Ирина Эланс

Автор который поможет с любыми образовательными и учебными заданиями

Решение тригонометрических уравнений

Пункт 4. Записать весь угол равен значению, определенному в пункте 2 плюс 2pn, если значение повторяется через целый оборот, или pn, если повторяется через пол – оборота;

Пункт 5. Найти х.

Под стандартным углом понимается угол с положительным неизвестным.

Примеры. Решить уравнения:

1) sin2х = 0

2х = pn, где n ÎZ;

х = p/2n

2х = pn т. к. синус равен 0 в нуле и через пол – оборота при p, т. е. получаем

0 + pn = pn.

2) sin(p/3 - х) = 1

Чтобы привести угол в стандартный вид, надо вынести минус за знак синуса.

- sin(х -p/3) = 1;

sin(х -p/3) = - 1;

Весь угол х -p/3. Синус равен - 1 при угле равном 3p/2 или - p/2 и повторяется через целый оборот. Принято использовать - p/2.

х - p/3 = -p/2 + 2pn , где n Î Z .

х = -p/2 +p/3 + 2pn;

х = -p/6 + 2pn .

Ответ: -p/6 + 2pn, где n ÎZ .

3) cos (p/4 -2х) - 1 = 0. Т. к. у = cos х - функция четная, то

cos (p/4 -2х) = cos (2х - p/4) .

cos (2х - p/4) = 1, 2х - p/4 = 2pn, n ÎZ ,

2х = p/4 + 2pn, х = p/8 + pn .

Ответ: p/8 + pn, где n ÎZ .

Ключевые слова.

Если уравнение простейшее, то решение смотреть по окружности.

2. Общий вид решения тригонометрических уравнений.

sinх = а sinх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = ( - 1)ⁿarcsina + pn , где n ÎZ . х = ( - 1)^{к +1}arcsin½a½ + pк , где к ÎZ .

cosх = а cosх = а

Для а > 0 Для а < 0

x = ± arccosa +2pn, где n ÎZ . х = ±(p - arccos½a½ ) + 2pn , где n ÎZ .

tgх = а tgх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = arctgа + pn, где n ÎZ . х = - arctg½а½ + pn, где n ÎZ .

сtgх = а сtgх = а

Для а > 0 Для а < 0

х = arcсtgа + pn, где n ÎZ . х = p - arсctg½а½ + pn, где n ÎZ .

Запоминание. Ключевые слова.

У косинуса прибавляем 2pn , у остальных pn;
У синуса ( - 1)ⁿ ; у косинуса ±, у тангенса, котангенса arc.
Для а отрицательных: у синуса k +1; у косинуса плюс, минус ( p - arc...), у тангенса минус arc... , у котангенса p - arc...

Алгоритм.

Пункт 1. Привести угол в стандартный вид;

Пункт 2. Выразить sin, cos, tg, ctg;

Пункт 3. Записать соответствующую формулу решения для всего угла, проговаривая: «Уравнение вида ... , весь угол равен...»;

Пункт 4. Найти неизвестное.

Примеры. Решить уравнения:

sin2х = 1/2 , (уравнение синуса, весь угол 2х равен ( - 1)ⁿ…

2х = ( - 1)ⁿarcsin1/2 + pn , где n ÎZ .

2х = ( - 1)ⁿ p/6 + pn ,

х = ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2. Ответ: ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2 , где n ÎZ .

3tg(p/3 - х) = ,

Выполняем пункты 1, 2: -3tg(х - p/3) = , tg(х - p/3) = -,

Выполняем пункт 3: х - p/3 = arctg(-) + pn , где n ÎZ .

х - p/3 = - arctg + pn, х - p/3 = -p/6 + pn ,

х = p/3 - p/6 + pn , х = p/6 + pn

Ответ: p/6 + pn , где n ÎZ .

2cosх/2 - 1 = 0,

cosх/2 = 1/2,

х/2 = ± arccos1/2 +2pn , где n ÎZ, х/2 = ± p/3 + 2pn ,

х = ± 2p/3 + 4pn . ( на 2 надо умножить, крест на крест)

Ответ: ± 2p/3 + 4pn, где n ÎZ .

