Расчет монохроматора

1. РАСЧЕТ МОНОХРОМАТОРА 

     1.1. Габаритный расчет

     1.1.1. Исходные данные

     Вариант № 1.

     Рассчитаем  монохроматор для следующих условий:

спектральная  область, = (300 - 800) нм,

обратная линейная дисперсия, = 8 нм/мм,

фокусные расстояния сферических зеркал = 300 мм 

     1.1.2. Выбор оптической схемы.

     Для обеспечения работы в широком  диапазоне длин волн при относительно небольших габаритах прибора выгодно использовать оптическую схему монохроматора, построенную по схеме Эберта-Фасти. В качестве диспергирующего элемента применяем дифракционную решётку. 

     Рис. 1.1. 

  и - входная и выходная щели,

  и - объективы,

 и    - поворотные зеркала,

- диспергирующий элемент,

  - фильтр. 
 
 

     1.1.3. Общие соотношения для дифракционной решетки 

       Распределение интенсивности света  дифрагированного решеткой

определяется  выражением [I]

        (1.1) 

Где  - интенсивность падающего света,

      - число штрихов решетки,

      - множитель,  определяющий  дифракцию от каждого элемента решётки. 

При этом  

            (1.2) 

      - ширина рабочей грани штриха,

      - рабочая длина волны,

      - угол падения,

      - угол дифракции,

       - множитель, определяющий положение главных дифракционных максимумов. 

             (1.3) 

 - постоянная решетки.

     Интенсивность = 0, если второй или третий член в формуле (1.1) равен нулю. Для второго члена (1.2) минимум будет иметь место при условии

      ,  где  = 1, 2…

т.е. когда  ,

Так как " " очень мало, минимумы, определяемые этим множителем,

редкие. За счёт третьего множителя (1.3) образуются частые минимумы

вследствие большого количества штрихов N.

     Условие минимумов определяется соотношением 

При этом - принимает значение целых чисел, кроме значений кратных N , т.е. кроме значений = 0, N , 2 N ... mN.

В этих случаях  , третий множитель принимает значение, равное и вместо минимумов появляются главные максимумы, интенсивность которых определяется соотношением: 

                                    (1.4) 

     Формула решетки для условия главных  дифракционных максимумов определяется выражением: 

                                   (1.5) 

где     m  = 1,  2, 3....

Каждому значению m соответствует спектр   m-го порядка.

1.1.4. Основные характеристики решетки 

     Из  формулы (1.5) после дифференцирования по непосредственно следует выражение для угловой дисперсии 

         (1.6) 

     Из (1.6) видно, что для данной длины волны угловая дисперсия в основном определяется углом дифракции (при условии, что угол падения остается постоянным).

     Свободный спектральный интервал между налагающимися  длинами волн соседних порядков определяется при выбранных  и соотношением 

            (1.7) 

     Разрешающая способность решетки при заданных углах падения и дифракции, может быть повышена только за счет увеличения размеров решетки. Это следует из соотношения [I] 

       (1.8)     

где - полное сечение дифрагированного пучка. 

1.1.5. Выбор параметров основных элементов монохроматора 

     Так как заданная дисперсия прибора  относительно невысока выбираем стандартную решетку-реплику с 600 штр/мм, работающую в первом левом порядке [I]. Размеры решетки 50х60 (заштрихованной части), толщина 15 мм, диаметр заготовки 90 мм. Решетку устанавливаем в параллельном пучке, в этом случае она практически не вносит искажения изображения.

  В качестве объективов выбираем два сферических зеркала с фокусными расстояниями в соответствии с заданием  = 300 мм, диаметром = 60 мм. Фокусное расстояние в значительной мере определяет значение светосилы и линейной дисперсии.

     Выбираем  угол между падающим и отраженным от зеркального объектива центральными лучами, идущими от центра входной щели к центру решетки = 15°.

           Угол между центральными падающим и дифрагированным от решетки лучами принимаем =35°.

Апертура монохроматора  определяется 

Где - диаметр сферического зеркала 

Угол падения  и угол дифракции (рис. 1.2.) связаны соотношением (1.5)  

                        (1.9)

Рис.  1.2. 

     В монохроматоре при изменении  длины волны углы  и изменяются одновременно, но их разность   остается постоянной.

       После преобразования   формула  (1.9)   приводится к виду  

                (1.10) 

     Для определения правильного положения  дифракционной решетки произведем расчет для середины рабочего диапазона,  а затем для крайних длин волн,  что позволит определить угол поворота решетки.

     Примем: нм; = 300 нм; =800 нм.

