Простые проценты и Сложные проценты

Содержание.

           Введение………………………………………………..     4.

1. Простые проценты…………………………………….     4.
2. Сложные проценты……………………………………    13.
3. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения……………………………………...    20.
4. Потоки платежей………………………………………    24.
5. Практические приложения теории………………….…   32.
6. Задание для выполнения контрольной работ…………   39.
7. Список литературы …………………………………..…. 41.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Любая финансовая операция предполагает совокупность условий, согласованных  с участниками этой операции. Но влияние многих факторов делает результат этой операции не очевидным для оценки, предвидения результата сделки применяют количественный анализ, совокупность методов которого и называют финансовой математикой.

Количественный финансовый анализ решает следующие задачи:

1. измерение конечного результата для каждого участника операции;
2. оценка и сравнение эффективности финансовой операции;
3. оценка зависимости конечного результата от основных параметров сделки;
4. расчет параметров сделки при изменении условий контракта;
5. на основе анализа разработка плана выполнения финансовой операции.

 

1. Простые проценты.

1.1. Фактор времени  в финансовых расчетах.

 

В практических расчетах денежные суммы  всегда приведены к определенному  моменту времени: это сроки, даты, периоды денежных поступлений и выплат.

Фактор времени учитывается  принципом не равноценности денег. Одна и та же сумма денег сегодня  более ценна чем завтра. Это  определяется тем, что любая сумма  сегодня может быть инвестирована и принести доход завтра при прочих равных условиях (риск, инфляция и т.п.). Поэтому в финансовых расчетах не допустимо суммировать денежные величины, относящиеся к разным моментам времени, такой подход возможен там, где фактор времени не имеет значения, например, в бухучете.

 

1.2. Простые проценты  и процентные ставки.

 

Под процентами понимают абсолютную величину дохода, от предоставления денег в долг в любой форме  (ссуда, кредит, накопительный счет, учет векселя и т.п.).

Процентная ставка –  отношение дохода за определенный период к величине ссуды.

         Интервал  времени за который начисляется  процентная ставка называется  период начисления.

Начисления процентов проводят дискретно, то есть в определенный период: месяц, квартал, полугодие, год или непрерывно. Процент может присоединяться к сумме это называют наращением первоначальной суммы.

Процентные ставки могут применяться  к одной и той же сумме – простые проценты или к сумме с начисленными за предыдущий период процентами – сложные проценты.

Процентная ставка может быть фиксированная или плавающая. Последняя обычно применяется при внешнеэкономических операциях. Плавающая ставка состоит из двух составляющих – переменной – лондонская межбанковская ставка и постоянной (маржи) – обычно 0,5-5%.

Процентная ставка применяется не только для наращения суммы, но и для оценки эффективности доходности финансовой операции.

 

1.3. Наращение по простым процентам.

Р – первоначальная сумма; i – ставка простых процентов в долях единицы;

n -  число периодов начисления процентов. Операцию наращения можно представить в следующей форме: вкладывается некоторая сумма Р, после окончания первого периода на нее начисляется процент Рi и величина вклада становится равной Р+Р · i, после завершения второго периода опять происходит начисление процента Рi и т.д.

Р         Р+Р · i = Р(1+ i)       Р(1+i)+Рi =Р(1+2 i)=>  Р(1+ni)

I                      II                               n^ый

Период          Период                     Период

Рi  - начисленный процент за один период;

Рni – проценты за n периодов.

Тогда процентная сумма S равна S = P+ Рni = P(1 + n · i). Выражение (1 + n · i) называют множителем наращения.

Начисление простых процентов  используется при:

1. краткосрочных контрактах, срок которых не превышает одного года (n≤1);
2. при периодической выплате процентов.

Устанавливается обычно годовая ставка, которая может быть применена и на меньшие сроки. В этом случае число периодов начисления определяется отношением:

 t - срок операции в сутках, к- число суток в году       (временная база).