3. Виды уравнений.

3.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным.

Основные элементы:

- функция одна или можно привести к одной функции;

- степени разнятся в два раза.

Решается путем замены переменной. При замене переменной, указать область ее значений.

Пример.

а) 2sin²х - 5sinх + 3 = 0.

Пусть sinх = t, ½t½ £ 1,т. к. ½sinх½ £ 1 2t² - 5t + 3 = 0,

D = 25 - 24 = 1

t_1,2 = - посторонний корень.

sinх = 1, х = p/2 + 2pn , где n Î Z .

б) 4(cos²х + cos 2х) + 3sin(270° + х) = 2.

Необходимо привести выражение к одной функции, применив формулу двойного угла для косинуса и формулы приведения.

4(2cos²х - sin² х) -3cosх = 2,

8cos²х -4 sin² х -3cosх = 2,

Т. к. sin²х = 1 - cos²х , получим: 8cos²х -4 + 4 cos²х -3cosх = 2,

12cos²х - 3cosх - 6 = 0, 4cos²х - cosх - 2 = 0,

Пусть cosх = t, ½t½ £ 1,т. к. ½cosх½ £ 1 4t² - t - 2 = 0,

D = 1 + 32 = 33,

t_1,2 =

cosх = х = ± arccos(+ 2pn , где n Î Z .

Ответ: ±(p - arccos(+ 2pn ; ± arccos(+ 2pn , где n Î Z .

3.2 Однородные уравнения.

Основные элементы:

- углы одинаковые;

- функций - две;

- степень одинаковая;

- свободный член равен нулю.

Решаются путем почленного деления на одну из функций, отличную от нуля, в большей степени, далее - замена.

Примеры.

а) 3cos²х - 2sinхcosх - sin²х = 0.

Анализ: углы одинаковые; функций две (sinх и cosх); степень вторая, т. к. степень произведения считается как сумма степеней множителей ( 1 + 1 = 2);

свободный член равен нулю - уравнение однородное.

Разделим почлено на cos²х, доказав, что cosх ¹ 0.

Пусть cosх = 0, тогда sin ²х = 1, следовательно, уравнение не имеет решения.

3cos²х - 2sinхcosх - sin²х = 0. ½: cos²х ¹ 0.

- tg²х - 2tgх + 3 = 0, tg²х + 2tgх - 3 = 0,

Пусть tgх = t, тогда t² + 2t - 3 = 0,

t₁ = - 3; t₂ =1 по теореме обратной теореме Виета.

tgх = -3, х = arctg(-3) + pn , где n ÎZ . х = - arctg3 + pn .

tgх = 1, х = arctg1 + pn , где n ÎZ х = p/4 + pn .

Ответ: - arctg3 + pn, p/4 + pn, где n ÎZ .

б) 10sin² 2х - 6sin4х - 11cos²2х = 1

Так как в однородном уравнении свободный член равен нулю, нужно представить 1 в виде sin² 2х + cos²2х.

Используя формулу двойного угла для синуса, получим:

10sin² 2х - 12sin2хcos2х - 11cos²2х = sin² 2х + cos²2х,

9sin² 2х - 12sin2хcos2х - 12cos²2х = 0,

3sin² 2х - 4sin2хcos2х - 4cos²2х = 0 ½: cos²х ¹ 0,

Пусть cosх = 0, тогда sinх = 1 или sinх = - 1, следовательно уравнение не имеет решения.

3tg² 2х - 4tg2х - 4 = 0,

Пусть tg2х = t, тогда 3 t² - 4t - 4 = 0,

D = 4 + 12 = 16,

t_1,2 = t₁= - 2/3, t₂= 2.

tg2х = - 2/3, tg2х = 2

2х = arctg(-2/3) +pn , где n ÎZ. 2х = arctg(-2/3) +pn , где n ÎZ.

