Расчет шарнирно-консольных балок
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Саратовский Государственный Технический Университет
имени Гагарина Ю.А.
Кафедра «Теория сооружений и строительные конструкции»
Контрольная работа
по дисциплине «Строительная механика»
1.Расчет шарнирно-консольных балок.
Расчет трехшарнирных арок.
Расчет статически определимых рам.
2.Правило Верещагина.
Определение перемещений в статически неопределимых системах
Саратов 2013
1.1.Расчет шарнирно
Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx в балках
Стержень, работающий на изгиб, называется балкой. В сечениях балок, загруженных вертикальными нагрузками, возникают, как правило, два внутренних силовых фактора - поперечная сила Qy и изгибающий момент Mx .
Поперечная сила в сечении численно равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную (вертикальную) ось.
Правило знаков для Qy: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде
эпюра изгибающих моментов
Изгибающий момент Mx в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение.
Правило знаков для Mx: условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.
Схематически это правило знаков можно представить в виде:
эпюра изгибающих моментов
Следует отметить, что при использовании правила знаков для Mx в указанном виде, эпюра Mx всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки.
Консольные балки
При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости (как и в рассмотренных ранее примерах) вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.
Пример 3. Построить эпюры Qy и Mx (рис.4).
эпюра изгибающих моментов
рис. 4
Порядок расчета.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечную силу Qy в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру Qy.
3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении.
изгибающий момент
По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.
Балки на двух опорах
В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.
Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:
Пример 4. Построить эпюры Qy, Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.5).
Порядок расчета.
1. Вычисляем реакции опор.
реакции опор
Проверка:
2. Намечаем характерные сечения.
В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.
3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
поперечные силы
Строим эпюру Qy.
4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
Строим эпюру Mx.
8. Правила контроля эпюр Qу и Mx
Дифференциальные зависимости между q, Qy, Mx определяют ряд закономерностей, которым подчиняются эпюры Qy и Mx.
Эпюра Qy является прямолинейной на всех участках; эпюра Mx - криволинейная (квадратная парабола) на участке под равномерно распределенной нагрузкой, причем, выпуклость кривой всегда обращена навстречу нагрузке q, и прямолинейная на всех остальных участках.
Под точкой приложения сосредоточенной силы (реакции) на эпюре Qy обязательно должен быть скачок на величину этой силы (реакции). Аналогично, под точкой приложения сосредоточенного момента на эпюре Mx обязателен скачок на величину момента.
Если на участке под распределенной нагрузкой эпюра Qy пересекает ось (Qy=0), то эпюра Mx в этом сечении имеет экстремум.
На участках с поперечной силой одного знака эпюра Mx имеет одинаковую монотонность. Так, при Qy>0 эпюра Mx возрастает слева направо; при Qy<0 - убывает.
Порядок линии на эпюре Qy всегда на единицу меньше, чем на эпюре Mx. Например, если эпюра Mx - квадратная парабола, то эпюра Qy на этом участке - наклонная прямая; если эпюра Mx - наклонная прямая, то эпюра Qy на этом участке - прямая, параллельная оси; если Mx=const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Qy=0.
1.2 Расчет трехшарнирных арок.
Рис. 1.1
Рис.5.1
Арка - система криволинейных стержней. К статически определимым системам относятся трехшарнирные арки, имеющие шарнирные опоры на краях и один промежуточный шарнир, чаще всего - центральный (рис.1.1).
Пролет арки - расстояние между ее опорами L. Опору арки принято также называть пятой арки, центральный шарнир - замком арки, а расстояние f от прямой, соединяющей опорные шарниры до замка арки, - стрелой арки или стрелой подъема арки.
Арки относятся к распорным системам, т.е. таким системам, в опорах которых, в отличие от безраспорных систем, при действии только вертикальной нагрузки возникает ненулевое горизонтальное усилие, называемое распором.
Инженер-строитель может столкнуться с необходимостью выбора между безраспорной системой (балкой) и распорной системой (аркой) для выполнения перекрытия некоторого пролета, например, мостового. При этом арку сопоставляют с соответствующей балкой, т.е. простой балкой на двух опорах, перекрывающей такой же пролет и находящейся под действием такой же вертикальной нагрузки, что и арка.
