Раздел механики

Раздел №2

1)Основные понятия и допущения сопротивления материалов. Цели и задачи

Определение

Сопротивление материалов базируется на понятии «прочность», что является способностью материала противостоять приложенным нагрузкам и воздействиям без разрушения. Сопротивление материалов оперирует такими понятиями как: внутренние усилия, напряжения, деформации. Приложенная внешняя нагрузка к некоторому телу порождает внутренние усилия в нём, противодействующие активному действию внешней нагрузки. Внутренние усилия, распределенные по сечениям тела называются напряжениями. Таким образом, внешняя нагрузка порождает внутреннюю реакцию материала, характеризующуюся напряжениями, которые в свою очередь прямо пропорциональны деформациям тела. Деформации бывают линейные такие как удлинение, укорочение, сдвиг и углы поворота сечений. Основные понятия сопротивления материалов оценивающие способность материала сопротивляться внешним воздействиям являются:

  1. Несущая способность — способность материала воспринимать внешнюю нагрузку не разрушаясь;
  2. Жесткость — способность материала сохранять свои геометрические параметры в допустимых пределах при внешних воздействиях
  3. Устойчивость — способность материала сохранять в стабильности свою форму и положение при внешних воздействиях

Применение

Методы сопротивления материалов широко используются при расчете несущих конструкций зданий и сооружений, в дисциплинах связанных с проектированием деталей машин и механизмов.

Как правило, именно из-за оценочного характера результатов, получаемых с помощью математических моделей этой дисциплины, при проектировании реальных конструкций все прочностные характеристики материалов и изделий выбираются с существенным запасом (в несколько раз относительно результата, полученного при расчетах).

2) Деформация упругие и пластические

Деформа́ция (от лат. deformatio — «искажение») — изменение взаимного положения частиц тела, связанное с их перемещением относительно друг друга. Деформация представляет собой результат изменения межатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Обычно деформация сопровождается изменением величин межатомных сил, мерой которого является упругое механическое напряжение.

Деформации разделяют  на обратимые (упругие) и необратимые (пластические, ползучести). Упругие деформации исчезают после окончания действия приложенных сил, а необратимые — остаются. В основе упругих деформаций лежат обратимые смещения атомов металлов от положения равновесия(другими словами, атомы не выходят за пределы межатомных связей); в основе необратимых — необратимые перемещения атомов на значительные расстояния от исходных положений равновесия (то есть выход за рамки межатомных связей, после снятия нагрузки переориентация в новое равновесное положение). Пластические деформации — это необратимые деформации, вызванные изменением напряжений. Деформации ползучести — это необратимые деформации, происходящие с течением времени. Способность веществ пластически деформироваться называется пластичностью. При пластической деформации металла одновременно с изменением формы меняется ряд свойств — в частности, при холодном деформировании повышается прочность.

3)Внешние  и внутренние силы

  Внешние силы - это такие силы, которые действуют только на поверхность предмета, но не проникают внутрь его. К этим силам относятся все силы, развиваемые материальным объектом. Ну, например, нашей рукой. И происходит это по той причине, что наша рука не может проникнуть внутрь передвигаемого предмета. Конечно, мы могли бы разрезать этот предмет и добраться до его сердцевины. Но сделав эту операцию, мы создадим новые поверхности и воздействовать опять же будет только на поверхность, а не на атомы внутри предмета.  
Внутренние силы - это такие силы, которые действуют сразу на все атомы передвигаемого предмета независимо от того, где они находятся: на поверхности или в середине предмета. К этим силам относятся силы инерции и силы поля: гравитационного, электрического, магнитного. И происходит это потому, что поле и носитель инерции физвакуум свободно проникают внутрь любого тела. Когда мы падаем вниз под действием гравитации, гравитационная сила действует сразу на все органы, белки, молекулы и атомы нашего тела.

