Расчёт параметров элементов САУ
Задача 1
Для элементарного звена системы управления, представленного заданной схемой линейной цепи:
1. Составить дифференциальное
2. Определить передаточную
3. Вычислить амплитуду и фазу выходной переменной от воздействия входного напряжения для частот , 2 , 3 , 4 , 5 при заданном значении , а также для случая =0 (начальная точка для всех динамических характеристик).
4. При входном напряжении вычислить значения выходной переменной в моменты времени 0; ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 , и продолжительность переходного процесса .
Примечание: При решении задачи считать, что цепь не нагружена, т.е. выходные (вторичные) зажимы цепи разомкнуты.
Параметры элементов цепи и входного напряжения имеют значения:
РЕШЕНИЕ
1. Для заданной схемы выходной переменной является напряжение на конденсаторе, т.е. . Для составления дифференциального уравнения относительно этой выходной переменной, запишем уравнение по второму закону Кирхгофа при обходе входного контура RC по часовой стрелке:
Т.к. цепь не нагружена (выходные зажимы цепи разомкнуты), то , что позволяет выразить в исходном уравнении через производную от напряжения на конденсаторе и получить линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно выходной переменной:
Полученное уравнение записываем в виде:
где, постоянная времени 4000 ∙ 100∙10 -6 = 0,4 с.
2. Для определения передаточной функции звена необходимо перевести дифференциальное уравнение звена в операторную форму записи, используя прямое преобразование Лапласа при нулевом начальном условии и при входном воздействии , получаем:
При нулевых начальных условиях передаточная функция по определению есть отношение изображения выходной переменной к изображению входного воздействия:
Таким образом, для уравнения получаем передаточную функцию:
Если в выражении передаточной функции сделать замену , то получаем комплексную частотную характеристику (КЧХ) звена:
Запишем комплексную частотную характеристику в показательной форме::
Для чего вычислим:
− модуль КХЧ, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) и определяемый по формуле:
− аргумент КЧХ, называемый фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) и определяемый по формуле:
Для отыскания переходной характеристики используем операторный метод, т.к. известна передаточная функция звена, а изображение входного сигнала, равное 1В, согласно столбцу 1 таблицы 3.3.1, имеет вид:
Тогда изображение выходной переменной , равное в этом случае изображению переходной характеристики , определяется как произведение передаточной функции на изображение входного сигнала:
Таким образом, в результате получим:
Переходную характеристику находим по столбцу 3таблицы 3.3.1 как оригинал, соответствующий полученному изображению:
а выходная переменная звена изменяется по закону:
3. Вычисляем амплитуду и фазу выходной переменной от воздействия входного напряжения на частотах , 2 , 3 , 4 , 5 при 2,5рад/c, а также для случая 0 (начальная точка всех частотных характеристик).
Этот расчет представляет интерес потому, что АЧХ и ФЧХ определяют амплитуду и фазу выходной переменной установившегося режима в функции частоты входных колебаний.
Определим влияние входной частоты на величину амплитуды установившихся колебаний по отношению к амплитуде входного воздействия. Для упрощения вычислений формулу для АЧХ представим в виде:
и предварительно найдем при 0:
Вычисляем значения амплитуд при частотах 0, , 2 , 3 , 4 , 5 , подставляя в нее поочередно соответствующие квадраты произведений , Результаты вычислений сводим в таблицу 1:
Таблица 1 | ||||||
0 |
2 |
3 |
4 |
5 | ||
|
0 |
2,5 |
5 |
7,5 |
10 |
12,5 | |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 | |
1 |
0,707 |
0,447 |
0,316 |
0,243 |
0,196 | |
Также определим изменение фазы установившейся выходной переменной в зависимости от изменения частоты колебаний сигнала на входе.
При этом учтем, что начальная фаза заданных входных колебаний равна нулю, а по определению . Значит, начальная фаза установившихся колебаний на выходе звена равна , и по значению можно судить о сдвиге установившихся колебаний выходной переменной относительно входных колебаний.
Для того, чтобы выразить зависимость угла от частоты в числовом виде, подставим в формулу ФЧХ поочередно значения 0, , 2 , 3 , 4 , 5 . Результаты вычислений (округленные до целого числа) сводим в таблицу 2:
Таблица 2 | ||||||
0 |
2 |
3 |
4 |
5 | ||
|
0 |
2,5 |
5 |
7,5 |
10 |
12,5 | |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
0° |
-45° |
-63° |
-72° |
-76° |
-79° | |
Результаты расчетов по АЧХ и ФЧХ позволяют сделать выводы:
1) При частоте амплитуда установившихся колебаний на выходе данного звена в раз меньше амплитуды входных колебаний.
2) Для входных колебаний
3) Между установившимися
4. Для расчета значений выходной переменной от воздействия входного напряжения 12 ∙ , В в заданные моменты времени, удобно использовать формулу:
т.к. показатель степени для моментов времени ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 принимает соответственно значения: -1; -2; -3; -4; -5.
Результаты вычислений сводим в таблицу 3, в последней строке которой приводим для большей наглядности отношение текущего значения выходной переменной к ее установившемуся значению (в процентах).
