Расчёт сетевого планирования

Задание 1

Составьте сетевой график. Определите параметры сетевого графика: критический путь, ранние и поздние сроки завершения операций и работ, резервы операций и работ

Имея ведомость расшифровки операций и работ сетевого графика подготовки технического проекта (ТП) изделия (табл.1), построить и рассчитать графическим методом параметры сетевого графика подготовки технического проекта изделия.

Таблица 1

Ведомость расшифровки операций и работ сетевого графика подготовки технического проекта (ТП) изделия

Решение

1. Строим сетевой график подготовки технического проекта. Предварительные номера операций проставляем в нижнем секторе каждого кружка, продолжительность работ проставляем над стрелками соответствующих работ следующим образом:

Рис. 1 Элемент сетевого графика

Сетевой график подготовки технического проекта изделия имеет вид:

Рис. 2 Сетевой график подготовки технического проекта изделия

2. Рассчитываем продолжительность критического пути.

Устанавливаем все возможные пути от исходного (нулевого) до завершающего (10) и определяем их про­должительность:

T0-2-3-4-6-7-9-10 = 13 + 4 + 12 + 18 + 4 + 9 + 10 = 70 дней;

T0-2-3-4-5-7-9-10  = 13 + 4 + 12 + 6 + 12 + 9 + 10 = 66 дней;

T0-2-3-4-5-7-8-10 = 13 + 4 + 12 + 6 + 12 + 6 + 4 = 57 дней;

T0-2-3-4-6-7-8-10  = 13 + 4 + 12 + 18 + 4 + 6 + 4 = 61 дней;

T0-1-3-4-6-7-9-10 = 38 + 14 + 12 + 18 + 4 + 9 + 10 = 105 дней;

T0-1-3-4-5-7-9-10 = 38 + 14 + 12 + 6 + 12 + 9 + 10 = 101 день;

T0-1-3-4-5-7-8-10 = 38 + 14 + 12 + 6 + 12 + 6 + 4 = 92 дня;

T0-1-3-4-6-7-8-10 = 38 + 14 + 12 + 18 + 4 + 6 + 4 = 96 дней.

Из расчетов следует, что наибольшим по продолжительности из всех возможных путей является:

T0-1-3-4-6-7-9-10 = 105 дней;

который и будет критическим путем данного сетевого графика. На сетевом графике критический путь обозначаем жирной линией.

3. Рассчитываем ранние сроки свершения операций.

Для исходной операции ранний срок свершения операций равен 0. Для операции 2 ранний срок свершения равен пути от исходной операции до события 2, т.е. 13 (проставим его величину в левом секторе кружка данной операции). Для операций 1 tp1 = 38. К операции 3 подходят два пути:

T0-2-3 = 13 + 4 = 17           и           Т0-1-3 = 38 + 14 = 52.

Из них максимальным является путь T0-1-3. Следовательно, tp3 = 52. Аналогично определяем ранние сроки свершения остальных операций, их величины указываем в соответству­ющих кружках.

4. Рассчитываем поздние сроки завершения операций.

Поздний срок свершения операций определяем как разность между критическим путем (в нашем случае Ткр = 105) и наибольшим путем от данной операции до завершающего (ТL2), т.е.

tni=Tкр –TL2.

Для операции 10                             tn10 = 105 – 0 = 105.

Для операции 9                             tn9 = 105 – 10 = 95.

Для операции 8                             tn8 = 105 – 4 = 101.

Для операции 7 возможны два пути:

Т7-9-10 = 9 + 10 = 19               и               Т7-8-10 = 6 + 4 = 10.

Из них максимальным является путь Т7-9-10. Следовательно, tn7 = 105 – 19 = 86. Величины поздних сроков для данных и последующей операции проставляем в правом секторе кружков сетевого графика.

5. Определяем резервы операции.

Резервы каждой операции определяем как разность между поздним и ранним сроком данной операции. Так, для операции 2 резерв равен:

P2 = tn2 – tр2 = 48 – 13 = 35.

Все вычисленные таким образом резервы операции проставляем в верхних секторах кружков соответствующих операций.

6. Определяем полный и свободный резерв работ:

Pпij = tni – tpi – tij; Pcij = tpj – tpi – tij.

Для работы 0 – 1 резервы равны:

Pп01 = tn1 – tp0 – t01 = 38 – 0 – 38 = 0;

Pc01 = tp1 – tp0 – t01 = 38 – 0 – 38 = 0.