4)Метод сечений. Определение  внутренних силовых факторов  при различных видах нагружения. Эпюры ВФС

   


Растягивая руками резиновый жгут или сгибая толстую стальную проволоку, мы ощущаем сопротивление этих тел; иногда силы наших рук оказывается недостаточно, чтобы еще более растянуть жгут или изогнуть проволоку. Способность тела сопротивляться изменению первоначальной формы определяется силами сцепления между всеми смежными частицами тела, которые в отличие от внешних сил, приложенных к телу, называются внутренними силами. Внутренние силы (иногда их называют силами упругости), как показывают опыты, возрастают вместе с увеличением нагрузок, но до известного предела, после чего сцепление между частицами тела прекращается и тело разрушается.

Чтобы правильно рассчитать конструкцию  на прочность или на жесткость, необходимо уметь определять внутренние силы по нагрузке. Для выявления внутренних сил в сопротивлении материалов применяется метод сечений, суть которого заключается в следующем.

Рассечем мысленно брус, нагруженный  уравновешенной системой сил  (рис. а), поперечным сечением на части I и II и отбросим одну из них, например часть II. Чтобы сохранить равновесие оставшейся части бруса (рис. б), заменим действие на нее отброшенной части системой сил, которые являются внутренними для целого бруса и внешними по отношению к отсеченной части. В результате приведения этой системы сил к центру тяжести сечения получим главный вектор и главный момент (рис. в). Выберем систему координатных осей , , таким образом, чтобы ось была направлена перпендикулярно сечению, т. е. совпадала с осью бруса, а оси и располагались в плоскости сечения, причем одна из осей (ось ) совпадала с ее осью симметрии (рис. г). Разложив главный вектор и главный момент на составляющие по выбранным осям, получим три силы , , и три момента , , , которые в совокупности называются внутренними силовыми факторами.

5)Понятия о деформациях  и напряжениях

Материал состоит из кристалической решетки. Атомы которой связаны силами упругости. При действии внешних сил атомы перемещаются и вызывают появление упругих сил сопративления внешних нагрузкам. Появляются деформации материала.

Деформация - это изменение формы  и размеров материала при действии внешних сил. Деформации различают  два вида, упругую и остаточною.

Упругая - это деф., которая исчезает при снятии внешней нагрузки. Материал приобретает те же формы и размеры.

Остаточная - это деф., которая остается в материале при снятии внешней нагрузки.

Напряжение - мера интенсивности распределенная внутреннего усилия. Нельзя говорить о напряжениях не указывая сечения.Чем больше сила, тем больше напряжение.

Типы деформаций:

1) Растяжение.

2) Сжатие.

3) Сдвиг.

4) Кручение.

5) Изгиб.

6)Закон Гука

Зако́н Гу́ка — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke)[1]. Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в  теле при его деформации, прямо  пропорциональна величине этой деформации.

Для тонкого растяжимого стержня  закон Гука имеет вид:

Здесь  — сила, которой растягивают (сжимают) стержень,  — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит  как от свойств материала, так  и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади  поперечного сечения  и длины ) явно, записав коэффициент упругости как

7)Упругие и пластичные деформации

См 5 вопрос

8)Механические характеристики  и свойства конструкционных материалов.

Механические характеристики определяются следующими факторами:

  • веществом, его структурой и свойствами;
  • конструктивными особенностями элемента, т. е, размерами, формой, наличием концетраторов, состоянием поверхности;
  • условиями при нагружении: температурой, скоростью, повторяемостью нагрузки и др.

 

   Конструкционные материалы в процессе деформирования вплоть до разрушения ведут себя по разному. Пластичное поведение характеризуется существенным изменением формы и размеров, при этом к моменту разрушения развиваются значительные деформации, не исчезающие после снятия нагрузки. Такие материалы называют пластичными. При хрупком поведении разрушение наступает при весьма малых деформациях, и материалы с такими свойствами называют хрупкими. Однако одни и те же конструкционные материалы, находящиеся в различных условиях деформирования, ведут себя по разному: при одних условиях проявляют себя как пластичные материалы, при других—как хрупкие. В связи с этим, основные макромеханические характеристики материалов — упругость, пластичность, вязкость и др. правильнее относить не к их свойствам, а к состояниям материала.

