Решение математических задач

Задача  1

     По  данным таблицы (1) построить уравнение  парной линейной регрессии:

    Дать  содержательную интерпретацию коэффициентов  регрессии построенных моделей. Для построенного уравнения вычислить:

    1)  коэффициент корреляции;

    2)  коэффициент детерминации:

    3)  дисперсионное отношение Фишера;

    4)  стандартные ошибки коэффициентов  регрессии;

    5)  t-статистики Стьюдента;

    6)  доверительные границы коэффициентов  регрессии.

    Все вычисления провести с использованием расчетных формул, а также с  помощью режима Регрессия модуля Анализ данных надстройки «Пакет анализа». Результаты, полученные по формулам и с помощью «Пакета анализа», сравнить между собой. 

    Решение с помощью табличного процессора Excel.

    1. Ввод исходных данных.

    2.  Подготовка данных и оформление  их в виде табл. 1.2 для расчета  оценок коэффициентов регрессии.

    3.Расчет  коэффициента регрессии: 

      b₀ = 6,43 – (-0,022)*60,58 = 7,784; 
 

     Построенная модель может быть   записана в  следующем виде:

У=7,784+(-0,022)х

Коэффициент регрессии b1 этой модели показывает, сто в среднем увеличение товарооборота приводит к уменьшению издержек обращения на 0,022 у.е.

     4. Расчет коэффициента корреляции  и детерминации: 

     σ_x = = 45,835;

     σ_у = = 1,502;

r =	-0,022 *	45,835	= - 0,685;
		1,502

     D = (- 0,685)² * 100% = 46,890 %

     5. Рассчитаем дисперсионное  отношение  Фишера:

Fрасч =	-0,6852	*10 = 8,382;
	(1 – (- 0,685)2)

     Сравнение расчетного значения F- критерия с табличным F_1;10 =4,96  для 95 %-ного уровня значимости позволяет сделать вывод об адекватности построенной модели.

     6. Расчет стандартных ошибок по  формулам , в которых используется средняя квадратическая ошибка S_ост , вычисленная в соответствии с данными таблицы:

Sb0 =	Sост *
		n σx

     S_b0 = 1,230*263,152 / 45,835*12 = 84,762 ;

Sb1=	Sост
	σx

     S_{b1 = 1230 / 45,835* =  0,093;}

     7. Расчет доверительных границ  для коэффициентов уравнения  регрессии

     ∆ _b0 = 2,2281*84,762 = 188,86 ;

           ∆ _b1 = 2,2281*0,093 = 0,207 

           7,784 - 188,86 ≤ b₀ ≤ 7,784 + 188,86

                     -181,076 ≤ b₀ ≤ 196,644

            -0,022 – 0,207 ≤ b₁ ≤ -0,022 + 0,207

                        - 0,229 ≤ b₁ ≤ 0,185

        8. Построение линейного уравнения регрессии и расчет всех его характеристик с помощью «Пакета анализа» табличного процессора Excel.

         Получаем:

=	∑ (y – ŷ)	= 1,230
	n – m - 1

Получаем:

      Рассмотрим  показатели, объединенные названием  Регрессионная статистика (см. ВЫВОД ИТОГОВ к примеру расчета).

      Множественный   R - корень квадратный из коэффициента детерминации.

      R - квадрат - коэффициент детерминации R².

      Нормированный   R-квадрат - приведенный коэффициент детерминации R².

      Стандартная ошибка - оценка s для среднеквадратического отклонения.

      Наблюдения - число наблюдений п .

      Перейдем  к показателям,  объединенных названием  Дисперсионный анализ (см. ВЫВОД ИТОГОВ к примеру расчета).

      Столбец df - число степеней свободы. Для строки Регрессия показатель равен числу независимых переменных.

      Столбец SS - сумма квадратов отклонений.

      Столбец MS — дисперсия на одну степень свободы.

      Столбец  F - значение  F_c, равное  F-критерию Фишера.

      Столбец значимость F - значение уровня значимости, соответствующее вычисленной величине F-критерия и равное вероятности   P(F)> F_c), где F - случайная величина, подчиняющаяся распределению Фишера. Если вероятность меньше уровня значимости α (обычно а = 0.05), то построенная регрессия является значимой.