Ответ: где n ÎZ.

3.3 Уравнение вида: аsinх ± bcosх = с.

Первый способ.

Уравнение вида аsinх ± bcosх = с можно привести к однородному, применив формулы двойного угла и представить с через основное тригонометрическое тождество.

2аsinх/2 cosх/2 ± b(cos²x/2 - sin²x/2) = c(cos²x/2 - sin²x/2).

Второй способ.

Уравнение вида аsinх ± bcosх = с можно решить методом введения вспомогательного аргумента, для чего обе части уравнения разделить на

и привести полученное уравнение к виду

sinх cos j ± sin j cosх = sin(х ± j) =

Где j = arcsin или j = arccos .

Третий способ.

Уравнение вида аsinх ± bcosх = с можно решить способом универсальной замены, т. е. используя формулы выражения sinх, cosх через tgх/2:

При этом необходимо установить, является ли х = p + 2pn корнем уравнения,

т. к. tg(х/2) неопределен при этих значениях.

Пример. Решить уравнение 5cosх + 2sinх = 3.

Первый способ.

5cos² х/2 - 5sin² х/2 + 4sin х/2 cos х/2 = 3cos² х/2 + 3sin² х/2,

4sin² х/2 - 2sin х/2 cos х/2 - cos² х/2 = 0,

Поделив на cos² х/2 , т. к. cos² х/2 ¹ 0, получим:

4tg² х/2 - 2tgх/2 - 1 = 0, откуда tgх/2 = , т. е. х = 2 arctg + 2pn .

Второй способ.

Поделим обе части уравнения на Деление производим почленно.

cosх + sinх = т. к. , то положим, что

sin j = , а cos j = ,

sin j cosх + sinх cos j = , sin(j + х) = , где

j = arcsin или j = arccos ,

, х = ( - 1)ⁿ arcsin - j + pn ,

х = ( - 1)ⁿ arcsin - arcsin + pn.

3.4 Уравнения вида sinх ± cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты

Уравнения вида sinх ± cosх = 1 целесообразно решать путем умножения обеих частей на .

sinх ± cosх = , используя принцип решения по второму способу, получаем: sin(х ± p/4) = , т.к. = cos p/4 или = sin p/4. Далее - стандартное решение.

Тоже получаем в случае коэффициентов

Пример. Решить уравнение sin х/3 - cosх/3 = .

Разделим обе части на 2для получения коэффициентов

, sin(х/3 -p/6) =

Эти коэффициенты можно получить, используя и метод введения вспомогательного аргумента.

3.5 Уравнения, сводящиеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители .

Так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл, то, разложив на множители соответствующее уравнение, можно представить его как совокупность нескольких уравнений.

Примеры.

sin2х sinх - 0,5sinх - sin2х = - 0,5,

Перенесем - 0,5 влево и сгруппируем, т. е. применим алгебраическое разложение на множители. Получим:

sin2х sinх - 0,5sinх - sin2х + 0,5 = 0,

sin2х(sinх - 1) - 0,5(sinх - 1) =0,

(sinх - 1)(sin2х - 0.5) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх - 1 =0 или sin2х - 0.5 = 0,

х = p/2 + pn 2х = ( - 1)ⁿp/6 + pn, где n ÎZ ,

х = ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2.

Ответ: p/2 + pn, ( - 1)ⁿ p/12 + pn/2, где n ÎZ .

sin2х = sinх,

Перенесем sinх влево и применим формулу двойного угла для синуса. Получим:

2sinх cosх - sinх = 0,

sinх (2cosх - 1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

sinх = 0 или 2cosх - 1 = 0,

х = pn , где n ÎZ cosх = 1/2,

х = ± p/3 + 2pn , где n ÎZ .