9)Допускаемые напряжения. Понятие прочности.

Определение допускаемых напряжений производится в зависимости от механических характеристик материала колес  и вида термообработки, состояния  рабочей поверхности зуба и переходной поверхности базового числа циклов для материала колес, действительного  числа циклов нагружения, вызванных постоянной или переменной нагрузкой. Статическая прочность зубьев определяется значением наибольшей нагрузки. Если передачи работают в условиях переменных напряжений, вызванных постоянным или переменным режимом нагружения, то необходимо учитывать суммарный эффект на усталостную прочность различных по величине и продолжительности нагрузок.

10)Виды  расчетов на прочность.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета  на прочность

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

.

Откуда

.

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

.

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

.

11)Жесткость элементов конструкций . Расчет на жесткость.

Жёсткость,  
способность тела или конструкции сопротивляться образованию деформации; физико-геометрическая характеристика поперечного сечения элемента конструкции. В случаях простых деформаций в пределах закона Гука (см. Гука закон)Ж. определяется численно как произведение модуля упругости Е (при растяжении сжатии и изгибе) или G (при сдвиге и кручении) на ту или иную геометрическую характеристику поперечного сечения элемента: EF — при растяжении-сжатии, EI — при изгибе, GF — при сдвиге и т. д., где F — площадь поперечного сечения, I — осевой момент инерции. Понятие Ж. широко используется при решении задач сопротивления материалов.

12)Растяжение  и сжатие.

Растяжение-сжатие — в сопротивлении материалов — вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, если нагрузка к нему прикладывается по его продольной оси (равнодействующая сил, воздействующих на него, нормальна поперечному сечению стержня и проходит через его центр масс).

Называется также одноосным  или линейным напряжённым состоянием. Является одним из основных видов  напряжённого состояния параллелепипеда. Может быть также двух- и трёх-осным[1]. Вызывается как силами, приложенными к концам стержня, так и силами, распределёнными по объёму (силы инерции и тяготения).

Растяжение вызывает удлинение  стержня (также возможен разрыв и  остаточная деформация), сжатие вызывает укорочение стержня (возможна потеря устойчивости и возникновение продольного изгиба).

В поперечных сечениях бруса возникает  один внутренний силовой фактор — нормальная сила. Если растягивающая или сжимающая сила параллельна продольной оси бруса, но не проходит через неё, то стержень испытывает т. н. внецентренное растяжение (сжатие). В этом случае за счёт эксцентриситета приложения нагрузки в стержне кроме растягивающих (сжимающих) напряжений возникают ещё и изгибные напряжения.

Напряжение вдоль оси прямо  пропорционально растягивающей  или сжимающей силе и обратно  пропорционально площади поперечного  сечения. При упругой деформации между напряжением и относительной деформацией определяется законом Гука, при этом поперечные относительные деформации выводятся из продольных путём умножения их на коэффициент Пуассона. Пластическая деформация, предшествующая разрушению части материала, описывается нелинейными законами.

13)Расчеты на срез и смятие.

Расчеты на срез и смятие

Понятие о срезе и смятии, Условия  прочности

Срезом или сдвигом называется деформация, возникающая под действием  двух близко расположенных противоположно направленных равных сил. При этом возникают  касательные напряжения.

Смятием называется местная деформация сжатия по площадкам передачи давления. Возникающие нормальные напряжения смятия являются местными; величина их быстро убывает при удалении от площадки соприкосновения элементов. Приближенно можно принять, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно

Условие прочности элементов, работающих на срез, имеет вид

где Aср—площадь среза; [тср] —допускаемое касательное напряжение.

