных ситуаций. Для  принятия решения можно использовать следующие способы.

     Подход  с позиции крайнего пессимизма

     Он  заключается в том, чтобы считать, что при выборе любой стратегии  A_i эластичность товара будет самая неблагоприятная и выручка α_i будет минимально возможной, т.е.

     α_i = min (α_i1, α_i2,…, α_im).

     Вычислив  все величины α_i (α_i1, α_i2,…, α_im), нужно взять наибольшую из них α: 

     α = max(α_i).

     Та  стратегия, которая соответствует  числу α, и есть стратегия крайнего пессимизма. Иначе говоря, такая  стратегия есть наилучший выбор  из плохих ситуаций, и эта стратегия  гарантирует, что, как бы не сложилась  действительная ситуация, выручка будет  не меньше, чем α. 

     Подход  с позиции крайнего оптимизма

     Он  заключается в том, чтобы считать  при выборе любой стратегии A_i эластичность будет наиболее благоприятной и выручка β_i наибольшая, т.е.

     β_i= max(β_i1, β_i2,…, β_im).

     Вычислив  все β_i, нужно взять наибольшую из них:

     β=max(β_i).

     Та  стратегия, которая соответствует  величине β, и есть искомая. 

     Подход  с позиции пессимизма- оптимизма

     Рассмотрим  величину Н:

     Н = max[(1-λ) α_i+λ β_i],

     где λ – числовой параметр, 0≤ λ  ≤1.

     Предполагается  выбирать стратегию, соответствующую  величину Н.

     При λ = 0: Н = max α_i = α, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего пессимизма.

     При λ=1: Н = max β_i = β, и этот подход превращается в подход с позиции крайнего оптимизма.

     Вообще, величина Н при изменении λ  от 0 до 1 непрерывно изменяется от α  до β, и выбор некоторого промежуточного λ соответствует сочетанию пессимизма и оптимизма при выборе стратегии. Возьмем, например, λ=0,5 и вычислим

     γ_i= ,

     а затем выберем наибольшее из них

     γ=max(γ_i).

     Стратегию, на которой достигается величина γ, будем называть соответствующей  подходу с позиции пессимизма-оптимизма. 

     1.2. Выберите стратегии позиций крайнего пессимизма, крайнего оптимизма и оптимизма-пессимизма для следующей платежной таблицы. Укажите соответствующие выигрыши.

     Решение:

     Для числа δ=542 таблица приобретает вид:    

     Выберем по каждой строке таблицы минимальное  из чисел α_i, максимальное β_i, а затем вычислим их полусумму γ_i.