Ответ: pn , ± p/3 + 2pn , где n ÎZ .

sinх + sin5х = 0,

Используем формулы перевода суммы в произведение, т. е. применим тригонометрическое разложение на множители. Получим:

2sin3х cos 2х = 0,

sin3х = 0 или cos2х = 0,

3х = pn , где n ÎZ 2х = p/2 + pn , где n ÎZ ,

х = pn/3 , х = p/4 + pn/2 ,

Ответ: pn/3 , p/4 + pn/2 , где n ÎZ .

sin³ х - cos³х = sin²х - cos²х,

Применим алгебраическое разложение на множители с использованием формул разности кубов и разности квадратов. Получим:

(sinх - cosх)(sin²х + sinх cosх + cos²х) = (sinх - cosх) (sinх + cosх),

(sinх - cosх)(sin²х + sinх cosх + cos²х) - (sinх - cosх) (sinх + cosх) = 0.

(sinх - cosх)(1 + sinх cosх - sinх - cosх) = 0,

(sinх - cosх)(sinх (cosх - 1) - (cosх - 1)) = 0,

(sinх - cosх)( cosх - 1)(sinх - 1) = 0,

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряет смысл.

sinх - cosх = 0 или cosх - 1 = 0 или sinх - 1 = 0,

sin(х - p/4) = 0 cosх = 1 sinх = 1

х - p/4 = pn х = 2pn х = p/2 + 2pn , где n ÎZ ,

х = p/4 + pn.

Ответ: p/4 + pn, 2pn, p/2 + 2pn , где n ÎZ .

4. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений.

Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, используя четность, нечетность функций, формулы приведения;

Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить;

Пункт 3. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 4. При наличии в выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;

Пункт 5. Выполнить алгебраические преобразования;

Пункт 6. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;

Пункт 7. Выполнить тригонометрические преобразования:

Преобразования по углу:

а) Углы одинаковые - применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;

б) Углы разнятся в два раза - применить формулы двойного или половинного угла;

в) Углы разные - рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;

Преобразование по функции:

а) При одинаковых углах, если степени разнятся в два (и более раз), рассмотреть возможность приведения уравнения к квадратному (высших степеней) уравнению, используя формулы одного аргумента или формулы, приводящие к одной функции (половинного аргумента, универсальной замены);

б) При наличии степеней применить формулы понижения степени;

в) При необходимости приведения к одной функции использовать формулы одного аргумента, формулы половинного угла, формулы выражения синуса, косинуса, тангенса через тангенс половинного угла и другие;

г) При необходимости приведения к кофункции использовать формулы приведения;

Пункт 8. Определить вид уравнения и решать согласно решению установленного вида.

Примечание:

Алгебраические преобразования и тригонометрические преобразования чередуются после каждого законченного цикла преобразований.
Установление вида уравнения производить после каждой законченной операции пунктов 5 и 7.
При наличии тригонометрических функций в знаменателе, при наличии тангенса и котангенса найти область определения уравнения и произвести отбор корней (исключить посторонние).

Примеры. Решить уравнения:

cos²х - sin²х = 2cos²2х,

Пункт 1 - отсутствует; пункт 2: т. к. cos²х - sin²х = cos2х

сos2х = 2cos²2х,

Пункт 5 ( осуществим перенос и разложение на множители: 2cos²2х - cos2х = 0,

cos2х (2cos2х -1) = 0,

Пункт 6 - Уравнение вида - произведение равно нулю:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.

cos2х = 0 или 2cos2х -1 = 0,

2х = p/2 + pn, где n ÎZ cos2х = 1/2,

х = p/4 + pn/2 2х = ± p/3 + 2pn, где n ÎZ

х = ± p/6 + pn

Ответ: p/4 + pn/2, ± p/6 + pn, где n ÎZ .

Пункты 1 ( 4 отсутствуют .Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования» - приведем уравнение к целому виду, учитывая, что sin х/2 ¹ 0,

т. е. х/2 ¹pn , х ¹ 2pn.

