Расчет жесткого стержня

 

Федеральное агентство образования Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Тульский  государственный университет

Кафедра ССМиК 
 
 
 
 

Курсовая  работа по курсу “Информатика”

Расчет  жесткого стержня

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                 Выполнил:                                                                                

                                                                                 студент гр.320881 Жуликов С.Д. 

                                                                                 Проверил:                                                                                                                                                                                                               

                                                                                 Теличко В.Г.                                                                                                          
 
 

Тула 2009

Содержание:

1. Задание.

2. Схема нагруженного  стержня.

3. Исходные данные

4. Построение  системы линейных алгебраических  уравнений  для определения опорных реакций

5.Вывод формул  проверки, достоверности вычисления опорных реакций.

6.Вывод рабочих  формул определение внутренних  усилий стержня.

7.Численный метод  решения СЛАУ

8.Обоснование  применения численного метода

9.Блок – схема  алгоритма

10.Программа

11.Форма ввода  – вывода информации 

12.Анализ результатов

13.Литература 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  1. Задание.
 

Построить математическую модель расчета опорных  реакций жесткого стержня стремя опорными узлами и определение внутренних усилий, поперечной силы Q и изгибающего момента М, возникающих во внутренних сечениях стержня под действием нагрузки. Разработать алгоритм и составить программу вычисления опорных реакций и распределения вдоль оси стержня внутренних усилий

Вариант – 82-2з. Схема – 3.

Численный метод решения СЛАУ – метод  Зейделя.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2. Схема нагруженного стержня.  
 
 
 

P2-сосредоточенная сила, Н

q2, q3 – интенсивность распределенной нагрузки, H/м

C1, C2 – отрезок балки, м

L1, L2 – пролет балки, м

M2 – круговой  момент, H м 

3. Исходные данные. 

P2=50kH                      L1=6м                           L2=12м 

M2=10kHм                 С1=2м                          C2=4м 

q2=5kH                       q3=10kH

4. Построение системы  линейных алгебраических 

уравнений для определения  опорных реакций. 

     Преобразуем исходную систему: 

  • отбросим  опорные стержни и заменим  их опорными

 реакциями  (R1;R2;R3)

  • зададим систему координат.

        y 
 

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

     Для  вывода формул вычисления опорных  реакций запишем уравнение равновесия  стержня: сумма моментов относительно опорной точки стержня равна нулю.

:      

     

  

 

 
 

 

Представил  уравнения равновесия балки в  форме системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 

Матричная форма записи СЛАУ вычисление опорных  реакций балки 
 

A

R=B 

А –  матрица коэффициентов при неизвестных

R – матрица неизвестных

В –  матрица свободных членов 

                                                        

         

5.Вывод  формул проверки, достоверности вычисления  опорных реакций. 

Для проверки правильности вычисления опорных реакций использовал уравнения равновесия балки, сумма проекций всех сил действующих на балку равна нулю. 

Y= R1 – q2

(L1-c1) + R2 = 0 

X= R3 - P2  - q3

(L2-c2) =0

6.Вывод  рабочих формул  определение внутренних  усилий стержня. 

На рассматриваемом  стержне выделим четыре участка  длиной S (длина отрезка от начала до точки сечения стержня), для которых составим формулы для вычисления внутренних усилий: поперечной силы Q и изгибающего момента М. 

s - отрезок от начала до точки сечения балки 

 

I cечение 

 
 

                                                           
 

II cечение

 

                                                              q2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                          
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

III cечение  

 

q2 

                                         q3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       

IV cечение

     

                                      q2 
 
 

                                                                            q3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   

            В точках границ , , организуем вычисления поперечной силы Q слева( и QQ справа), изгибающего момента М слева ( и MМ справа) от рассматриваемых точек (интенсивность распределённых нагрузок заменим эквивалентными силами F2 = q2 (L1- c1), F3=q3*(L2-c2)). 
     

1 точка границ:

 
 

                                                             F2  
 

                           F3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

2 точка границ:  

 
 

                                                             F2 
 
 

                                                                                      F3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

3 точка границ:

 

                                                                        F2 
 
 
 

                                                                                                      F3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

7.Численный  метод решения  СЛАУ – метод  Зейделя. 

      Численный метод Зейделя относится к  приближенным методам решения систем линейных алгебраических уравнений.