Для работы 1 – 3 резервы равны:

Pп13 = tn13 – tp1 – t13 = 52 – 38 –14 = 0;

Pc13 = tp13 – tp1 – t13 = 52 – 38 – 14 = 0.

Для работы 3 – 4 резервы равны:

Pп34 = tn34 – tp3 – t34 = 64 – 52 –12 = 0;

Pc34 = tp34 – tp3 – t34 = 64 – 52 –12 = 0.

Для работы 4 – 6 резервы равны:

Pп46 = tn46 – tp4 – t46 = 82 – 64 –18 = 0;

Pc46 = tp46 – tp4 – t46 = 82 – 64 –18 = 0.

Как видно из сетевого графика, резервы операции работ, лежащих на критическом пути, равны нулю.

Задание 2

Дан сетевой график выполнения проекта с указанием временных оценок работ в днях (Приложение 2) . Рассчитать параметры сетевого графика.

Пример

Сетевое планирование и управление (СПУ) – это один из методов кибернетического подхода к управлению производственными операциями,  обеспечивающий оптимальные показатели. Такими показателями в зависимости от конкретных условий и заданных требований могут быть: минимальное время выполнения комплекса работ, минимальная стоимость разработки, максимальная экономия ресурсов. Наиболее разработанной в настоящее время является система СПУ, в которой в состав входной информации включаются только данные о временных параметрах и отсутствуют данные о стоимости работ и ресурсов, то есть система, с помощью которой производится оптимизация по времени процесса выполнения комплекса работ, описываемых одной сетью.

Основным плановым документом в СПУ является сетевой график (сетевая модель), представляющий собой информационно-динамическую модель, в которой изображаются взаимосвязи и результаты всех работ, необходимых для достижения конечной цели разработки в производственном менеджменте.

В терминах теории графов сетевой график – это ориентированный граф без контуров, ребра которого имеют одну или несколько числовых характеристик.  Ребрами изображаются на графе работы, а вершины графа – операции (реже наоборот).

Работами называются любые процессы, действия, приводящие к достижению определенных результатов (операций). Кроме работ действительных, то есть требующих затрат времени, существуют так называемые фиктивные работы (зависимости). Фиктивной работой (зависимостью) называется связь между какими-то результатами работ – операциями, не требующими затрат времени.

Работа в сетевом графике изображается стрелкой. Каждая линия со стрелкой (кроме штриховых) означает затрату времени, необходимого для выполнения этой работы. Затрачиваемое на работу время указывается над стрелкой (в днях или неделях). Ни длина стрелки, ни ее направление не имеют значения. Желательно только выдерживать направление стрелок так, чтобы исходная операция располагалась слева в сетевом графике, а завершающая операция – справа. Номер операции у острия стрелки (операциия j) должен быть больше номера у ее начала (операция i). Для этого при нумерации операции используется алгоритм, основанный на их ранжировании. Для отображения на графике так называемых фиктивных работ используются штриховые линии со стрелкой, над которыми время не указывается или проставляется нуль.

Формулировка операции всегда записывается в совершенной форме, не допускающей различного толкования (то есть что-то сделано, выполнено, закончено). Каждая операция может быть отправным моментом для начала последующих работ. В отличие от работы, имеющей, как правило, протяженность во времени, операция представляет собой только момент окончания работы (или работ).

Любые промежуточные операции, за которым непосредственно начинаются данные работы (работа), называется начальным (оно обозначается символом i), а работы по отношению к операции – непосредственно следующими (выходящими). Любые промежуточные операции, которой непосредственно предшествуют данные работы (работа), называется конечным (оно обозначается символом j), а работы по отношению к операциям – непосредственно предшествующими (входящими). Первоначальные операции в сети, не имеющие предшествующих ей операций и отражающие начало выполнения всего комплекса работ, включенных в данную сеть, называется исходными; они обозначаются символом I. Операция , которая не имеет последующих операции и отражает конечную цель комплекса работ, включенных в данную сеть, называется завершающей; она обозначается символом G.

Любая последовательность работ в сетевом графике, в которой конечная операция одной работы совпадает с начальной операцией следующей за ней работы, называется путем. В сетевом графике различают несколько видов путей:

а) от исходной операции до завершающей операции (I – G) – полный путь;

б) от исходной операции до данной [I – i(j)] – путь, предшествующий данной операции;

в) от данной операции до завершающей [i(j) – G] – путь, последующий за данной операции;

г) между двумя какими-либо промежуточными операциями (i,j) – путь между операциями i и j;

д) путь между исходной и завершающей операцией, имеющий наибольшую продолжительность (I – G)max, – критический путь.