Если к=12 мес. 30дн.=360дн. – обыкновенный процент; если к=365 или 366дн. – точный процент.

Подсчет срока операции тоже может быть приближенным: число месяцев 30 дней + число дней и точным. В любом случае день выдачи и день погашения ссуды – это один день.

Используя различную временную  базу и разные методы подсчета срока  ссуды, получают три основных варианта расчета:

- британская практика: точные проценты  и точный подсчет срока ссуды;

- французская практика: обыкновенные проценты с точным подсчетом срока ссуды;

- германская практика: обыкновенные  проценты с приближенным подсчетом срока ссуды.

Пример 1. Определить сумму накопленного долга, если сумма суды равна 1000 руб., срок ссуды 8 месяцев при ставке простых процентов, равной 10% годовых. В расчетах использовать германскую практику.

Решение.

Сумму долга определим  по формуле:

S = P(1 + n · i).

Срок ссуды выразим в годах, т.к. задана годовая ставка процентов i = 0,10:

,

где t срок ссуды в днях. Наращенная сумма будет равна:

S = P(1 + n · i) =1000(1 + 0,66·0,1) = 1066 руб.

¤

 

 

1.4. Простые переменные  ставки.

В кредитных отношениях применяется  изменяющаяся во времени процентная ставка. Тогда наращенная сумма:

- процентная ставка за время t;

- число периодов начисления  процентов за время t.

 

 

1.5. Реинвестирование по простым процентам.

Сумма депозита с начисленными на нее процентами может быть вновь  инвестирована, обычно под другой, меньший процент. Это называется реинвестированием, операция может повторяться в течении срока N.

В случае многократного инвестирования с использованием простого процента, наращенная сумма для всего срока N находят по формуле:

- продолжительность периодов  реинвестирования,

    - ставки реинвестирования.

1.6. Дисконтирование и  учет по простым ставкам

Задача обратная наращению процентов, когда по заданной сумме S в конце периода необходимо найти начальную, исходную сумму Р, называют дисконтированием суммы S, то есть по сумме «завтра» найти «сегодняшнюю».

Р называют текущей стоимостью или современной величиной суммы S.

Начисление и удержание процентов с конечной суммы долга вперед, в виде дисконта, называют учетом. Таким образом, в практике используют два принципа расчета процентов: 1) путем наращения процентов и 2) устанавливая скидку с конечной суммы долга.

 

Приведение - определение любой стоимостной величины на некоторый момент времени.

Когда некоторая сумма приводится к более ранней дате, чем текущая («сегодняшняя» к «вчерашней») - это дисконтирование; если речь идет о приведении некоторой суммы к более поздней дате («сегодняшней» к «завтрашней») - это наращение.

Математическое дисконтирование это задача обратная наращиванию первоначальной суммы

 

Прямая задача                             Обратная задача

наращение                                     дисконтирование

                 

Р              S

 

 

 

 

Пример 2: Срочный вклад на один год ( n=1)  под 10% годовых (i = 0,1).

 

Вложив сегодня100 руб., что буду иметь через год?              Решение.          наращение

Сколько надо вложить сегодня, чтобы  иметь через год S=110руб.? Решение. дисконтирование

                

Банковский или коммерческий учет – покупка векселя до наступления срока платежа по цене ниже той, которая должна быть выполнена по нему в конце срока, то есть учитывает его с дисконтом.

Для расчета процентов при учете  векселей применяют учетную ставку d. ¤

Простая годовая учетная ставка

,

S – сумма в конце периода;

Р – сумма в начале периода;

n – период времени от момента учета до даты погашения векселя в годах.

Следует иметь ввиду, что момент учета это дата предъявления векселя  к оплате, а дата погашения – это дата платежа, указанная в векселе. Номинал векселя, обязательства – его стоимость на момент погашения, текущая стоимость – стоимость на момент предъявления.

Размер дисконта или учета D = Snd. Откуда:

.

При дисконтировании по учетной ставке год обычно равно 360 дням.  Учетная ставка может быть использована и при наращении   .