     Учитывая, что мм; ; = 15°; - определим углы и для длины волны  нм 

Имеем систему  уравнений

Из ее решения  получим

      ;

Меридиональное  увеличение будет  

и    

     Угол  между нормалью к поверхности  дифракционной решетки и оптической осью определяет угол поворота решетки для различных длин волн. Угол поворота решетки от начального положения определится, из соотношения       

Для = 300 hm 

Для = 800 hm 

     Для последовательного выведения всего  спектра на щель необходимо повернуть решетку на угол

Считаем, что  входная щель помещена в меридиональном астигматическом фокусе зеркального объектива , а выходная в фокальной плоскости коллиматорного объектива .

Тогда, расстояние входной щели от зеркального объектива  определится из соотношения                                                                 

      = 300• 0,9914 = 297,42 мм  

А расстояние от выходной щели до объектива  будет 

      = 300 • 0,984 = 295,2 мм  

1.1.6. Расчет характеристик монохроматора 

 Линейная  дисперсия  

Обратная линейная дисперсия   

Ширина спектра 

       (800 - 300) нм = 102 мм 

Разрешающая способность  определяется параметрами дифракционной решетки, расстоянием ее до сферических зеркал и шириной входной щели. Параметры решетки известны. Ширина входной щели определяется соотношением    

где - требуемое разрешение.

     Рассчитаем  ширину щели, задаваясь  в пределах от 1 до 8 нм (таблица 1.1.)   

Таблица 1.1.

     Для ориентировочного определения ширины щели и разрешающей способности проведем приближенный расчет аберрационного пятна, ширина которого "b", зависит от ширины решетки (60 мм) и фокусного расстояния сферического зеркала 

Ширина щели должна быть больше аберрационного пятна, т.е. в соответствии с данными таблицы 1.1. можно получить разрешение порядка 1 - 2 нм.                                                                     

     Уточним значение кружка рассеяния, обусловленного сферическими аберрациями.

     Обозначим через  и координаты лучей в плоскости перпендикулярной дифрагированному пучку и проходящей через центр решетки

     f’ - фокусное расстояние зеркала,

     L - расстояние точки изображения входной щели от горизонтальной

     плоскости симметрии,

    и - углы между падающими и отраженными от зеркал главными лучами, идущими от центра входной щели к центру выходной щели  .

Составляющие аберраций 3-го порядка в направлении дисперсии определяются выражением

             (1.11) 

Где      - меридиональное увеличение решетки,

      и - координаты лучей в плоскости, перпендикулярной дифрагированному пучку и проходящей через центр решетки.

Для сферических  зеркал коэффициенты аберраций 3-го порядка равны

      ;  ;  ;  ;

где      x -расстояние от решетки до зеркал. 

     Из  аберраций 3-го порядка в монохроматоре  со сферическими зеркалами наибольшую роль играет сферическая аберрация,  определяемая коэффициентом   . Формула для аберрации децентрировки для случая, когда входная щель помещена в меридиональном астигматическом фокусе коллиматорного объектива имеет вид  [2]. 

        (1.12) 

     Расчет     и   по формулам (1.11) и (1.12) позволяет уточнить полученные ранее значения разрешения и ширины щели. 

     1.1.7. Устранение наложения спектров

 Из соотношения 

следует, что  в области спектра от 400 до 600 нм происходит наложение спектра 2-го порядка от = 400нм/2 = 200 нм до =600нм/ 2= 300 нм.

     Для устранения наложения порядков в  этой области введем светофильтр  БС 10, который не пропускает эту часть спектра.

     Для области 600 - 800 нм наложение спектров второго порядка будет от = 600/2 = 300 нм до = 800/2 = 400 нм.

     Для устранения порядков в этой области  используем светофильтр КС 10. 

1.1.8. Расчет осветительной системы 

     При выборе осветителя основное внимание следует уделить подбору источника света и способа освещения щели.

     В заданном рабочем диапазоне (300 - 800 нм) можно использовать галогенную лампу КИМ-10-90, обладающую более высокой стабильностью в ультрафиолетовой области спектра по сравнению с ртутными лампами. Окончательный выбор источника света будет проведен на основе энергетического расчета.      

           Для освещения щели используем конденсор с минимальными хроматическими аберрациями.

     Проведем  габаритный расчет конденсора.

                                          Рис.1.3.        

Из конструктивных соображений принимаем расстояние от нити накала лампы до щели монохроматора равным 120 мм.    

     Конденсор обеcпечивает эффективное действие при увеличении . Принимаем .