      Алгоритм  поиска решения СЛАУ методом Зейделя  включает преобразование исходной СЛАУ   A*R = B   в эквивалентную систему   R = C*R + D, 

где Di  = Bi/Aii,   Cij = -Aij/Aii, при  j ¹ i,

                    0,  при  j = i.

      В методе Зейделя для определения  очередной итерации используется следующая  формула

          i-1   n

Ri(k+1) = S  Cij*Rj(k+1)  + S  Cij*Rj(k)  +  Di, i = 1,2,...,n,  k = 0,1,2,...

          j=1   j=i+1 

где  k - порядковый номер приближения  решения.

Отличительной особенностью определения итерации по методу Зейделя является то, что  при нахождении i-й компоненты k+1-го приближения используются как найденные  компоненты k+1-го приближения, так и k-го (предыдущего) приближения.

      Метод Зейделя предполагает задание начального приближения решения СЛАУ, например, Ri(0) = 0,  i = 1,2,...,n.

      Итерационный  процесс уточнения решения СЛАУ методом Зейделя можно прекратить, если выполняется условие, разность между k+1-ым приближением и k-ым приближением i-ой компоненты меньше заданной точности поиска решения,

      | Ri(k+1) – Ri(k) | < E.

      Ограничение по применению численного метода Зейделя.

В решаемой СЛАУ у матрицы коэффициентов  А все диагональные элементы Aii должна отличаться от нуля, т.е. Aii ¹ 0, i = 1,2,...,n..

В некоторых случаях метод Зейделя дает более быструю сходимость итерационного процесса. 

8. Обоснование применения  метода Зейделя. 

      Исходная  СЛАУ имеет на главной диагонали  элементы равные нулю,

A11 = 0,   A22 = 0,   A33 = 0,

следовательно, метод Зейделя применять нельзя.

      Использование численного метода Зейделя для решения  построенной СЛАУ возможно после  ее преобразования. Для этого необходимо применить к СЛАУ схему выбора главных элементов. В исходной СЛАУ переставим уравнения местами:

      первое  уравнение поставим на второе место; (А22= L1-c1),

      второе  уравнение поставим на третье место; (A33=-L2),

      третье  уравнение поставим на первое место, (A11=L1-c1).

В результате на главной диагонали матрицы  А отсутствуют члены равные нулю.

Для повышения  сходимости итерационного процесса поиска решения матрица А должна быть диагонально преобладающей:

S | Aij | < | Aii |,   i = 1,2,...,n.

                j ¹ i

Преобразованная СЛАУ имеет вид: 

              

 

 

Условия применения метода Зейделя выполняются, следовательно, метод Гаусса можно использовать для решения преобразованной СЛАУ.

       9.Блок  – схема алгоритма 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

       10.Программа.

CLS

N = 3

DIM A(N, N), R(N), B(N), Z(N)

PRINT   TAB(10); "Исходные данные"

INPUT "Интенсивность распределенной нагрузки q2  (кН/м) "; q2

INPUT "       q3  (кН/м) "; q3

INPUT "Сосредоточенная сила    P2  (кH)    "; P2

INPUT "Изгибающий момент    M2 (кНм) "; M2

INPUT "Отрезок балки     c1   (м)      "; c1

INPUT "Отрезок балки     c2   (м)      "; c2

INPUT "Пролет балки     L1   (м)     "; L1

INPUT "Пролет балки     L2   (м)     "; L2

INPUT "Точность вычисления опорных реакций  Е       "; E

A(1, 1) = L1-с1: A(1, 2) = 0:    A(1, 3) = 0

A(2, 1) = 0:   A(2, 2) = L1-с1: A(2, 3) = L2

A(3, 1) = L1-с1: A(3, 2) = 0:    A(3, 3) = -L2

B(1) = –q2*(L1-c1)*((L1-c1)/2) – q3*(L2-c2)*((L2-c2)/2) - P2*(L2-c2) + M2

B(2) = –q2*(L1-c1)*((L1-c1)/2) + q3*(L2-c2)*((L2-c2)/2) + P2*(L2-c2) - M2

B(3) = –q2*(L1-c1)*((L1-c1)/2) - q3*(L2-c2)*(((L2-c2)/2)+c2) - P2*c2 - M2 

'метод  Зейделя

Z(1) = 0: Z(2) = 0: Z(3) = 0

10 K = 0

FOR I = 1 TO N: R(I) = -B(I)