1.6.1. Сравнения ставки наращения и учетной ставки.

 

Операция наращения и дисконтирования противоположны по своей сути, но ставки наращения и учетная могут использоваться для решения обеих  задач .

 

Ставка	Прямая задача	Обратная задача
наращения i	-операция наращения	- операция дисконтирования
учетная d	- операция дисконтирования.	- операция. наращения

 

         

1.6.2. Совмещение наращения и дисконтирования.

 Постановка задачи: деньги положены на срочный вклад под простые проценты на определенный срок и забираются до истечения указанного срока:

1. необходимо начислить проценты за срок хранения n₁;
2. учесть путем дисконтирования конечную сумму вклада.

Эта задача решается совместно:

,

P₁- первоначальная сумма вклада;

Р₂ – сумма получаемая при учете вклада;

n₁ -общий срок вклада в течении которого должны были бы начисляться проценты;

n₂ – срок от момента учета до погашения.

Пример 3. Платежное обязательство уплатить 1000 рублей через 8 месяцев с процентами, начисляемыми по ставке простых процентов i = 20% годовых, было учтено за 60 дней до срока погашения по учетной ставке d = 10%. Определить сумму, получаемую при учете.

Решение.

Определим конечную сумму, которая  должна быть выплачена через 8 месяцев - и снизим ее на величину дисконта. Сроки должны быть выражены в тех же временных единицах, что и процентные ставки, т.е. в годах. Сумма получаемая при учете равна:

¤

 

1.6.3. Определение продолжительности ссуды n.

Задача сводится к определению времени, когда начальная сумма Р возрастает до некоторой величины S:

- при использовании простой ставки наращивания, i:

,год;

- при использовании учетной ставки, d:

, год;

где t- срок в сутках, к- временная база, к =360 или 365.

 

 

1.6.4. Определение уровня процентной ставки.

Ставка наращения i:

; n- срок операции наращения.

Учетная ставка d:

; n- срок оставшийся до погашения.

 

Иногда размер дисконта задается постоянным на весь срок ссуды, в виде процента от суммы погасительного платежа S. В этом случае уровень процентной ставки задан неявно.

Пусть S – размер погасительного платежа, dm – доля (процент) этого платежа, определяющая величину дисконта на весь срок ссуды n, тогда уровень годовых ставок равен

 -наращения:

- учетной ставки:

.

     

Пример 4. Кредитор предоставил ссуду в размере 10 000 руб., сроком на 200 дней и контракт предусматривает сумму погашения долга в размере 15 000 руб.

Определить доходность операции в  виде годовой ставки простых процентов  i и учетной ставки d. Временную базу принять равной 360 дней.

Решение: Начальная сумма Р= 10 000 руб.,

                 Наращенная сумма S= 15 0000 руб.,

Срок операции t = 200 дней временная база К= 360 дней.

Ставка простых процентов:

Учетная ставка: ¤

Пример 5. Из суммы кредита выданного на 100 дней удерживается дисконт в размере 10% от суммы кредита. Определить цену кредита в виде годовой ставки простых процентов и годовой учетной ставки.

Временная база К= 360 дней.

 

Решение: Задана доля платежа, которая  определяет величину дисконта

Годовая ставка простых процентов

n- число периодов в годах,

тогда

годовая учетная ставка

¤

 

2.Сложные проценты

Сложные проценты не выплачиваются после их начисления, а присоединяются к сумме долга. Это часто называют капитализацией процентов.

 

2.1. Формула наращения по сложным процентам.

Пусть P – первоначальная сумма, тогда

Р(1+i)- сумма через год, вместе с присоединенными процентами,

Р(1+i)(1+i) = Р(1+i)² – сумма через 2 года,

P(1+i)(1+i)(1+i) = Р(1+i)³– сумма через 3 года и т.п.

Тогда сумма, полученная через n лет составит , где

i – годовая ставка сложных процентов;

n – срок ссуды.