      Столбец Коэффициенты - вычисленные значения коэффициентов расположенных сверху-вниз.

      Наличие чередующихся положительных и отрицательных значений невязок на графике остатков (невязок) является косвенным признаком отсутствия систематической ошибки (неучтенной независимой переменной) в построенном уравнении регрессии.

    Сравнение результатов, полученных с помощью расчетных формул, с результатами применения инструментальных средств Excel (см. Вывод итогов к заданию) показывает их полную идентичность, что свидетельствует о правильном понимании метода построения линейных регрессионных уравнении и методики оценки его качества.

Задача 2

     На  приобретение оборудования для нового производственного участка  выделено 30 тыс. ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади, не превышающей 70 м². Предприятие может заказать оборудование двух видов: более мощные машины типа А стоимостью 7 тыс. ден. ед., требующие производственные площади 6 м² ( с учетом проходов) и дающие 10 тыс. ед. продукции за смену,  и менее мощные машины типа Б стоимостью 2 тыс. ден. ед., занимающие  площадь 12 м² и дающие за смену 5 тыс. ед. продукции. Машин типа А можно заказать не более 4 ед. Найти оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий максимум общей производительности нового участка.

Составить экономико-математическую модель двойственной задачи, решить исходную и двойственную задачи, используя надстройку Excel Поиск решений. 

РЕШЕНИЕ:

Пусть:  Х₁-  количество оборудования типа А;

          Х₂ – количество оборудования типа Б;

Таблица (2)

     Задача  имеет следующую математическую модель:

 Модель  прямой задачи:

 F = 10x₁ + 5x₂ → max

  7x₁₁ + 2x₁₂ ≤ 30;

  6x₂₁ + 12x₂₂ ≤ 70;

  Х_i ≥ 0, i = 1,2;

  х₁ ≤ 4;

  х_i – целое. 

Модель  двойственной задачи:

F = 30у₁ + 70у₂ → min

  7y₁₁ + 6y₁₂ ≤ 10;

  2y₂₁ + 12y₂₂ ≤ 5;

   У_i ≥ 0, i = 1,2;

     Пусть модель двойственной задачи на листе Excel размещены следующим образом:

Результат решения:

Х₁=0; х₂=0; х₂=191,25 Fmin=30.

     В отчете ПО РЕЗУЛЬТАТАМ приведены  значения неизвестных и функции, а также данные о выполнении ограничений.

Задача 3  

     На  двух складах А₁ и А₂ находится по 100 т горючего. Перевозка одной тонны горючего со склада А₁ в пункты назначения В₁, В₂, В₃, соответственно стоит 1, 3 и 5 ден. ед., а перевозка одной тонны со склада А₂ в те же пункты – соответственно 2, 5 и 4 ден. ед. В каждый пункт надо доставить по одинаковому количеству тонн горючего, при котором транспортные расходы будут наименьшими. 

РЕШЕНИЕ:

1. Составим таблицу (3):

     Данная  транспортная задача закрытого типа, так как сумма запасов горючего у поставщиков равна сумме  спроса потребителей

     Запишем математическую модель закрытой транспортной задачи (запас горючего у поставщиков равняется суммарному спросу потребителей):

       1) объем поставок i-гo поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза:

          100+100=200 (т)  

       2) объем поставок j-му потребителю должен быть равен его спросу:

 66,667*3=200 (т)

       3) запас груза у поставщиков  должен равняться суммарному  спросу потребителей:

      200 (т)=200 (т) 

       4) размер поставок должен выражаться  неотрицательным числом:

, где x_ij – количество топлива

       5) общая сумма затрат на перевозку  груза должна быть минимальной:

    Математическая  модель задачи имеет вид:

    Ограничения:

      Х₁₁ + Х₂₂+ Х₁₃ = 100; 

      Х₂₁ + Х₂₂ + Х₃₃ =100;

      Х₁₁ + Х₂₁ ≤ 66,667;

      Х₁₂ + Х₂₂  ≤ 66,667;

      Х₁₃+ Х₃₃ ≤ 66,667;

    Целевая функция:

    F= Х₁₁ + 3Х₁₂ + 5Х₁₃ + 2Х₂₁ + 5 Х₂₂ + 4Х₃₃ →min

    Оформим решение задачи на листе Excel 

    Получаем:

    Оптимальный план перевозки топлива с минимальными расходами по ее доставке следующий:

    Х₁₁ =33,333  т, Х₁₂= 66,667 т, Х₁₃ = 0 т,

    Х₂₁ = 33,333   т, Х₂₂ = 0 т, Х₂₃ = 66,667 т.