Ключ арки – место, в котором сечение, перпендикулярное к оси арки, является осью симметрии.
Ось арки – средняя линия, проходящая через центры тяжести сечений арки.
Равномерно распределенная нагрузка на единицу длины – нагрузка постоянной интенсивности, измеряемая на единицу длины оси арки.
Равномерно распределенная нагрузка на единицу проекции – нагрузка постоянной интенсивности, измеряемая на единицу проекции оси арки на какую-либо ось координат.
Продольная сила – направленная по касательной к оси арки проекция главного вектора системы сил, заменяющего в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки на ее оставшуюся часть. Положительное направление продольной силы совпадает с направлением нормали к сечению арки и соответствует растяжению.
Поперечная сила – направленная вдоль оси, перпендикулярной к оси арки составляющая главного вектора системы сил, заменяющего в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки, на ее оставшуюся часть. Положительное направление поперечной силы совпадает с направлением нормали к сечению, повернутой по часовой стрелке на прямой угол.
Изгибающий момент – взятый относительно оси поперечного сечения арки момент системы сил, заменяющий в данном поперечном сечении действие отброшенной части арки на ее оставшуюся часть. Положительный изгибающий момент растягивает нижние волокна в арке.
Частным случаем трехшарнирной арки является трехшарнирная арка с затяжкой (рис.1.2).
Рис. 1.2
Затяжка - горизонтальный стержень, предназначенный для полного или частичного восприятия горизонтального распора. Для того, чтобы система при наличии затяжки осталась статически определимой, одну опору арки делают катковой. В этом случае, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки горизонтальные реакции в опорах будут равными нулю, а затяжка будет воспринимать распор полностью.
При нагрузке определенного вида очертание арки можно задать таким, чтобы в ней не возникало изгибающих моментов. Такие арки называют арками рационального очертания.
При задании геометрии арки необходимо определить величины пролета L, стрелы f, и функцию y(x), описывающую очертание оси арки (рис.1.1). Для арки с затяжкой, кроме того, необходимо задать высоту над затяжкой f’ (рис.1.2).
Задав значения L и f, мы определяем положение трех точек - опор и замка арки. Если дополнительно потребовать, чтобы ось арки была очерчена по окружности или по параболе, то положение этих трех точек однозначно определит функцию y(x), поскольку через три точки можно провести только одну окружность и только одну параболу.
При круговом очертании арки:
, где ,и (1.1)
При параболическом очертании арки:
,
Угол в (1.1) и (1.2) - угол наклона касательной к оси арки в данной точке (рис.1.1). На левой половине арки , на правой - . Справедливость формул (1.1) и (1.2) читателю предлагается проверить самостоятельно.
При гиперболическом очертании арки:
отношение полуосей.
При очертании арки в виде эллипса:
отношение полуосей.
Статический расчет трехшарнирной арки
В принципиальном отношении расчет трехшарнирной арки не отличается от расчета других статически определимых систем: вначале определяются опорные реакции, затем строятся эпюры изгибающего момента, продольного и перерезывающего усилия, после чего выполняются проверки и, при необходимости, определяются перемещения. Единственная особенность, с которой приходится сталкиваться, - появление чисто вычислительных трудностей, связанных с криволинейностью очертания оси арки.
Как в любой статически определимой системе, реакции в опорах трехшарнирной арки находятся исключительно из статических уравнений (уравнений равновесия). Примем положительные направления реакций в опорах арки в соответствии с рис.1.3.
Из условия равенства нулю суммы проекций всех действующих на систему сил на вертикальную ось имеем:
(1.3)
где - сумма проекций всех действующих на арку внешних сил на вертикальную ось. В (1.3) внешняя сила считается положительной, если она направлена вниз.
Далее, составим уравнение моментов всех действующих на систему сил относительно произвольной точки. Здесь в качестве точки, относительно которой будут вычисляться моменты, выберем точку А. Поскольку линии действия трех опорных реакций из четырех проходят через эту точку, в уравнении останется только одна неизвестная реакция - VB:
,
где - суммарный момент действующих на систему внешних сил относительно точки А. В (5.4) он считается положительным, если направлен по часовой стрелке.