Величину допускаемого напряжения назначают на основании испытаний  на срез. Обычно принимают [тср] = (0,70-0,80) [σ].

14)Прочность и жесткость.

Прочность - способность элементов конструкций сопротивляться действию внешних нагрузок не разрушаясь.

 

Жесткость - способность элементов конструкций, под действием внешних нагрузок получать лишь незначительные деформации, лежащие в пределах допустимых значений.

 

15)Кручение.

Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к  её расстоянию от оси приложенных  сил и пропорционально этому  расстоянию.

16)Изгиб, основные понятия  и определения.

Изгиб — вид деформации, при котором происходит искривление осей прямых брусьев или изменение кривизны осей кривых брусьев. Изгиб связан с возникновением в поперечных сечениях бруса изгибающих моментов. Прямой изгиб возникает в случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. В случае, когда плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении бруса не проходит ни через одну из главных осей инерции этого сечения, называется косым.

Если при прямом или косом  изгибе в поперечном сечении бруса  действует только изгибающий момент, то соответственно имеется чистый прямой или чистый косой изгиб. Если в поперечном сечении действует также и поперечная сила, то имеется поперечный прямой или поперечный косой изгиб.

Часто термин «прямой» в названии прямого чистого и прямого  поперечного изгиба не употребляют  и их называют соответственно чистым изгибом и поперечным изгибом.

17)Классификация видов  изгиба

См выше вопрос

18)Внутренние силовые  факторы, правила построения эпюр.

В сопротивлении материалов основным изучаемым элементом конструкции  является брус – тело, у которого один из линейных размеров (длина) значительно превышает два других, определяющих поперечное сечение. При работе конструкции ее элементы воспринимают внешние силы и действие их передают друг другу.

Классификация внешних нагрузок

Внешние силы делятся на активные и реактивные (реакции связей). Активные связи принято называть нагрузками. По способу приложения нагрузки бывают объемные и поверхностные, распределенные и сосредоточенные, по характеру изменения в процессе приложения – статические, динамические и повторно-переменные, по продолжительности действия – постоянные и временные.

Внутренние силовые  факторы

В процессе деформации бруса, под нагрузкой происходит изменение  взаимного расположения элементарных частиц тела, в результате чего в  нем возникают внутренние силы. По своей природе внутренние силы представляют собой взаимодействие частиц тела, обеспечивающее его целостность  и совместность деформаций. Для определения  этих сил применяют метод сечений: надо мысленно рассечь брус, находящийся  в равновесии, на две части и  рассмотреть равновесие одной из них.

19)Статические моменты плоских  сечений.

Статическим моментом Sx сечения (фигуры) относительно какой-либо оси х называется сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояние y до данной оси, численно равная интегралу:

Sx= AydA 

(1)


и относительно оси у:

Sy= AxdA 

(2)


Основные свойства статических  моментов инерции

  • Размерность статического момента — единица длины в третьей степени, обычно [см3] или [м3] .
  • Статический момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
  • Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной .
  • Точка пересечения центральных осей назвается центром тяжести сечения.
  • Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это вытекает со свойств определенного интеграла.

 

20)Главные оси и главные  центральные моменты инерции.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' (рис. б.7). Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно. Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

Хотя мы и установили, что главные  оси можно провести через любую  точку сечения, но практический интерес  представляют только те из них, которые  проходят через центр тяжести  сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

В общем случае сечения произвольной формы для определения положения  главных осей необходимо провести специальное  исследование.

21)Осевые и полярные  моменты инерции сечений.

Осевой момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры (см. рис. 4.1) относительно осей x и y Полярный момент инерции фигуры относительно данной точки (полюса) - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до полюса

22)Устойчивость сжатых стержней. Понятие об устойчивости 

Обычно потеря устойчивости системы  сопровождается большими перемещениями, возникновением пластических деформаций или разрушением. Возможны также  случаи, когда система, потеряв устойчивость, переходит в режим незатухающих колебаний. Особая опасность потери устойчивости заключается в том, что она происходит внезапно и  при низких значениях напряжений, когда прочность материала еще  далеко не исчерпана.