Таблица 3 | ||||||
0 |
2 |
3 |
4 |
5 | ||
|
0 |
0,4 |
0,8 |
1,1 |
1,6 |
2 | |
0 |
-1 |
-2 |
-3 |
-4 |
-5 | |
0 |
7,585 |
10,376 |
11,403 |
11,780 |
11,919 | |
0 |
63,2 |
86,5 |
95,0 |
98,2 |
99,3 | |
Из таблицы 3 следует, что через интервал времени (4÷5) , равный (0,6 ÷ 2) с, выходная переменная практически достигает установившегося значения за счет того, что переходная составляющая практически спадает до нуля.
Вывод: Для звена с одним накопителем энергии продолжительность переходного процесса , т.е. звено, выведенное входным сигналом из состояния равновесия, возвращается в устойчивое (установившееся) состояние через интервал времени, зависящий от величины постоянной времени , которая – в свою очередь – зависит от параметров и схемы соединения элементов звена.
Задача 2
С помощью критерия Рауса-Гурвица определить устойчивость системы управления, дифференциальное уравнение которой имеет вид:
Коэффициенты дифференциального уравнения имеют значения:
РЕШЕНИЕ
Для определения устойчивости системы составляем определитель Гурвица из коэффициентов заданного уравнения для случая 3:
0,38 |
19 |
0 | |
0,034 |
1,32 |
0 | |
0 |
0,38 |
19 |
Главные миноры определителя Гурвица:
0,38 |
19 |
= 0,38 ∙ 1,32 – 0,034 ∙ 19 = -0,1444 < 0 | |
0,034 |
1,32 |
Определитель Гурвица:
Необходимое и достаточное условие критерия Рауса-Гурвица не выполнено. Значит, не все корни уравнения лежат в левой полуплоскости, и система неустойчива.
Задача 3
Определить с помощью критерия Михайлова устойчивость системы управления, характеристическое уравнение которой задано в виде
Значения постоянных времени и коэффициента усиления системы:
РЕШЕНИЕ
В заданном уравнении
производим замену
преобразуем:
и выделяем вещественную и мнимую части уравнения:
где: вещественная часть уравнения ;
мнимая часть уравнения ;
При заданных числовых значениях имеем.
Определяем координаты
характеристического вектора
Для мнимой части:
получаем корни уравнения и значения действительной и мнимой части соответственно:
1) 0; 20; 0 т.е. вектор лежит на положительной вещественной полуоси;
2) 5,455 с-1; 8,690; 0 т.е. вектор совпадает с положительной вещественной полуосью;
Для действительной части:
3) 7,255 с-1; 0; -5,575 т.е. вектор совпадает с отрицательной мнимой полуосью;
При дальнейшем увеличении частоты (до бесконечности) знаки действительной и мнимой части (при )
остаются отрицательным, т.е. вектор так и останется расположенным в третьем квадранте.
Для наглядности постоим на комплексной плоскости годограф Михайлова, для этого задаёмся значениями частоты, вычисляем значения действительной и мнимой частей, результаты вычислений сводим в таблицу 5
Таблица 4 | |||||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
∞ | |
20,000 |
19,620 |
18,480 |
16,580 |
13,920 |
10,500 |
6,320 |
1,380 |
-4,320 |
-10,780 |
–∞ | |
0,000 |
0,966 |
1,731 |
2,093 |
1,850 |
0,800 |
-1,258 |
-4,525 |
-9,203 |
-15,494 |
– ∞ | |
Соответственно годограф Михайлова имеет следующий вид:
Таким образом, при увеличении от нуля до бесконечности годограф начинается на вещественной полуоси, проходит через первый квадрант, затем минуя второй переходит через четвёртый квадрант в третий. В соответствии с критерием Михайлова можно сделать вывод, о том, что в система неустойчива.
Задача 4
Одноконтурная система управления содержит объект и пропорционально-интегральный регулятор (ПИ-регулятор), передаточные функции которых соответственно равны:
Определить оптимальные параметры настройки (коэффициент передачи) и (постоянная интегрирования) ПИ-регулятора, если даны:
3 – коэффициент передачи объекта;
0,2 – время транспортного запаздывания, с;
2,0 – постоянная времени объекта, с;
2 – порядок линейного дифференциального уравнения одномерной системы управления.
РЕШЕНИЕ
1. Для определения
окрестности оптимальных
вычисляем границы этой окрестности по формулам:
1 |
∙ |
tg |
π |
= 0,5 | |
2,0 |
2 ∙ 2 |
π |
= 7,854 | |
2 ∙ 0,2 |
Таким образом
2. Для значений частоты вычисляем по формулам:
Результаты вычислений сводим в таблицу 6.
Таблица 6 | |||||
|
1 |
0,500 |
1,4142 |
0,1000 |
0,1142 |
0,2156 |
2 |
0,510 |
1,4284 |
0,1218 |
0,1376 |
0,2164 |
3 |
0,525 |
1,4500 |
0,1538 |
0,1709 |
0,2168 |
4 |
0,575 |
1,5240 |
0,2543 |
0,2671 |
0,2135 |
5 |
0,600 |
1,5620 |
0,3013 |
0,3074 |
0,2094 |
Из таблицы следует, что вспомогательная функция принимает максимальное значение 0,2618 при частоте 0,525 и соответствующему этой частоте коэффициенту передачи 0,1709 ≈ 0,17
Тогда искомая постоянная интегрирования ПИ-регулятора
0,1709 |
= 0,788 ≈ 0,79 | |
0,2618 |
и оптимальное значение передаточной функции ПИ-регулятора имеет вид:
0,17 | |
0,79 |