Рис.1.3
Уравнений (1.3) и (1.4) достаточно, чтобы найти вертикальные реакции в опорах арки. Составив аналогичные уравнения для балки, соответствующей арке (рис.1.3), легко убедиться, что при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки эти уравнения совпадут с (1.3) и (1.4), а значит вертикальные реакции VA и VB в опорах арки и соответствующей ей балки будут одинаковыми.
Из условия равенства суммы проекций всех действующих на систему сил на горизонтальную ось имеем:
,
где - сумма проекций действующих на арку внешних сил на горизонтальную ось. В (1.5) внешняя сила считается положительной, если она направлена вправо.
Четвертое уравнение - условие равенства нулю суммы моментов всех сил, действующих на систему с одной (любой - левой или правой) стороны от промежуточного шарнира относительно этого шарнира. Рассмотрим, например, равновесие левой половины арки:
,
где - суммарный момент действующих на левую часть арки внешних сил относительно точки С. В (1.6) в качестве его положительного направления принято направление против часовой стрелки.
При отсутствии горизонтальной составляющей внешней нагрузки горизонтальные реакции в опорах арки будут равны и направлены противоположно друг другу, что следует из уравнения (1.5):
,
Горизонтальное усилие H, возникающее в опорах, называется распором.
Из уравнений (1.3)-(1.6) можно найти четыре неизвестные опорные реакции HA, HB, VA и VB, после чего приступить к определению изгибающих моментов в сечениях арки.
Рассмотрим сечение, находящееся на произвольном расстоянии х от левой опоры арки (рис.1.3). Рассматривая равновесие части арки с одной стороны от данного сечения, найдем в нем изгибающий момент. Будем рассматривать часть арки слева от сечения. Тогда
,
где - изгибающий момент в рассматриваемом сечении, вызванный исключительно внешними силами, действующими слева от рассматриваемого сечения.
Как мы уже выяснили, при отсутствии горизонтальной составляющей нагрузки вертикальные опорные реакции VA и VB в арке и в соответствующей ей балке будут одинаковыми, а горизонтальные реакции в опорах арки равны и противоположно направлены. Изгибающий момент в балке определяется по формуле . Сопоставляя эту формулу с (1.8), с учетом (1.7) получим:
.
Таким образом, при условии отсутствия горизонтальной составляющей нагрузки, зная распор в арке и изгибающий момент в любом сечении балки, соответствующей рассматриваемой арке, момент в этом же сечении арки можно найти и по формуле (1.9).
Для определения продольного и перерезывающего усилий рассмотрим сечение в арке, отстоящее от левой опоры на произвольное расстояние х (рис.1.3).
Рис.1.4
Перерезывающее усилие в арке
действует перпендикулярно ее оси в данном
сечении, а продольное
- вдоль ее оси в данном сечении (рис.1.4). Обозначим
сумму проекций всех внешних сил и реакций
опор, действующих на рассматриваемую
часть сечения, на вертикальную и горизонтальную
оси
и
соответственно.
;
.
Рис.1.5
Рис.1.6
При определении опорных реакций и распора в арках с затяжкой, затяжку мысленно удаляют, заменяя ее действие на остальную часть конструкции усилиями H (рис.1.7).
Далее составляют обычные уравнения равновесия, которые в этом случае примут вид:
;
;
;
.
Если далее рассматривать распор в затяжке Н как одну из внешних нагрузок (рис.1.7), то построение эпюр внутренних усилий можно выполнить аналогично арке без затяжки по формулам (1.8), (1.10) и (1.11).
Рис.1.7
1.3. Расчет статически определимых рам
Статически определимая рама – конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, закрепленных так, что опорные реакции и внутренние усилия можно найти с помощью уравнений статики. Чаще всего стержни рамы соединены между собой жестким образом, так, что в процессе деформации угол между стержнями не меняется. Мы будем рассматривать только плоские рамы, стержни которых расположены под углом 90°. Вертикальные стержни рамы принято называть стойками, горизонтальные – ригелями. В стержнях плоских рам возникают три внутренних усилия: продольная и поперечная силы и изгибающий момент.