Системы СПУ функционируют последовательно в трех режимах: предварительного планирования, исходного планирования и оперативного управления ходом работ.

Рассмотрим более подробно работы на этапе исходного планирования.

При планировании сетевыми методами весь комплекс работ в системе СОНТ (систему создания и освоения новой техники) расчленяется на составные части, каждая из которых закрепляется за определенным руководителем или ответственным исполнителем.

При построении первичных сетевых графиков на уровне ответственных исполнителей предварительно составляется перечень операций и работ (табл. 2).

Таблица 2.

Перечень операций и работ сетевого графика

Рис. 3. Первичный сетевой график на проектирование и изготовление стенда

Ответственный исполнитель, используя составленный перечень операций и работ, сшивает первичную сеть. Сшивание графика может производиться от исходной к завершающей операции или наоборот (рис. 3).

Параметры сетевого графика

В сетевом графике (рис. 3) от исходной к завершающей операции приводят несколько путей. Поскольку многие из работ, лежащих на этих путях, выполняются параллельно, общий срок проектирования и изготовления стенда будет зависеть от продолжительности максимального по времени критического пути.

По каждой работе сетевой модели ответственный исполнитель определяет время ее выполнения. Для выполнявшихся ранее работ, по которым есть статистические (или отчетные) данные или разработанные нормативы, устанавливается наиболее вероятная или нормативная продолжительность (tн.в или tнорм). Однако большая новизна объектов, являющихся предметом разработок, в условиях быстрого технического прогресса приводит к неопределенности времени выполнения отдельных этапов подготовки производства. По таким работам исполнитель дает в зависимости от принятой системы три или две вероятностные оценки времени.

В системе с тремя оценками от ответственного исполнителя получают так называемые минимальную (tmin), максимальную (tmax) и наиболее вероятную (tн.в) оценки времени. Минимальное время (минимальная продолжительность работы) – время, необходимое для выполнения работы при наиболее благоприятном стечении обстоятельств. Максимальное время (максимальная продолжительность работы) – время, необходимое для выполнения работы при наиболее неблагоприятном стечении обстоятельств. Наиболее вероятное время (наиболее вероятная продолжительность работы) – продолжительность при нормальных, чаще всего встречающихся условиях выполнения данной работы.

Сами по себе эти величины не могут служить характеристиками распределения вероятности продолжительности работ. Они являются исходными для расчета ожидаемого времени выполнения работы (tож). Величина tож. представляет собой математическое ожидание случайной величины, которой в данном случае является продолжительность работ. Для более полной характеристики распределения случайной величины в теории вероятностей используется понятие дисперсии  (σt2).

Дисперсия (рассеивание) – мера неопределенности, связанная с данным распределением; квадрат отклонения случайной величины от ее математического ожидания. При большом значении дисперсии существует значительная неопределенность относительно момента завершения данной работы. Если дисперсия невелика, то имеется большая уверенность относительно момента завершения данной работы. От значений дисперсий отдельных работ зависит неопределенность срока окончания всего проекта в целом.

При принятом в СПУ законе бета-распределении дисперсия определяется по формуле:

,

а ожидаемое время выполнения работы – по формуле:

.

С небольшой долей погрешности – для дисперсий порядка 0,01 , а для ожидаемого времени (tmax – tmin)/90 – можно принять, что

и

.

Ожидаемое время в днях или неделях, рассчитанное по статистическим данным или нормативам, а также найденное по вероятностным оценкам, проставляется в сети (см. рис. 3) над стрелками.

К основным параметрам сетевого графика относятся: величина критического пути, резервы времени операций и резервы времени работ. Эти параметры являются исходными для анализа и оптимизации сети.

Резервы времени существуют в сетевом графике во всех случаях, когда имеется более одного пути разной продолжительности. Резерв времени операций – это такой промежуток времени, на который может быть отсрочено наступление той или иной операции без нарушения сроков завершения разработки в целом. Резерв времени операции Трез.i(j) определяется как разность между поздним Тп i(j) и ранним Тр i(j) сроками наступления операции:

Трез.i(j) = Тп i(j) – Тр i(j).