сosх + 1 = 2 sin х/2,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 1. б, заметив, что углы разнятся в два раза. Применим формулу половинного аргумента для косинуса:

2 cos²х/2 = 2 sin х/2,

Перейдем к пункту 5, перенесем 2 sinх/2 влево, сократим на два:

cos²х/2 - sin х/2 =0, sin ²х/2 +sin х/2 – 1 =0, sinx/2 = t, ïtï£ 1

t² + t – 1 = 0, t₁ = посторонний корень, t₂ =

х/2 = ( - 1)ⁿ arcsin +p n , где n ÎZ . х = ( - 1)ⁿ 2 arcsin +2p n

Ответ: ( - 1)ⁿ 2 arcsin +2p n, где n ÎZ .

1 + sin2х = (cos3х + sin3х)².

Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования» - возведем скобку в квадрат:

1 + sin2х = 1 + 2 sin3х cos3х,

Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 2.б , применив формулу двойного угла для синуса:

1 + sin2х = 1 + sin6х,

sin2х - sin6х = 0,

Так как углы разные, выполним пункт 7. 1. в, применив формулу перевода суммы в произведение: 2 sin(- 2х) cos4х = 0,

Выполним пункт 1, вынесем минус за знак синуса и сократим на - 2 (пункт 5):

sin2х cos4х = 0,

Пункт 8. Уравнение вида - произведение равно нулю:

sin2х = 0 или cos4х = 0,

2х = pn, где n ÎZ , 4х = p/2 + pn, где n ÎZ ,

х = pn/2, х = p/8 + pn/4,

Ответ: pn/2, p/8 + pn/4, где n ÎZ .

4) 2cos²х - cos2х = 2sin²х - sin2х.

С приобретением навыка целесообразно перед решением делать анализ:

Пунктов 1 ( 6 нет; углы разняться в два раза (пункт 7), применяем формулу половинного аргумента для синуса и косинуса (можно использовать формулы двойного угла):1 + cos2х - cos2х = 1 - cos2х - sin2х

Далее алгебраические преобразования :

сos2х + sin2х = 0,

Уравнение однородное первой степени, решаем путем деления обеих частей на cos2х .

cos2х ¹0, т. к. в противном случае уравнение не будет иметь решения.

1 + tg2х = 0, tg2х = - 1, 2х = - p/4 + pn, где n ÎZ ,

х = - p/8 + pn/2.

Ответ: - p/8 + pn/2, где n ÎZ .

5) 1 + cosх = - tg(p/2 + х/2).

Анализ: привести угол в стандартный вид; выразить котангенс через косинус, деленный на синус (пункт 3), выполнить алгебраические преобразования (пункт 5), т. е. привести уравнение к целому виду:

1 + cosх = сtg х/2, 1 + cosх = ,

Т. к. деление на нуль не определено, то sinх/2 ¹ 0, х ¹ 2pn .

sinх/2(1 + cosх) = cosх/2,

Перейдем к тригонометрическим преобразованиям. Углы разнятся в два раза, целесообразно применить формулу половинного аргумент для косинуса:

2sinх/2 cos²х/2 = cosх/2,

Далее алгебраические преобразования - перенесем cosх/2 и вынести за скобку:

cosх/2(2sinх/2 cosх/2 - 1) = 0,

Далее тригонометрические преобразования - используем формулу двойного угла для синуса:

cosх/2(sinх - 1) = 0,

Уравнение вида - произведение равно нулю:

cosх/2 = 0 или sinх - 1 = 0,

х = p + 2pn, х = p/2 + 2pn, где n ÎZ .

Ответ: p + 2pn, p/2 + 2pn, где n ÎZ .

6) sin³х - cos³х = sin²х - cos²х.

Анализ: алгебраические преобразования - осуществим разложение на множители с помощью формул разности кубов и разности квадратов:

Учитывая, что sin²х + cos²х = 1, получим:

(sinх - cosх)(1 + sinх cosх - sinх - cosх) = 0,

(sinх - cosх)(1 - cosх)(1 - sinх) = 0,

Далее решаем:

sinх - cosх = 0 или 1 - cosх = 0 или 1 - sinх = 0,

х =p/4 + pn , х = 2pn , х = p/2 + 2pn ,где n ÎZ .