    Таким образом, из пункта А1 в В1 перевозится 33,333  топлива , в В2 – 66.667 т., в В3 – 0 т.; из А2 в В1 – 33.333 т. топлива, в В2 – 0 т, в В3 – 66,667т. Общие минимальные транспортные расходы составят 566,667 ден.ед.

Задача 4

     Спрос на продукцию инструментального  цеха составляет 6200 ед. в год. Стоимость  хранения, включая потери, связанные  с моральным старением, составляет 496 ден. ед. за единицу в год. Издержки размещения заказа равны 1296 ден. ед. Неудовлетворенные требования берутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют 3600 ден. ед. за нехватку единицы продукции в течение года. Найти оптимальную партию поставки, максимальную величину задолженного спроса, интервал возобновления поставки, точку размещения заказа (время доставки – 0,5 месяца) и годовые потери функционирования системы.

РЕШЕНИЕ:

1. Рассчитаем оптимальную  партию поставки:

q* x = 180 x 1.0670 =192,06 ;

2. Рассчитаем максимальную величину задолженного спроса:

y* = x x = 23,275 ;

3. Рассчитаем интервал возобновления поставок:

τ* = x 180 x 1,067 = 5,954 ; 

4. Рассчитаем  точку размещения заказа:

      r = x x180 – 23,275 = 96,725.

     Задача  № 5

     В аудиторскую фирму поступает  простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью λ=1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в  среднем трем дням. Аудиторская фирма  располагает пятью независимыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские  проверки ( обслуживание заявок ). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационарном режиме.

Дано:

λ= 1,5 заявки в день;

t = 3 дня;

n = 5

   Решение:

1. Рассчитаем интенсивность обслуживания:

t_обс: = 1/3 = 0,333333;

2. Рассчитаем относительную нагрузку на систему:

= 1,5 / 0,333333 = 4,5;

3. Рассчитаем вероятность состояний системы:

P₀ = [ 1 + 4,5 / 1! + 4,5² / 2! + 4,5³ / 3! + 4,5⁴ / 4! + 4,5⁵ / 5! + 4,5⁵ / 5! + 4,5⁵ / 5!]^-1 = [ 1+ +4,5 / 1 + 20,25 / 1*2 + 91,125 / 1*2*3 + 410,0625 / 1*2*3*4 + 1845,28125 / 1*2*3*4*5 +  +1845,28125 / 1*2*3*4*5 + 1845,28125 / 1*2*3*4*5 = [ 1 + 4,5 + 10,125+ + 15,1875 + 17,0859375 + 15,37734375 + 15,37734375 + 15,37734375 ]^-1 = =1/94.03046875 = 0,010635; 

 Р_k  , ( 1≤ k ≤n ); значит,

k =n =  1,2,3,4,5.

Р₁ = 4,5¹ / 1! * 0,010635 = 0,0478575;

Р₂ = 4,5² / 2! * 0,010635 = (20,25 / 1*2) * 0,010635 = 0,107679;

Р₃ = 4,5³ / 3! * 0,010635 = 15,1875 * 0,010635 = 0,161519;

Р₄ = 4,5⁴ / 4! * 0,010635 = 17,0859375 * 0,010635 = 0,181709;

Р₅ = 4,5⁵ / 5! * 0,010635 = 15,37734375 * 0,010635 = 0,163538. 

4. Рассчитаем  вероятность отказа:

 = (4,5⁵ / 5! ) * 0,010635 = 0,163538;

5. Рассчитаем относительную пропускную способность:

= 1 – 0,163538 = 0,836462;

6. Рассчитаем абсолютную пропускную способность:

A = λ q = 1,5 * 0,836465 = 1,254693;

7. Рассчитаем число занятых каналов:

= 4,5 * 0,836462 = 3,764079.