Наиболее поздний из доступных сроков Тп i(j) – это такой срок наступление операций, превышение которого вызовет аналогичную задержку наступление завершающей операции. Наиболее ранний из возможных сроков наступление операции Тр i(j) – срок, необходимый для выполнения всех работ, предшествующих данной операции.

Ранний срок (Тр i(j)) и поздний срок (Тп i(j)) наступлении операции определяются по максимальному из путей (Тl max), проходящих через данные операции, причем Трi(j) равно продолжительности максимального из предшествующих данному событию путей, а Тпi(j) является разностью между продолжительностями критического пути ТLкр и максимального из последующих за данной операцией путей, т.е.

Тр j = Тl max (I – j)

Tп j = TL кр – Тl max (j – G).

Путь, соединяющий операции с нулевым резервом времени, является критическим.

Результаты расчетов ранних и поздних сроков наступления операции для сети (см. рис. 3) занесены в табл. 3. Выявив операции, не имеющие резервов времени, отметим жирными стрелками критический путь, получившийся в результате построения  исходного плана разработки: 0 – 1 – 2 – 3 – 6 – 8 – 9.

Параметры сетевого графика (см. рис. 3)

Таблица 3

Результаты расчетов ранних и поздних сроков наступления

операции для сети

Резервами времени располагают также работы, лежащие на некритических путях. Полный резерв времени работы  (Трез.п.ij) – это максимальное  количество времени, на которое можно увеличить продолжительность данной работы, не изменяя при этом продолжительность критического пути:

Трез.п.ij = Тпj – Тпi – tij.

Свободный резерв времени работы (Трез.с.ij)  – это максимальное количество времени, на которое можно увеличить продолжительность работы или отсрочить ее начало, не изменяя при этом ранних сроков начала последующих работ, при условии, что начальное событие этой работы наступило в свой ранний срок (см. табл. 3):

Трез.с.ij  = Трj – Трi – tij.

Резервы времени работы, особенно свободные, позволяют маневрировать сроками начала и окончания работ, их продолжительностью.

Одними из важнейших операций при анализе сетевого графика являются расчеты коэффициентов напряженности путей и вероятности свершения завершающей операции в заданный срок.

Коэффициент напряженности пути (kн) – это отношение продолжительностей несовпадающих (заключенных между одними и теми же операциями) отрезков пути, одним из которых является путь максимальной продолжительности, проходящий через данные работы, а другим – критический путь. Он позволяет определить степень трудности выполнения в срок каждой группы работ некритического пути.

Если совпадающую с критическим путем величину отрезка пути обозначить Т*Lкр, длину критического пути – ТLкр, а протяженность максимального пути, проходящего через данный работы, –  ТLmax, то коэффициент напряженности данного пути

kн = (ТLmax – Т*Lкр) / (ТLкр – Т*Lкр).

В случае последующей оптимизации сетевого графика, в первую очередь, изымаются резервы с путей, имеющих наименьший коэффициент напряженности.

Расчет вероятности наступления завершающей операции в заданный срок обычно совершенно необходим, когда установленный директивный срок ТД оказывается меньше рассчитанного срока наступления завершающего события ТG.  Предполагая, что значение ТG подчиняется закону нормального распределения, можно рассчитать эту вероятность следующим образом. Аргумент нормальной функции распределения вероятностей (функции Лапласа)

,

где u – число работ, лежащих на критическом пути.

Сама функция Лапласа (kp) может быть найдена по таблицам значений нормальной функции распределения вероятностей. 

Для величины kp  существуют вполне определенные границы допустимого риска. При kp > 0,65 можно утверждать, что на работах критического пути есть избыточные ресурсы, следовательно, общая продолжительность работ может быть сокращена. При kp < 0,35 опасность срыва заданного срока наступления завершающей операции настолько велика, что необходимо повторное планирование с перераспределением ресурсов, то есть оптимизация сетевого графика.

Оптимизация сетевого графика в зависимости от  полноты решаемых задач может быть разделена на частную и комплексную. Примерами частной оптимизации являются:

♦ минимизация времени подготовки производства при фиксированных затратах; минимизация численности используемых работников;

♦ минимизация затрат на комплекс работ при заданном времени выполнения и др.

Для сокращения времени критического пути направляют дополнительные ресурсы на работы критического пути. Эти дополнительные ресурсы изыскиваются с работ, имеющих резервы времени и лежащих на некритическом пути.

1