7) sin²2х + sin²3х + sin²4х + sin²5х = 2

Анализ: углы разные, степень вторая, необходимо понизить ее, используя формулы понижения степени:

= 2,

4 - cos 4х - cos 6х - cos 8х - cos 10х = 4,

cos 4х + cos 6х + cos 8х + cos 10х = 0,

Углы разные, осуществим перевод суммы в произведение (п. 7. 1.в), группируя по два члена:

2cos5х cosх + 2cos9х cosх = 0,

cosх (cos5х + cos9х) = 0,

2 cosх (cos7х cosх) = 0, cos ²х cos7х = 0,

cos ²х = 0 или cos7х = 0

х = p/2 + pn 7х = p/2 + pn , х = p/14 + pn /7, где n ÎZ .

Ответ: p/2 + pn, p/14 + pn /7, где n ÎZ .

Ключевые слова.

Сначала алгебраические преобразования, потом тригонометрические .

Тригонометрические преобразования сначала по углу потом по функции.

5. Отбор корней.

Отбор корней производится:

- в уравнениях, имеющих ограничения по области определения;

- в уравнениях с дополнительным условием, например: «найти все решения, принадлежащие отрезку [ - p/2; p/2]» и тому подобным;

- в смешанных уравнениях в соответствии с областью определения, например,

, т. е. решив данное уравнение необходимо отобрать корни при которых cosх ³ 0.

Способ 1. Способ неравенства.

Пункт 1. Записать двойное неравенство для неизвестного (х), соответственное данному промежутку или условию; решить уравнение;

Пункт 2. Для синуса и косинуса разбить решения на два;

Пункт 3. Подставить в неравенство вместо неизвестного (х) найденные решения и решить его относительно n;

Пункт 4. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n;

Пункт 5. Подставить полученные значения n в формулу корней (при необходимости).

Пример. Решить уравнение 2cos²х - cos2х = 2 sin²х - sin 2х. Найти корни, принадлежащие промежутку [ - p/2; p 2/].

-p/2 £ х £ p/2,

2cos²х +cos2х - 2sin²х + sin2х =0,

cos2х + sin2х = 0 ½: cos2х ¹0, т. к. при cos2х = 0 уравнение не имеет решения.

1 + tg2х = 0, tg2х = - 1, х = - p/8 + pn /2, где n ÎZ .

Т. к. -p/2 £ х £ p/2, то -p/2 £ - p/8 + pn /2 £ p/2 ,

-p/2 + p/8 £ pn /2 £ p/2 + p/8,

-6/8 £ n £ 10/8, т. к. n ÎZ, то n = 0, 1

х = - p/8, х = - p/8 + p /2 х = 3p/8

Ответ: p/8 + pn /2, где n ÎZ. p/8; 3p/8.

Способ 2. Отбор на окружности.

Пункт 1. Решить уравнение;

Пункт 2. Обвести дугу, соответствующую данному промежутку на круге;

Пункт 3. Отметить решения на круге, для чего:

- разделить виды решения для синуса и косинуса;

- подсчитать значения х при n равных минимальным значениям до тех пор пока значения не выйдут за пределы данного промежутка (при необходимости);

Пункт 4. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу.

Пример. Решить уравнение cos³х + sin³х = cos2х. Найти корни, принадлежащие промежутку ( - p/2; p/2).

(cosх + sinх)(1 - cosх sinх )= cos2х,

(cosх + sinх)(1 - cosх sinх ) - (cosх - sinх)( cosх + sinх ) = 0,

(cosх + sinх)(1 - cosх sinх - cosх + sinх ) = 0,

(cosх + sinх)(1 + sinх )(1 - cosх) = 0

cosх + sinх = 0 или 1 + sinх = 0 или 1 - cosх = 0

х = - p/4 + pn х = - p/2 + 2pn х = 2pn, где n ÎZ.

n =0, х = - p /4 n =0, х = - p /2 n =0, х = 0

n =1, х = 3p /4 n =1, х = 3p /2 n =1, х = 2p

Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений

Оглавление