      FOR J = 1 TO N: R(I) = R(I) + A(I, J) * Z(J): NEXT J

      IF ABS(R(I) / A(I, I)) >= E THEN K = 1

      R(I) = Z(I) - R(I) / A(I, I):  Z(I) = R(I)

NEXT I

IF K = 1 THEN 10

PRINT "Опорные реакции балки"

FOR I = 1 TO N

PRINT USING "R(#) = #####.## kH"; I; R(I)

NEXT I

R1=R(1): R2=R(2): R3=R(3)

Y = R1 –  q2*(L1-c1) + R2

X = R3 - P2

IF ABS(Y) > .01 OR ABS(X) > .01 THEN

      PRINT "Ошибка вычисления опорных  реакций"

      PRINT "  Y = "; Y; "  X = "; X

      GOTO 100

END IF

PRINT  TAB(15) "Таблица ординат эпюр Q и M"

PRINT "S  Q  M  QQ  МM"

FOR S = 0 TO L1 + L2

  IF 0 <= S AND S < c1 THEN

    Q = 0

    M = 0

    GOTO 20

  END IF

  IF S = c1 THEN

    Q = R1

    M = 0

    QQ = R1+R2 - q2 * (S - c1)

    MM = -M2-R2*(L1-s)-R3*L2+P2*(L2-c2)+q3*(L2-c2)*((L2-c2)/2)+F2*((L1-s)/2)

    GOTO 30

  END IF

 IF c1 < S AND S < L1 THEN

    Q = R1 – q2 * (S-c1)

    M = -R1 * (S-c1) + q2 *(S - c1) * ((S - c1) / 2)

    GOTO 20

  END IF

 IF S = L1 THEN

    Q = R2 – q2 *(L1- c1) + R1

    M = q2*(L1-c1)*((S - c1) / 2) + R1*(s-c1)

    QQ = R2

    MM = -R3*L2 – M2 + P2*(L2-c2) + q3*(L2 – c2)*((L2 –  c2) /2)

    GOTO 30

  END IF

 IF L1 < S AND S < L1 + L2 - c2 THEN

    Q = -q3*(s-L1)

    M = -R1*(L1-c1) + q2*(L1-c1)*((L1 - c1)/2) + q3*(S – L1)*((S – L1)/2)

    GOTO 20

  END IF

 IF S = L1 + L2 - c2 THEN

    Q = -P2 - F3

    M = q3*(L2-c2)*((L2 – c2)/2) + q2*(L1 - c1)*((L1 - c1)/2)

    QQ =  - P2 + R3

    MM = -M2 - R3*c2

    GOTO 30

  END IF

  IF L1 + L2 - c2 < S AND S <= L1 + L2 THEN

    Q = -P2 - q3*(L2-c2)

    M = -R1*(L1-c1) + q2*(L1-c1)*((L1 - c1)/2) + M2 + P2*(s – L1 – L2 + c1) + q3*(L2 – c2)*(((L2 – c2)/2) + (s - L1 - L2 + c2))

  END IF

20 PRINT USING "##   #####.###   #####.###   #####.###   #####.###"; S; Q; M: GOTO 40

30 PRINT USING "##   #####.###   #####.###   #####.###   #####.###"; S; Q; M; QQ; MM

40 NEXT S

100 END  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

11.Форма  ввода – вывода  информации.

Программу составил студент гр. 320881 Жуликов С.Д.”                       

Расчет жесткого стержня

Исходные данные

Интенсивность распределения нагрузки          q2(кH/м)= 5

Интенсивность распределения нагрузки          q3(кH/м)= 10

Отрезок балки                                                   c1(м)= 2

Пролет балки                                                      L1(м)= 6

Отрезок балки                                                     c2(м)= 4

Пролет балки                                                     L2(м)= 12

Круговой момент                                       M2(кH*м)= 10

Сосредоточенная сила                                    P2(кH)= 50

                                        

Результаты

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

12.Анализ  результатов.

Эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М. 

                      Q(kH)                                         M(kHм)         

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Анализ результатов  показал, что наиболее напряженные сечения стержня находятся в точках с координатами S=14м (Q=-8 kH, M=-5,3kHм) и S=6м (Q=-1kH, M=-8,5 кНм). 

13.Литература.

1.Данилина Н.И. Численные методы. – М.: Выш. шк. 1976г.-368 с.