Внутренние усилия в рамах определяются методом сечений, и порядок их нахождения тот же, что и для балок. Из шести внутренних силовых факторов в сечениях плоской рамы в общем случае возникают три: продольная сила N; поперечная сила Q; изгибающий момент M. Напомним, что согласно методу сечений:
- продольная сила N равна сумме проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось стержня;
- поперечная сила Q равна сумме проекций всех сил, действующих с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня;
- изгибающий момент M равен сумме
моментов всех сил, действующих
с одной стороны от сечения,
относительно оси, проходящей через
центр тяжести
Правила знаков для продольной и поперечной сил те же, что и раньше: растягивающая продольная сила положительна, поперечная сила положительна, если она обходит сечение по ходу часовой стрелки. Правило знаков для изгибающего момента в рамах следующее: момент считается положительным, если он изгибает стержень рамы выпуклостью вовнутрь (для некоторых рам невозможно определить, где внешняя часть рамы, а где внутренняя. В этом случае знак изгибающего момента не определяется и эпюра изгибающих моментов строится со стороны растянутых волокон без знака).
На эпюрах N и Q положительные значения принято откладывать снаружи, на эпюре М – внутри – со стороны растянутых волокон.
От действия трех внутренних усилий в стержнях рамы возникают напряжения: нормальные и касательные. Нормальные напряжения определяются как сумма напряжений от продольной силы ( ) и от изгибающего момента по формуле . Касательные напряжения находят по формуле Журавского .
Перемещения точек оси рамы определяются, как правило, методом Максвелла – Мора по формуле . Заметим, что произвольная точка оси рамы в отличие от точки оси балки может перемещаться не только по вертикали, но и по горизонтали. Будем обозначать линейные перемещения точек оси рамы буквой , отмечая направление перемещения индексом сверху: и . Углы поворота сечений рамы, как и балок, обозначаем буквой .
В данном разделе ограничимся рассмотрением простейших статически определимых рам трех видов:
1) с жесткой заделкой;
2) на двух шарнирных опорах (неподвижной и подвижной);
3) на двух шарнирно неподвижных опорах с простым промежуточным шарниром.
Рамы с жесткой заделкой
Пример 1.
Рассмотрим жесткозащемленную плоскую раму (рис. а). В жесткой заделке рамы в общем случае нагружения возникают три опорные реакции: две силы ( и ) и опорный момент ( ). Для построения эпюр определение этих реакций не является безусловной необходимостью: расчет, как и в случае жесткозащемленной балки, можно вести от свободного конца, то есть всякий раз так выбирать отсеченную часть для рассматриваемого сечения, чтобы в нее не попадала опора с неизвестными опорными реакциями. Тем не менее, иногда целесообразно вычислить опорные реакции. Это позволяет проверить построение эпюр или облегчить их построение. Для вычисления реакций в жесткозащемленной раме используются три условия равновесия:
Построим эпюры Nz, Qy и Mx для рассматриваемой рамы, не вычисляя опорные реакции.
Методика построения эпюр аналогична ранее рассмотренной для балок, т.е. сначала необходимо наметить характерные сечения. В дополнение к ранее указанным, в рамах характерными являются также сечения, расположенные бесконечно близко к жесткому узлу на всех элементах, сходящихся в этом узле.
Построение эпюры Nz. Следуя установленным правилам, в рассматриваемой раме можно выделить 8 характерных сечений. Продольная сила в любом из них численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня. При этом следует учитывать, что положение продольной оси будет изменяться в зависимости от того, чему принадлежит рассматриваемое сечение - стойкам или ригелю.
Построение эпюры Qy. Поперечная сила в любом сечении численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на поперечную ось рамы. Положение поперечной оси также будет изменяться в зависимости от принадлежности данного сечения стойкам или ригелю. С учетом правила знаков, двигаясь от свободного конца к жесткой заделке, получим для Qy:
(проекция пары М на любую ось равна нулю);
(проекция пары М на любую ось равна нулю);
Необходимо обратить внимание на тот факт, что , т.е. что поперечная сила в верхних сечениях противоположных стоек от действия силы, приложенной к правой стойке (при заделке, расположенной слева, и наоборот) имеет противоположные знаки. Отчасти это можно объяснить противоположными направлениями оси y для сечений 4 и 7, но более строгое обоснование указанного равенства будет дано ниже.