В практике применяют дискретные проценты, то есть начисленные за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал). При сроке n<1 – простые проценты дают больший результат, чем сложные, а при n>1 – наоборот.

  Наращение при переменной ставке сложных процентов:

i_k – ставка за к - ый период

n_k – величина к- ого периода

Пример 6. Определить множитель наращения если переменная ставка сложных процентов составляет 15% плюс маржа 10% первые два года, 5% в третий год и 3% в четвертый год.

Решение:

Множитель наращения составит:

¤

 

2.2. Удвоение суммы.

Задача: через сколько лет сумма  ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставке.

1. Простые проценты

    

2. Сложные проценты

       .

Наиболее часто требуется определить срок удвоения суммы (N =2):

- для простых процентов  ;

- для сложных процентов

.

Пример 7. Сколько лет необходимо для удвоения долга при ставке сложных процентов равной ic=0,05

В расчетах использовать приближенную формулу

Решение: ¤

2.3. Начисление процентов при дробном числе лет

  I способ по формуле сложных процентов:

.

II способ – смешанное начисление – за число полных лет отдельно и за дробную часть отдельно:

 n = a+b,

а - целое число лет – начисляют  сложный процент;

b – дробная часть– начисляют простой процент.

III способ - начисляют только за целую часть года.

 

2.4. Номинальная и эффективная ставки процентов.

Годовая ставка сложных процентов  называется номинальной j, если процент начисляется m раз в год. Тогда наращение по номинальной ставке составит:

,

где N – число периодов начисления.

Если число периодов начисления дробное то наращенная сумма определяется 2 способами.

 I способ по формуле сложных процентов:

,

-дробное число периодов начисления  ;

N- число дней, n- число дней периода начисления.

II cпособ по смешанной формуле:

,

а – целое число периодов начисления, то есть целая часть от деления  ; b – дробная часть.

Пример 8. Определить наращенную сумму, если размер ссуды 10 млн. руб., срок ссуды 15 месяцев. Начисление сложных процентов ежеквартальное по номинальной ставке j=20% годовых.

Решение:

m – число периодов начисления процентов в течении года, m=4;

N – срок ссуды, N=16 месяцев;

τ -  период начисления процентов;

τ = 3 месяца.

¤

Эффективная ставка показывает - какая годовая ставка сложных процентов iс дает тот же результат, что и m – разовое наращение в год по ставке j/m, т.е.

 

,

где iс = iэ – эффективная ставка;

j – номинальная ставка;

m – число начислений процентов в год;

n – число лет.

Тогда iэ = (1+j/m)^m-1.

Обратная зависимость :

- номинальная ставка, обеспечивающая эффективную ставку iэ.

 

2.5. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов.

 

Математический учет это задача, обратная наращиванию то есть определить какую сумму Р надо вложить «вчера», чтобы получить сумму S-сегодня:

   - при начислении процентов1 раз в год.

- при начислении процентов m раз в год в течении n лет.

   - дисконтный множитель.

 

Банковский учет.

В этом случае используется сложная  учетная ставка

, где d_сл – сложная годовая учетная ставка.

Дисконт равен Д= S - P=

 

2.6. Номинальная и эффективная учетные ставки.

При дисконтировании m раз в течении года, на протяжении n лет используют номинальную учетную ставку f:

.

Эффективная учетная ставка – годовая учетная ставка, эффективная по результату номинальной при заданном числе дисконтирования в год.

 Операцию наращения можно определить через сложную учетную ставку. Для учета это обратная задача:

 - при годовом дисконтировании

 или - при дисконтировании m раз в течении n лет.

 

Пример 9. Определить номинал векселя по сложной годовой учетной ставке dс =10%, если реально выданная сумма 81000 руб., а срок погашения 2 года.