При анализе устойчивости конструкций  следует различать устойчивое и   неустойчивое равновесие системы.

При устойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, возвращается в это положение после прекращения действия силы.

При неустойчивом равновесии тело, выведенное какой-либо силой из своего первоначального положения, продолжает деформироваться в направлении данного ему отклонения, и, после удаления внешнего воздействия, в исходное состояние не возвращается. В этом случае говорят, что произошла потеря устойчивости.

Между этими двумя состояниями  существует переходное состояние, называемое критическим, при котором деформированное  тело находится в безразличном равновесии: оно может сохранить первоначальную форму, но может и потерять ее от самого незначительного возмущения.

Критическая сила (Fкр) – нагрузка, превышение которой вызывает потерю устойчивости первоначальной формы (положения) тела.

С момента наступления критического состояния до момента разрушения деформации системы нарастают крайне быстро, и практически нет времени  принять меры по предотвращению грозящей катастрофы. Таким образом, при расчете  на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей при расчете на прочность.

При этом условие устойчивости можно  записать в следующем виде:

Fmax≤Fкр,       

23)Определение критической  силы.

См выше вопрос

24)Формула Эйлера.

Формула Эйлера утверждает, что для  любого действительного числа выполнено следующее равенство:

,

где  — основание натурального логарифма,

 — мнимая единица.

25)Критические напряжения. О пределах применимости формулы  Эйлера.

Критическое напряжение — напряжение сжатия, соответствующее критической силе.

Напряжение от сжимающей силы определяется по формуле

,

где σкр — напряжение сжатия, при котором стержень еще устойчив. Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения принято называть минимальным радиусом инерции imin:

; . Условие прочности для двух симметрично расположенных швов имеет вид: .

Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде

.

Отношение μl /imin носит название гибкости стержня λ.

Гибкость стержня — величина безразмерная, чем больше гибкость, тем меньше напряжение:

Заметим, что гибкость не зависит  от материала, а определяется только геометрией стержня.

Пределы применимости формулы Эйлера

Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.

Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости  материала.

Предел упругости при расчетах можно заменять пределом пропорциональности. Таким образом, σкр ≤ σу ≈ σпц, где σу — предел упругости; σпц — предел пропорциональности материала;

. Откуда гибкость стержня: ;

  - предельная гибкость.

Предельная гибкость зависит от материала стержня.

В случае, если λ < λпред в материале стержня возникают остаточные деформации. Поскольку в реальных конструкциях могут возникать пластические деформации, не приводящие к потере работоспособности, созданы эмпирические формулы для расчетов в этих случаях.

Согласно определению плоскопараллельного  движения, любая прямая, неизменно  связанная с телом и перпендикулярная неподвижной плоскости I, движется поступательно. Это означает, что все точки этой прямой движутся одинаково (см. свойства поступательного движения). Поэтому вместо того, чтобы изучать движение всех точек объемного тела, достаточно изучить движение точек плоской фигуры

26)Формула Ясинского

Если формула Эйлера неприменима, критическая нагрузка определяется по эмпирической формуле, предложенной Ф.С. Ясинским на основе опытов, проведенных  рядом исследователей.

Формула Ясинского: , где а и b – коэффициенты, зависящие от свойств материала.

Для очень коротких стержней (при  некоторой гибкости ) критическое напряжение может оказаться равным предельному напряжению при сжатии: пределу текучести для пластичных материалов или пределу прочности для хрупких. Тогда, при для пластичных материалов критическая нагрузка , а для хрупких .

27)Проверка сжатых стержней  на устойчивость.

Проверить устойчивость сжатых стержней осевой силой, можно по формуле

σ = N/Fбр ≤ φR. (6)

 

 

 

                                   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Раздел механики