Построение эпюры Mx. Изгибающий момент в любом сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех нагрузок, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно этого сечения (более строго: относительно оси x этого сечения). Обратим внимание на два важных замечания:
1) составляющая момента Mx от действия
сосредоточенного момента М
2) под плечом силы всегда
Таким образом, для сечений 1-8 получим:
кНм (сжатым является правое волокно в сечениях 1-3, поэтому ордината отложена вправо от оси стойки);
кНм (знаки "+" и "-" здесь имеют относительный характер; результирующий момент сжимает левые волокна в сечении 4 и нижние волокна в сечении 5, поэтому ордината "20" откладывается соответственно влево и вниз);
кНм (сжаты нижние волокна);
кНм (сжаты правые волокна);
кНм (сжаты левые волокна).
Между в плоских рамах сохраняются те же зависимости, что и в балках, а именно:
Из этого следует, что правила контроля эпюр Qy и Mx остаются теми же, что и для балок .
Эпюры Nz в плоских рамах строятся наиболее просто и при отсутствии нагрузок, распределенных вдоль стержней, представляют собой графически отрезки прямых, параллельные осям стержней ( или совпадают с ними при Nz =0)
Если проанализировать процесс построения эпюр (рис.б-г), то очевидно, что наиболее "сложно" вычислять ординаты в сечениях стержня, примыкающего к заделке ( на рис.б-г это сечения 7 и 8). Как уже отмечалось, с этой целью иногда вычисляют реакции и момент .
При принятом для всей рамы направлении осей x, y (рис. а) уравнения равновесия имеют вид:
Полученный для каждой из величин знак "+" говорит, что направления их были выбраны правильно.После вычисления опорных реакций значения величин в сечениях 7 и 8 (как, впрочем, и в любом другом) можно вычислять, двигаясь от жесткой заделки к свободному концу.
Например, для сечений 7 и 8:
кН (знак "-" указывает на сжатие в этих сечениях с силой );
кН (т.к. реакция стремится повернуть каждое из этих сечений против часовой стрелки.)При сравнении величины с ранее полученной величиной видно, что
, о чем уже говорилось выше.
кНм (сжаты левые волокна стойки);
кНм (сжаты правые волокна стойки).
Разумеется, результаты получаемые для любого сечения при движении от свободного конца к жесткой заделке и при движении в обратном направлении одинаковы.
2.1 Правило Верещагина
Недостатком метода Мора является необходимость получать значения внутренних силовых факторов, как функций от z, что становится достаточно трудоемким уже при двух – трех участках разбиения в балках и особенно – в рамах.
Оказывается, что от этого недостатка можно уйти, если непосредственное интегрирование в формулах Мора заменить так называемым перемножением эпюр. Такая замена возможна в тех случаях, когда хотя бы одна из перемножаемых эпюр является прямолинейной. Этому условию соответствуют все системы, состоящие из прямолинейных стержней. Действительно, в таких системах эпюра, построенная от обобщенной единичной силы, всегда будет прямолинейной.
Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина и заключается в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры (если есть криволинейная эпюра, то обязательно ее площадь) умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой.
Докажем справедливость этого правила. Рассмотрим две эпюры (рис.2.1). Пусть одна из них (Mn) является грузовой и имеет криволинейное очертание, а вторая соответствует единичной нагрузке и является линейной.
Из рис.21. следует, что
Подставим значения
в выражение
где
- дифференциал площади
эпюры Mn.
Интеграл
представляет собой статический момент
площади
относительно оси О – О1, при этом:
где zc – абсцисса центра тяжести площади
, тогда:
Учитывая, что
получим:
Выражение (2.1) определяет результат перемножения
двух эпюр, а не перемещения. Чтобы получить
перемещение, этот результат нужно разделить
на жесткость, соответствующую внутренним
силовым факторам, стоящим под знаком
интеграла.
Основные варианты перемножения эпюр
Очевидно, что разнообразие приложенных нагрузок и геометрических схем конструкций приводит к различным, с точки зрения геометрии, перемножаемым эпюрам. Для реализацииправила Верещагина нужно знать площади геометрических фигур и координаты их центров тяжести. На рис.2.2 представлены некоторые основные варианты, возникающие в практических расчетах.