Решение: Исходной является формула банковского учета по сложной ставке:

Так как погашение векселя произойдет через 2 года, необходимо определить «будущую»  или наращенную сумму 

¤

 

2.7. Непрерывные проценты

Наращенная сумма при дискретных процентах определяют по формуле:

,

 где m – число периодов в году.

Рассмотрим, как ведет себя наращенная сумма S при бесконечно большом числе периодов начисления, т.е. при m→∞

.

Используя II замечательный предел получим:

- величина наращенной суммы при непрерывном начислении процентов.

В этом случае ставку непрерывных  процентов называют силой роста и обозначают δ, то есть:

.

 

Связь дискретных и непрерывных процентов.

Формула эквивалентного перехода от дискретных к непрерывным и наоборот находят из соотношения:

.

2.8. Расчет срока ссуды и процентных ставок.

Определение сроков ссуды:

1. При наращении по сложной годовой ставке:

.

       

2. При наращении по номинальной ставке m раз в году:

.

3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d:

.

4. При дисконтировании по номинальной ставке m раз в год:

.

5. При наращении по постоянной силе роста:

.

Определение величины процентных ставок.

1. При наращении по сложной годовой ставке i:

.

2. Наращение по номинальной ставке m раз в год:

.

3. При дисконтировании по сложной годовой учетной ставке:

.

4. При дисконтировании по номинальной учетной ставке m раз в год:

.

5. При наращении по постоянной силе роста:

.

 

3. Начисление процентов в условиях инфляции и налогообложения.

Инфляция – наращение денежной массы. Следствием инфляции является падение покупательной способности денег, которое за период n характеризуется индексом покупательной способности

где Ip – индекс цен .

Индекс цен показывает, во сколько  раз выросли цены за указанный  период.

 

3.1. Наращение по простым  процентам

Реальная покупная способность  С суммы денег S, наращенной за период n  с учетом индекса цен (Ip) равна:

 ,

 но С=Р тогда, когда 1+ni = Ip, то есть, ставка простых процентов комментирующая инфляцию равна:

.

Один из способов комментировать обесценивание  денег заключается в увеличении ставки процентов на величину инфляционной премии. Скорректированная ставка называется брутто-ставкой – r и находится из равенства скорректированного на инфляцию множителя наращения по брутто – ставке - множителю наращения по реальной ставке:

.

Индекс цен выражается через годовой темп инфляции h :  ,

или при  неизменном темпе прироста цен h:

Ip = (1+h)ⁿ .

В общем виде годовой темп инфляции это h = I_p1- 1, где I_p1 – годовой индекс цен.

 

3. 2. Наращение по сложным  процентам

С учетом падения покупательной  способности наращенная сумма равна:

.

При этом, если годовая ставка сложных процентов равна темпу инфляции i_c = h, то покупательная способность наращенной суммы равна первоначальной сумме вклада C = P, то есть наращения нет.

 Компенсация потерь возможна двумя способами:

а) Корректировка ставки процентов на величину инфляционной премии r:

,

где h- темп инфляции, i_с – реальная  ставка сложных процентов.

Тогда (1+ r) = (1+i_c)∙(1+h), откуда r = i_c + (h + i_с∙h) ,

где прирост, увеличение ставки сложных процентов i_c на величину h + i_с∙h – называют инфляционной премией.

 б)  Индексация первоначальной  суммы.

В этом случае первоначальную сумму  вклада Р умножают на величину заранее оговариваемого индекса цен Ip:

 ,

 где P∙ Ip – индексация первоначальной суммы;

(1+i_с)ⁿ – множитель наращения по ставке сложных процентов.

 

3.3. Измерение реальной ставки  процента.

Иногда необходимо оценить реальную ставку процентов по величине объявленной  брутто-ставке r.

При начислении простых процентов с одной стороны , с другой S=P(1+in) , тогда:

.

При начислении сложных процентов:

.

 

Пример 10. Определить реальную ставку простых годовых процентов, если средства размещены в виде депозита сроком на 6 месяцев под ставку 40% простых годовых процентов а темп инфляции составил 21% годовых.