     Фокусное  расстояние конденсора определяется из решения системы уравнений

 и учитывая,  что   - S + = 120 мм,  получим

= 120 мм.  Откуда S = 33,85 мм и =86,15 мм.

     Фокусное  расстояние конденсора 

     Для равномерного освещения щели и согласования апертур монохроматора и осветителя выбираем угол охвата конденсора в диапазоне  =

Пусть = 40°,  тогда световой диаметр будет равен

Относительное отверстие конденсора 

При полученном относительном отверстии, угле охвата, увеличении и фокусном расстоянии хорошее качество изображения дает конденсор, состоящий из двух плосковыпуклых линз.

По каталогу подбираем двухлинзовый конденсор  из стекла КУ, с фокусным расстоянием  близким к требуемому. Для конденсора с       = 25,18 м на рис. 1.4 показаны уточнённые значения геометрических размеров

     Рис. 1.4.

     1.2. Энергетический расчет

     1.2.1. Оптическая схема и исходные данные для расчета

     Рис. 1.5. 

     1 - источник света, КИМ-10-90,

     2 - конденсор двухлинзовый, стекло  КУ, толщина по оси каждой линзы 5,5 мм,

     3 - входная щель, в соответствии с габаритным расчетом монохроматора размеры щели 0,3х14м,

     4 - отражающие сферические зеркала,  выбираем покрытие марки 1И21Е,

     5  - отражающие плоские зеркала,  выбираем покрытие марки 1И21Е,

     6  - дифракционная решетка,  параметры  ее приведены в разделе 3.1.4.

     7  - светофильтр отрезающий,  принимаем  коэффициент пропускания  = 0.89

     8  - выходная щель, размеры щели 0,3х14 мм. 

     1.2.2. Расчет светового потока на выходе оптической системы 

Для лампы КИМ-10-90 полный световой поток     равен 1980 лм. В приборе используется часть светового потока    ,  заключенного внутри телесного угла опирающегося на световой диаметр конденсора

          (1.13)

где        - радиус конденсора, = 12 мм,

       - расстояние от источника до конденсора  

       R = 27,6 мм

Учитывая потери в оптической системе  , световой поток на выходе оптической системы определится из соотношения

             (1.14)

Потери в данной оптической системе определяются:

а) Потерями на отражение  от поверхностей деталей на границе  воздух-стекло

        (1.15)

где   - число деталей с коэффициентами отражения ,

     Коэффициент отражения для полированных оптических деталей, не имеющих просветляющих поверхностей, определяется для случая нормального падения из соотношения:

             (1.16)

В общем случае нужно использовать полную формулу Френеля

         (1.17)

где     - показатель преломления стекла,

      - углы падения и преломления,

       определяется из закона  преломления 

     Линзы конденсора изготовлены из стекла КУ с   = 1.4584, поэтому

б) Потерями на поглощение в стекле

         (1.18)

где      - длина хода луча в средах с коэффициентами поглощения

Коэффициент поглощения оптических деталей из стекла КУ равен  =0,002, длина хода =1,1 см

   0,99

в) потерями на отражение от зеркальных поверхностей с зеркальным покрытием 1И21Е с коэффициентом отражения 0,86

г) Ослаблением светового потока на входной щели

            (1.19)

   - площадь щели,    = 0,3х14 мм;

   - диаметр светового пучка на входной щели принимаем          = 15мм

 д) Особый случай представляет учет потерь на отражение, обусловленных дифракционной решеткой.

     Коэффициент отражения дифракционной решетки  рассчитывается с использованием формулы  распределения энергии между  главными максимумами монохроматического излучения в зависимости от длины волны

           (1.20)

где      - порядок спектра,

      - длина волны с максимальной концентрацией энергии в порядке . Из зависимости ,  приведенной в  [3]  можно определить спектральный коэффициент отражения для любой длины волны если известен спектральный коэффициент отражения решетки в максимуме концентрации энергии,  который обычно указывается в паспорте на решетку.

     В данном случае     = 435.8 нм, = 0.6 

     Результаты  расчета для выбранных длин волн сводим в таблицу 1.2. 
 

Таблица 1.2.

            [нм]                                                

Принимаем значение = 0,282, как наиболее худший вариант. Используя полученные данные, определим суммарные потери в системе

      0.87 0.99 0.55 0.06 0.282 0.89 = 0.0027

Тогда световой поток на выходе монохроматора 

      =79 лм • 0.0027 = 0.2133 лм

     Это значение вполне достаточно для регистрации потока фотоприемником, например, фотоэлектронным умножителем типа ФЭУ-4, предназначенным для работы в заданной области спектра.